MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexuz2 12374
Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
rexuz2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 12323 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛))
2 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
31, 2bitri 278 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
43anbi1i 627 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑))
5 anass 472 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
6 an21 644 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
75, 6bitri 278 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
84, 7bitri 278 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
98rexbii2 3158 . 2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
10 r19.42v 3253 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
119, 10bitri 278 1 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1088  wcel 2113  wrex 3054   class class class wbr 5027  cfv 6333  cle 10747  cz 12055  cuz 12317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-fv 6341  df-ov 7167  df-neg 10944  df-z 12056  df-uz 12318
This theorem is referenced by:  2rexuz  12375
  Copyright terms: Public domain W3C validator