Theorem rexuz 12934

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12878	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
2	1	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑)))
3		anass 474	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
5	4	rexbidv2 3187	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≤ cle 11255  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-neg 11455  df-z 12603  df-uz 12875

This theorem is used by: (None)