MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1 12832
Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 12830 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘})
21eleq2d 2817 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}))
3 breq2 5153 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
43elrab 3684 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
52, 4bitrdi 286 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2104  {crab 3430   class class class wbr 5149  cfv 6544  cle 11255  cz 12564  cuz 12828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7416  df-neg 11453  df-z 12565  df-uz 12829
This theorem is referenced by:  eluz2  12834  eluz1i  12836  eluz  12842  uzid  12843  uzss  12851  eluzp1m1  12854  raluz  12886  rexuz  12888  preduz  13629  fi1uzind  14464  algcvga  16522  uzssico  32260  nndiffz1  32262  fzspl  32266  cycpmco2lem6  32558  cycpmconjslem2  32582  breprexplemc  33940  logblebd  41149  lzunuz  41810
  Copyright terms: Public domain W3C validator