Theorem rexuz2 12858

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12799	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
2		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
3	1, 2	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑))
5		anass 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
6		an21 644	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
8	4, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
9	8	rexbii2 3072	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
10		r19.42v 3169	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitri 275	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  2rexuz  12859