HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 325 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 32401-32500   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremnfesum2 32401* Bound-variable hypothesis builder for extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐ด    &   โ„ฒ๐‘ฅ๐ต    โ‡’   โ„ฒ๐‘ฅฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต
 
Theoremcbvesum 32402* Change bound variable in an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
(๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘—๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   โ„ฒ๐‘—๐ถ    โ‡’   ฮฃ*๐‘— โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ
 
Theoremcbvesumv 32403* Change bound variable in an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
(๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    โ‡’   ฮฃ*๐‘— โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ
 
Theoremesumid 32404 Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) tsums (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ๐ถ)
 
Theoremesumgsum 32405 A finite extended sum is the group sum over the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)))
 
Theoremesumval 32406* Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆฉ Fin)) โ†’ ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ โ†ฆ ๐ต)) = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = sup(ran (๐‘ฅ โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆฉ Fin) โ†ฆ ๐ถ), โ„*, < ))
 
Theoremesumel 32407* The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) tsums (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)))
 
Theoremesumnul 32408 Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
ฮฃ*๐‘ฅ โˆˆ โˆ…๐ด = 0
 
Theoremesum0 32409* Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    โ‡’   (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด0 = 0)
 
Theoremesumf1o 32410* Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
โ„ฒ๐‘›๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘›๐ต    &   โ„ฒ๐‘˜๐ท    &   โ„ฒ๐‘›๐ด    &   โ„ฒ๐‘›๐ถ    &   โ„ฒ๐‘›๐น    &   (๐‘˜ = ๐บ โ†’ ๐ต = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ถโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = ๐บ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ*๐‘› โˆˆ ๐ถ๐ท)
 
Theoremesumc 32411* Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ท    &   โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐‘ฆ = ๐ถ โ†’ ๐ท = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก(๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ*๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐‘ง = ๐ถ}๐ท)
 
Theoremesumrnmpt 32412* Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐‘Š โˆ– {โˆ…}))    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘ฆ โˆˆ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)๐ถ = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ท)
 
Theoremesumsplit 32413 Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ V)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)๐ถ = (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ +๐‘’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ต๐ถ))
 
Theoremesummono 32414* Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ถ๐ต)
 
Theoremesumpad 32415* Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช ๐ต)๐ถ = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ)
 
Theoremesumpad2 32416* Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)๐ถ = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ)
 
Theoremesumadd 32417* Addition of infinite sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ต +๐‘’ ๐ถ) = (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต +๐‘’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ))
 
Theoremesumle 32418* If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ)
 
Theoremgsumesum 32419* Relate a group sum on (โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
 
Theoremesumlub 32420* The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆฉ Fin)๐‘‹ < ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐‘Ž๐ต)
 
Theoremesumaddf 32421* Addition of infinite sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ต +๐‘’ ๐ถ) = (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต +๐‘’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ))
 
Theoremesumlef 32422* If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ)
 
Theoremesumcst 32423* The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    โ‡’   ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe ๐ต))
 
Theoremesumsnf 32424* The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘€) โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremesumsn 32425* The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Shortened by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘€) โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremesumpr 32426* Extended sum over a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ถ = (๐ท +๐‘’ ๐ธ))
 
Theoremesumpr2 32427* Extended sum over a pair, with a relaxed condition compared to esumpr 32426. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ท = 0 โˆจ ๐ท = +โˆž)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ถ = (๐ท +๐‘’ ๐ธ))
 
Theoremesumrnmpt2 32428* Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
(๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ๐ท = 0)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘ฆ โˆˆ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)๐ถ = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ท)
 
Theoremesumfzf 32429* Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐น    โ‡’   ((๐น:โ„•โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜) = (seq1( +๐‘’ , ๐น)โ€˜๐‘))
 
Theoremesumfsup 32430 Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐น    โ‡’   (๐น:โ„•โŸถ(0[,]+โˆž) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•(๐นโ€˜๐‘˜) = sup(ran seq1( +๐‘’ , ๐น), โ„*, < ))
 
