MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz1 12880
Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 12878 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘})
21eleq2d 2825 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}))
3 breq2 5152 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
43elrab 3695 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
52, 4bitrdi 287 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  cfv 6563  cle 11294  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  eluz2  12882  eluz1i  12884  eluz  12890  uzid  12891  uzss  12899  eluzp1m1  12902  raluz  12936  rexuz  12938  preduz  13687  fi1uzind  14543  algcvga  16613  uzssico  32793  nndiffz1  32795  fzspl  32798  cycpmco2lem6  33134  cycpmconjslem2  33158  breprexplemc  34626  logblebd  41958  aks6d1c1  42098  aks6d1c2lem4  42109  lzunuz  42756
  Copyright terms: Public domain W3C validator