MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin 22459
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetrlin.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetrlin.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetrlin.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetrlin.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetrlin.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetrlin.eq (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
mdetrlin.ne1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
mdetrlin.ne2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
mdetrlin (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . . 6 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V
2 ovex 7438 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
42, 3fnmpti 6687 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 ovex 7438 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
75, 6fnmpti 6687 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
8 ofmpteq 7689 . . . . . 6 (((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
91, 4, 7, 8mp3an 1457 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
11 crngring 20150 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
1715, 16matrcl 22267 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1918simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
20 zrhpsgnmhm 21477 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2112, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2523, 24mgpbas 20045 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
2622, 25mhmf 18719 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2827ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2923crngmgp 20146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3010, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3219adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3315, 24, 16matbas2i 22279 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
34 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3514, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
38 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
3938, 22symgbasf 19295 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4140ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
4236, 37, 41fovcdmd 7576 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4342ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4425, 31, 32, 43gsummptcl 19887 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
4615, 24, 16matbas2i 22279 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
47 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
5049, 37, 41fovcdmd 7576 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5150ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5225, 31, 32, 51gsummptcl 19887 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9 + = (+gโ€˜๐‘…)
54 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5524, 53, 54ringdi 20163 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
57 cmnmnd 19717 . . . . . . . . . . . . 13 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
6240, 60ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘)
6361, 60, 62fovcdmd 7576 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ ๐‘Ÿ = ๐ผ)
65 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) = (๐‘โ€˜๐ผ))
6664, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6725, 66gsumsn 19874 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6858, 60, 63, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6968, 63eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7048adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
7170, 60, 62fovcdmd 7576 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7264, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7325, 72gsumsn 19874 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7458, 60, 71, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7574, 71eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
76 difssd 4127 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โІ ๐‘)
7732, 76ssfid 9269 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆˆ Fin)
78 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
79 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8015, 24, 16matbas2i 22279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
81 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8382ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8483, 37, 41fovcdmd 7576 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8578, 84sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8685ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})(๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8725, 31, 77, 86gsummptcl 19887 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8824, 53, 54ringdir 20164 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
8913, 69, 75, 87, 88syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
9023, 54mgpplusg 20043 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
91 disjdif 4466 . . . . . . . . . . . 12 ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…)
9359snssd 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐ผ} โІ ๐‘)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ {๐ผ} โІ ๐‘)
95 undif 4476 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐ผ} โІ ๐‘ โ†” ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9796eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ = ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})))
9825, 90, 31, 32, 84, 92, 97gsummptfidmsplit 19850 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
99 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
101100oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)))
102 xpss1 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({๐ผ} โІ ๐‘ โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โІ (๐‘ ร— ๐‘))
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โІ (๐‘ ร— ๐‘))
10461, 103fssresd 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
105104ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
10670, 103fssresd 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
107106ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
108 snex 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐ผ} โˆˆ V
109 xpexg 7734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({๐ผ} โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
110108, 32, 109sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
111 snidg 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
113112, 62opelxpd 5708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))
114 fnfvof 7684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆง (({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V โˆง โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
115105, 107, 110, 113, 114syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
116 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
117 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
118 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
119117, 118oveq12i 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ))
120115, 116, 1193eqtr4g 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
121101, 120eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
122 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
123112, 62, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
124 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
125112, 62, 124syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
126 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
127112, 62, 126syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
128125, 127oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
129121, 123, 1283eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
13082adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
131130, 60, 62fovcdmd 7576 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13264, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13325, 132gsumsn 19874 . . . . . . . . . . . . 13 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13458, 60, 131, 133syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13568, 74oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
137136oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13898, 137eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13925, 90, 31, 32, 42, 92, 97gsummptfidmsplit 19850 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
140 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
141140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
142141oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}))
14478, 41sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
145 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
146143, 144, 145syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
147 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
148143, 144, 147syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
149142, 146, 1483eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
150149mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
151150oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
152151oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
153139, 152eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
15425, 90, 31, 32, 50, 92, 97gsummptfidmsplit 19850 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
155 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
156155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
157156oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
158 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
159143, 144, 158syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
160157, 146, 1593eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
161160mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
162161oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
163162oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
164154, 163eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
165153, 164oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
16689, 138, 1653eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
167166oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
16856, 167eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
169168mpteq2dva 5241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
1709, 169eqtrid 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
171170oveq2d 7421 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
172 ringcmn 20181 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17310, 11, 1723syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17438, 22symgbasfi 19298 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17519, 174syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17624, 54ringcl 20155 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17713, 28, 44, 176syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17824, 54ringcl 20155 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17913, 28, 52, 178syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
18024, 53, 173, 175, 177, 179, 3, 6gsummptfidmadd2 19846 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
181171, 180eqtr3d 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
182 mdetrlin.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
183 eqid 2726 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
184 eqid 2726 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
185182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22445 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18610, 79, 185syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
187182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22445 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18810, 14, 187syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
189182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22445 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
19010, 45, 189syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
191188, 190oveq12d 7423 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
192181, 186, 1913eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  {csn 4623  โŸจcop 4629   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667   โ†พ cres 5671   โˆ˜ ccom 5673   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207   ฮฃg cgsu 17395  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  โ„คRHomczrh 21386   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-mdet 22442
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  22464  mdetuni0  22478  mdetmul  22480
  Copyright terms: Public domain W3C validator