Theoremesumfsupre 32431 Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. This version is limited to real-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐น    โ‡’   (๐น:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•(๐นโ€˜๐‘˜) = sup(ran seq1( + , ๐น), โ„*, < ))
 
Theoremesumss 32432 Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ถ = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ต๐ถ)
 
Theoremesumpinfval 32433* The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = +โˆž)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
 
Theoremesumpfinvallem 32434 Lemma for esumpfinval 32435. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐น:๐ดโŸถ(0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„‚fld ฮฃg ๐น) = ((โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)) ฮฃg ๐น))
 
Theoremesumpfinval 32435* The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremesumpfinvalf 32436 Same as esumpfinval 32435, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremesumpinfsum 32437* The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ด    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
 
Theoremesumpcvgval 32438* The value of the extended sum when the corresponding series sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž))    &   (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›)๐ด) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด)
 
Theoremesumpmono 32439* The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)๐ด โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐ด)
 
Theoremesumcocn 32440* Lemma for esummulc2 32442 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
๐ฝ = ((ordTopโ€˜ โ‰ค ) โ†พt (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐ฝ Cn ๐ฝ))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) = 0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘ฅ +๐‘’ ๐‘ฆ)) = ((๐ถโ€˜๐‘ฅ) +๐‘’ (๐ถโ€˜๐‘ฆ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ถโ€˜๐ต))
 
Theoremesummulc1 32441* An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต ยทe ๐ถ) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ต ยทe ๐ถ))
 
Theoremesummulc2 32442* An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทe ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ถ ยทe ๐ต))
 
Theoremesumdivc 32443* An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต /๐‘’ ๐ถ) = ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด(๐ต /๐‘’ ๐ถ))
 
Theoremhashf2 32444 Lemma for hasheuni 32445. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.)
โ™ฏ:VโŸถ(0[,]+โˆž)
 
Theoremhasheuni 32445* The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 15646. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ*๐‘ฅ โˆˆ ๐ด(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
 
Theoremesumcvg 32446* The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 15547. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
๐ฝ = (TopOpenโ€˜(โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)))    &   ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›)๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น(โ‡๐‘กโ€˜๐ฝ)ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด)
 
Theoremesumcvg2 32447* Simpler version of esumcvg 32446. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
๐ฝ = (TopOpenโ€˜(โ„*๐‘  โ†พs (0[,]+โˆž)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ด = ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›)๐ด)(โ‡๐‘กโ€˜๐ฝ)ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด)
 
Theoremesumcvgsum 32448* The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)
(๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ฟ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด)
 
Theoremesumsup 32449* Express an extended sum as a supremum of extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด = sup(ran (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›)๐ด), โ„*, < ))
 
Theoremesumgect 32450* "Send ๐‘› to +โˆž " in an inequality with an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘›)๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โ„•๐ด โ‰ค ๐ต)
 
Theoremesumcvgre 32451* All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
 
Theoremesum2dlem 32452* Lemma for esum2d 32453 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)
โ„ฒ๐‘˜๐น    &   (๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐น = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘— โˆˆ ๐ดฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ต๐ถ = ฮฃ*๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐ด ({๐‘—} ร— ๐ต)๐น)
 
Theoremesum2d 32453* Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that ๐ต(๐‘—) is a function of ๐‘—. This can be seen as "slicing" the relation ๐ด. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐น    &   (๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐น = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘— โˆˆ ๐ดฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ต๐ถ = ฮฃ*๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐ด ({๐‘—} ร— ๐ต)๐น)
 
Theoremesumiun 32454* Sum over a nonnecessarily disjoint indexed union. The inequality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,]+โˆž))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ต๐ถ โ‰ค ฮฃ*๐‘— โˆˆ ๐ดฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ต๐ถ)
 
21.3.16  Mixed Function/Constant operation
 
Syntaxcofc 32455 Extend class notation to include mapping of an operation to an operation for a function and a constant.
class โˆ˜f/c ๐‘…
 
