Theorem rexuz2 12844

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
2		df-3an 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
3	1, 2	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
4	3	anbi1i 631	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑))
5		anass 470	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
6		an21 651	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
7	5, 6	bitri 277	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
8	4, 7	bitri 277	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
9	8	rexbii2 3084	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
10		r19.42v 3173	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitri 277	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  2rexuz  12845