Theorem mdetrlin 22917

Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrlin.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrlin.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetrlin.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mdetrlin.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mdetrlin.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mdetrlin.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mdetrlin.eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrlin.ne1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
mdetrlin.ne2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mdetrlin	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = ((𝐷‘𝑌) + (𝐷‘𝑍)))

Proof of Theorem mdetrlin

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
2		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ V
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))
4	2, 3	fnmpti 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ V
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
7	5, 6	fnmpti 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8		ofmpteq 7716	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
10		mdetrlin.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11		crngring 20472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		mdetrlin.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		mdetrlin.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
16		mdetrlin.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
17	15, 16	matrcl 22727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
19	18	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
20		zrhpsgnmhm 21890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
21	12, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	23, 24	mgpbas 20365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26	22, 25	mhmf 18984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
27	21, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
29	23	crngmgp 20467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
30	10, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
32	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
33	15, 24, 16	matbas2i 22737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
34		elmapi 8869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
35	14, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
37		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
38		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
39	38, 22	symgbasf 19590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
41	40	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
42	36, 37, 41	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
43	42	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
44	25, 31, 32, 43	gsummptcl 20181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
45		mdetrlin.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
46	15, 24, 16	matbas2i 22737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
47		elmapi 8869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
48	45, 46, 47	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
50	49, 37, 41	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
51	50	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
52	25, 31, 32, 51	gsummptcl 20181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		mdetrlin.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑅)
54		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
55	24, 53, 54	ringdi 20489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
56	13, 28, 44, 52, 55	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
57		cmnmnd 20011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
58	31, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
59		mdetrlin.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
61	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
62	40, 60	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁)
63	61, 60, 62	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
64		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → 𝑟 = 𝐼)
65		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑝‘𝑟) = (𝑝‘𝐼))
66	64, 65	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)))
67	25, 66	gsumsn 20168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)))
68	58, 60, 63, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)))
69	68, 63	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
70	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
71	70, 60, 62	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
72	64, 65	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
73	25, 72	gsumsn 20168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
74	58, 60, 71, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
75	74, 71	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
76		difssd 4073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
77	32, 76	ssfid 9260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
78		eldifi 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟 ∈ 𝑁)
79		mdetrlin.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
80	15, 24, 16	matbas2i 22737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
81		elmapi 8869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
82	79, 80, 81	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
84	83, 37, 41	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
85	78, 84	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
86	85	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
87	25, 31, 77, 86	gsummptcl 20181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
88	24, 53, 54	ringdir 20490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))
89	13, 69, 75, 87, 88	syl13anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))
90	23, 54	mgpplusg 20364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
91		disjdif 4425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
93	59	snssd 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
95		undif 4437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
96	94, 95	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
97	96	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
98	25, 90, 31, 32, 84, 92, 97	gsummptfidmsplit 20144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
99		mdetrlin.eq	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
101	100	oveqd 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
102		xpss1 5669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
103	94, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
104	61, 103	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
105	104	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
106	70, 103	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
107	106	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
108		snex 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝐼} ∈ V
109		xpexg 7764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
110	108, 32, 109	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
111		snidg 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝐼})
112	60, 111	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
113	112, 62	opelxpd 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
114		fnfvof 7710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁) ∧ (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) ∧ (({𝐼} × 𝑁) ∈ V ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
115	105, 107, 110, 113, 114	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
116		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
117		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
118		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
119	117, 118	oveq12i 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
120	115, 116, 119	3eqtr4g 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
121	101, 120	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
122		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
123	112, 62, 122	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
124		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)))
125	112, 62, 124	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)))
126		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
127	112, 62, 126	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
128	125, 127	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
129	121, 123, 128	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
130	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
131	130, 60, 62	fovcdmd 7593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
132	64, 65	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
133	25, 132	gsumsn 20168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
134	58, 60, 131, 133	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
135	68, 74	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑌(𝑝‘𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
137	136	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
138	98, 137	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
139	25, 90, 31, 32, 42, 92, 97	gsummptfidmsplit 20144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))
140		mdetrlin.ne1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
141	140	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
142	141	oveqd 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
143		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
144	78, 41	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
145		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
146	143, 144, 145	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
147		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))
148	143, 144, 147	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))
149	142, 146, 148	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
150	149	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))
151	150	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))
152	151	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
153	139, 152	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
154	25, 90, 31, 32, 50, 92, 97	gsummptfidmsplit 20144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
155		mdetrlin.ne2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
156	155	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
157	156	oveqd 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
158		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
159	143, 144, 158	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
160	157, 146, 159	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
161	160	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))
162	161	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))
163	162	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
164	154, 163	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
165	153, 164	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))
166	89, 138, 165	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))
167	166	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
168	56, 167	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
169	168	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))
170	9, 169	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))))
171	170	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
172		ringcmn 20511	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
173	10, 11, 172	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
174	38, 22	symgbasfi 19593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
175	19, 174	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
176	24, 54	ringcl 20477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
177	13, 28, 44, 176	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
178	24, 54	ringcl 20477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
179	13, 28, 52, 178	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
180	24, 53, 173, 175, 177, 179, 3, 6	gsummptfidmadd2 20140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
181	171, 180	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
182		mdetrlin.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
183		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
184		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
185	182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23	mdetleib2 22903	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
186	10, 79, 185	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
187	182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23	mdetleib2 22903	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))))
188	10, 14, 187	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))))
189	182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23	mdetleib2 22903	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
190	10, 45, 189	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
191	188, 190	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌) + (𝐷‘𝑍)) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝‘𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
192	181, 186, 191	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = ((𝐷‘𝑌) + (𝐷‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923   MndHom cmhm 18976  SymGrpcsymg 19583  pmSgncpsgn 19703  CMndccmn 19994  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  ℤRHomczrh 21805   Mat cmat 22722   maDet cmdat 22899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-mat 22723  df-mdet 22900

This theorem is used by:  mdetrlin2  22922  mdetuni0  22936  mdetmul  22938