Definitiondf-ofc 32456* Define the function/constant operation map. The definition is designed so that if ๐‘… is a binary operation, then โˆ˜f/c ๐‘… is the analogous operation on functions and constants. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
โˆ˜f/c ๐‘… = (๐‘“ โˆˆ V, ๐‘ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)๐‘…๐‘)))
 
Theoremofceq 32457 Equality theorem for function/constant operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
(๐‘… = ๐‘† โ†’ โˆ˜f/c ๐‘… = โˆ˜f/c ๐‘†)
 
Theoremofcfval 32458* Value of an operation applied to a function and a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต๐‘…๐ถ)))
 
Theoremofcval 32459 Evaluate a function/constant operation at a point. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) = ๐ต)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ)โ€˜๐‘‹) = (๐ต๐‘…๐ถ))
 
Theoremofcfn 32460 The function operation produces a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) Fn ๐ด)
 
Theoremofcfeqd2 32461* Equality theorem for function/constant operation value. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ๐‘…๐ถ) = (๐‘ฆ๐‘ƒ๐ถ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐น โˆ˜f/c ๐‘ƒ๐ถ))
 
Theoremofcfval3 32462* General value of (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) with no assumptions on functionality of ๐น. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
((๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐น โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)๐‘…๐ถ)))
 
Theoremofcf 32463* The function/constant operation produces a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ฅ๐‘…๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘ˆ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‡)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ):๐ดโŸถ๐‘ˆ)
 
Theoremofcfval2 32464* The function operation expressed as a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต๐‘…๐ถ)))
 
Theoremofcfval4 32465* The function/constant operation expressed as an operation composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘…๐ถ)) โˆ˜ ๐น))
 
Theoremofcc 32466 Left operation by a constant on a mixed operation with a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‹)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ร— {๐ต}) โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐ด ร— {(๐ต๐‘…๐ถ)}))
 
Theoremofcof 32467 Relate function operation with operation with a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘Š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f/c ๐‘…๐ถ) = (๐น โˆ˜f ๐‘…(๐ด ร— {๐ถ})))
 
21.3.17  Abstract measure
 
21.3.17.1  Sigma-Algebra
 
Syntaxcsiga 32468 Extend class notation to include the function giving the sigma-algebras on a given base set.
class sigAlgebra
 
Definitiondf-siga 32469* Define a sigma-algebra, i.e. a set closed under complement and countable union. Literature usually uses capital greek sigma and omega letters for the algebra set, and the base set respectively. We are using ๐‘† and ๐‘‚ as a parallel. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2016.)
sigAlgebra = (๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘  โˆฃ (๐‘  โŠ† ๐’ซ ๐‘œ โˆง (๐‘œ โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘  (๐‘œ โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘ (๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ )))})
 
Theoremsigaex 32470* Lemma for issiga 32472 and isrnsiga 32473. The class of sigma-algebras with base set ๐‘œ is a set. Note: a more generic version with (๐‘‚ โˆˆ V โ†’ ...) could be useful for sigaval 32471. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
{๐‘  โˆฃ (๐‘  โŠ† ๐’ซ ๐‘œ โˆง (๐‘œ โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘  (๐‘œ โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘ (๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ )))} โˆˆ V
 
Theoremsigaval 32471* The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
(๐‘‚ โˆˆ V โ†’ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚) = {๐‘  โˆฃ (๐‘  โŠ† ๐’ซ ๐‘‚ โˆง (๐‘‚ โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘  (๐‘‚ โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘  โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘ (๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ )))})
 
Theoremissiga 32472* An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
(๐‘† โˆˆ V โ†’ (๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚) โ†” (๐‘† โŠ† ๐’ซ ๐‘‚ โˆง (๐‘‚ โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘‚ โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘†(๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))))
 
Theoremisrnsiga 32473* The property of being a sigma-algebra on an indefinite base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)
(๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โ†” (๐‘† โˆˆ V โˆง โˆƒ๐‘œ(๐‘† โŠ† ๐’ซ ๐‘œ โˆง (๐‘œ โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘œ โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘†(๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))))
 
Theorem0elsiga 32474 A sigma-algebra contains the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2016.)
(๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘†)
 
