MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexuz2 12914
Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
rexuz2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 12859 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛))
2 df-3an 1087 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
31, 2bitri 275 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
43anbi1i 623 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑))
5 anass 468 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
6 an21 643 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
75, 6bitri 275 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
84, 7bitri 275 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
98rexbii2 3087 . 2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
10 r19.42v 3187 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
119, 10bitri 275 1 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099  wrex 3067   class class class wbr 5148  cfv 6548  cle 11280  cz 12589  cuz 12853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-neg 11478  df-z 12590  df-uz 12854
This theorem is referenced by:  2rexuz  12915
  Copyright terms: Public domain W3C validator