Theorem eluz1 12787

Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 12785	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘})
2	1	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘}))
3		breq2 5079	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	3	elrab 3631	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	2, 4	bitrdi 289	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  {crab 3393   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7363  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  eluz2  12789  eluz1i  12791  eluz  12797  uzid  12798  uzss  12806  eluzp1m1  12809  raluz  12841  rexuz  12843  preduz  13599  fi1uzind  14464  algcvga  16543  uzssico  32880  nndiffz1  32882  fzspl  32885  cycpmco2lem6  33216  cycpmconjslem2  33240  breprexplemc  34828  logblebd  42477  aks6d1c1  42616  aks6d1c2lem4  42627  lzunuz  43232