Theorem eluz1 12585

Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 12583	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘})
2	1	eleq2d 2826	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘}))
3		breq2 5083	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	3	elrab 3626	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	2, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110  {crab 3070   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432   ≤ cle 11011  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-ov 7274  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12582

This theorem is referenced by:  eluz2  12587  eluz1i  12589  eluz  12595  uzid  12596  uzss  12604  eluzp1m1  12607  raluz  12635  rexuz  12637  preduz  13377  fi1uzind  14209  algcvga  16282  uzssico  31101  nndiffz1  31103  fzspl  31107  cycpmco2lem6  31394  cycpmconjslem2  31418  breprexplemc  32608  logblebd  39980  lzunuz  40587