Theorem rexuz 13030

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12974	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
2	1	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑)))
3		anass 474	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
5	4	rexbidv2 3182	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541   ≤ cle 11349  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-neg 11549  df-z 12699  df-uz 12971

This theorem is used by: (None)