Theorem eluz1 12753

Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 12751	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘})
2	1	eleq2d 2820	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘}))
3		breq2 5100	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	3	elrab 3644	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	2, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {crab 3397   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490   ≤ cle 11165  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  eluz2  12755  eluz1i  12757  eluz  12763  uzid  12764  uzss  12772  eluzp1m1  12775  raluz  12807  rexuz  12809  preduz  13564  fi1uzind  14428  algcvga  16504  uzssico  32813  nndiffz1  32815  fzspl  32818  cycpmco2lem6  33162  cycpmconjslem2  33186  breprexplemc  34738  logblebd  42169  aks6d1c1  42309  aks6d1c2lem4  42320  lzunuz  42952