Theorem eluz1 12515

Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 12513	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘})
2	1	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘}))
3		breq2 5074	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	3	elrab 3617	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	2, 4	bitrdi 286	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {crab 3067   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluz2  12517  eluz1i  12519  eluz  12525  uzid  12526  uzss  12534  eluzp1m1  12537  raluz  12565  rexuz  12567  preduz  13307  fi1uzind  14139  algcvga  16212  uzssico  31007  nndiffz1  31009  fzspl  31013  cycpmco2lem6  31300  cycpmconjslem2  31324  breprexplemc  32512  logblebd  39911  lzunuz  40506