MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin 21967
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetrlin.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetrlin.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetrlin.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetrlin.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetrlin.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetrlin.eq (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
mdetrlin.ne1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
mdetrlin.ne2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
mdetrlin (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6860 . . . . . 6 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V
2 ovex 7395 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
42, 3fnmpti 6649 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 ovex 7395 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
75, 6fnmpti 6649 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
8 ofmpteq 7644 . . . . . 6 (((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
91, 4, 7, 8mp3an 1462 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
11 crngring 19983 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
1715, 16matrcl 21775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1918simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
20 zrhpsgnmhm 21004 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2112, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2523, 24mgpbas 19909 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
2622, 25mhmf 18614 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2827ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2923crngmgp 19979 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3010, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3219adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3315, 24, 16matbas2i 21787 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
34 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3514, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
37 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
38 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
3938, 22symgbasf 19164 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4140ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
4236, 37, 41fovcdmd 7531 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4342ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4425, 31, 32, 43gsummptcl 19751 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
4615, 24, 16matbas2i 21787 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
47 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
5049, 37, 41fovcdmd 7531 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5150ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5225, 31, 32, 51gsummptcl 19751 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9 + = (+gโ€˜๐‘…)
54 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5524, 53, 54ringdi 19994 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
57 cmnmnd 19586 . . . . . . . . . . . . 13 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6135adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
6240, 60ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘)
6361, 60, 62fovcdmd 7531 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ ๐‘Ÿ = ๐ผ)
65 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) = (๐‘โ€˜๐ผ))
6664, 65oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6725, 66gsumsn 19738 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6858, 60, 63, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6968, 63eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7048adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
7170, 60, 62fovcdmd 7531 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7264, 65oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7325, 72gsumsn 19738 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7458, 60, 71, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7574, 71eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
76 difssd 4097 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โŠ† ๐‘)
7732, 76ssfid 9218 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆˆ Fin)
78 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
79 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8015, 24, 16matbas2i 21787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
81 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8483, 37, 41fovcdmd 7531 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8578, 84sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8685ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})(๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8725, 31, 77, 86gsummptcl 19751 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8824, 53, 54ringdir 19995 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
8913, 69, 75, 87, 88syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
9023, 54mgpplusg 19907 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
91 disjdif 4436 . . . . . . . . . . . 12 ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…)
9359snssd 4774 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐ผ} โŠ† ๐‘)
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ {๐ผ} โŠ† ๐‘)
95 undif 4446 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐ผ} โŠ† ๐‘ โ†” ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9796eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ = ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})))
9825, 90, 31, 32, 84, 92, 97gsummptfidmsplit 19714 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
99 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
101100oveqd 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)))
102 xpss1 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({๐ผ} โŠ† ๐‘ โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
10461, 103fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
105104ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
10670, 103fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
107106ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
108 snex 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐ผ} โˆˆ V
109 xpexg 7689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({๐ผ} โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
110108, 32, 109sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
111 snidg 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
113112, 62opelxpd 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))
114 fnfvof 7639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆง (({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V โˆง โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
115105, 107, 110, 113, 114syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
116 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
117 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
118 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
119117, 118oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ))
120115, 116, 1193eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
121101, 120eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
122 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
123112, 62, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
124 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
125112, 62, 124syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
126 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
127112, 62, 126syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
128125, 127oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
129121, 123, 1283eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
13082adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
131130, 60, 62fovcdmd 7531 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13264, 65oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13325, 132gsumsn 19738 . . . . . . . . . . . . 13 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13458, 60, 131, 133syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13568, 74oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
137136oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13898, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13925, 90, 31, 32, 42, 92, 97gsummptfidmsplit 19714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
140 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
142141oveqd 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
143 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}))
14478, 41sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
145 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
146143, 144, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
147 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
148143, 144, 147syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
149142, 146, 1483eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
150149mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
151150oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
152151oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
153139, 152eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
15425, 90, 31, 32, 50, 92, 97gsummptfidmsplit 19714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
155 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
157156oveqd 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
158 ovres 7525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
159143, 144, 158syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
160157, 146, 1593eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
161160mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
162161oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
163162oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
164154, 163eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
165153, 164oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
16689, 138, 1653eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
167166oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
16856, 167eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
169168mpteq2dva 5210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
1709, 169eqtrid 2789 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
171170oveq2d 7378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
172 ringcmn 20010 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17310, 11, 1723syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17438, 22symgbasfi 19167 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17519, 174syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17624, 54ringcl 19988 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17713, 28, 44, 176syl3anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17824, 54ringcl 19988 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17913, 28, 52, 178syl3anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
18024, 53, 173, 175, 177, 179, 3, 6gsummptfidmadd2 19710 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
181171, 180eqtr3d 2779 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
182 mdetrlin.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
183 eqid 2737 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
184 eqid 2737 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
185182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21953 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18610, 79, 185syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
187182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21953 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18810, 14, 187syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
189182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21953 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
19010, 45, 189syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
191188, 190oveq12d 7380 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
192181, 186, 1913eqtr4d 2787 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448   โˆ– cdif 3912   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  {csn 4591  โŸจcop 4597   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636   โ†พ cres 5640   โˆ˜ ccom 5642   Fn wfn 6496  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆ˜f cof 7620   โ†‘m cmap 8772  Fincfn 8890  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141   ฮฃg cgsu 17329  Mndcmnd 18563   MndHom cmhm 18606  SymGrpcsymg 19155  pmSgncpsgn 19278  CMndccmn 19569  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  โ„คRHomczrh 20916   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-efmnd 18686  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-symg 19156  df-pmtr 19231  df-psgn 19280  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771  df-mdet 21950
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  21972  mdetuni0  21986  mdetmul  21988
  Copyright terms: Public domain W3C validator