Theorembaselsiga 32475 A sigma-algebra contains its base universe set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
(๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigasspw 32476 A sigma-algebra is a set of subset of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.)
(๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐ด) โ†’ ๐‘† โŠ† ๐’ซ ๐ด)
 
Theoremsigaclcu 32477 A sigma-algebra is closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐’ซ ๐‘† โˆง ๐ด โ‰ผ ฯ‰) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigaclcuni 32478* A sigma-algebra is closed under countable union: indexed union version. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
โ„ฒ๐‘˜๐ด    โ‡’   ((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โ‰ผ ฯ‰) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigaclfu 32479 A sigma-algebra is closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐’ซ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigaclcu2 32480* A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on โ„• (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigaclfu2 32481* A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on (1..^๐‘). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘)๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ (1..^๐‘)๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigaclcu3 32482* A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = โ„• โˆจ ๐‘ = (1..^๐‘€)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremissgon 32483 Property of being a sigma-algebra with a given base set, noting that the base set of a sigma-algebra is actually its union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)
(๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚) โ†” (๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐‘‚ = โˆช ๐‘†))
 
Theoremsgon 32484 A sigma-algebra is a sigma on its union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
(๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โ†’ ๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜โˆช ๐‘†))
 
Theoremelsigass 32485 An element of a sigma-algebra is a subset of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ๐‘†)
 
Theoremelrnsiga 32486 Dropping the base information off a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
(๐‘† โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚) โ†’ ๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra)
 
Theoremisrnsigau 32487* The property of being a sigma-algebra, universe is the union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Nov-2016.)
(๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โ†’ (๐‘† โŠ† ๐’ซ โˆช ๐‘† โˆง (โˆช ๐‘† โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (โˆช ๐‘† โˆ– ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘†(๐‘ฅ โ‰ผ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†))))
 
Theoremunielsiga 32488 A sigma-algebra contains its universe set. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.) (Shortened by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
(๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โ†’ โˆช ๐‘† โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremdmvlsiga 32489 Lebesgue-measurable subsets of โ„ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
dom vol โˆˆ (sigAlgebraโ€˜โ„)
 
Theorempwsiga 32490 Any power set forms a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
(๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐’ซ ๐‘‚ โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚))
 
Theoremprsiga 32491 The smallest possible sigma-algebra containing ๐‘‚. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
(๐‘‚ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ {โˆ…, ๐‘‚} โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚))
 
Theoremsigaclci 32492 A sigma-algebra is closed under countable intersections. Deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
(((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐’ซ ๐‘†) โˆง (๐ด โ‰ผ ฯ‰ โˆง ๐ด โ‰  โˆ…)) โ†’ โˆฉ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremdifelsiga 32493 A sigma-algebra is closed under class differences. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremunelsiga 32494 A sigma-algebra is closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด โˆช ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoreminelsiga 32495 A sigma-algebra is closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremsigainb 32496 Building a sigma-algebra from intersections with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2016.)
((๐‘† โˆˆ โˆช ran sigAlgebra โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘† โˆฉ ๐’ซ ๐ด) โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐ด))
 
Theoreminsiga 32497 The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โˆˆ ๐’ซ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚)) โ†’ โˆฉ ๐ด โˆˆ (sigAlgebraโ€˜๐‘‚))
 
21.3.17.2  Generated sigma-Algebra
 
Syntaxcsigagen 32498 Extend class notation to include the sigma-algebra generator.
class sigaGen
 
Definitiondf-sigagen 32499* Define the sigma-algebra generated by a given collection of sets as the intersection of all sigma-algebra containing that set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
sigaGen = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ โˆฉ {๐‘  โˆˆ (sigAlgebraโ€˜โˆช ๐‘ฅ) โˆฃ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘ })
 
Theoremsigagenval 32500* Value of the generated sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
(๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (sigaGenโ€˜๐ด) = โˆฉ {๐‘  โˆˆ (sigAlgebraโ€˜โˆช ๐ด) โˆฃ ๐ด โŠ† ๐‘ })
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >