Theorem rexuz2 12287

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12237	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
2		df-3an 1086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
3	1, 2	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
4	3	anbi1i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑))
5		anass 472	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
6		an21 643	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
8	4, 7	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
9	8	rexbii2 3208	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
10		r19.42v 3303	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitri 278	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  2rexuz  12288