MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin 21951
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrlin.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrlin.p + = (+g𝑅)
mdetrlin.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetrlin.y (𝜑𝑌𝐵)
mdetrlin.z (𝜑𝑍𝐵)
mdetrlin.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetrlin.eq (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrlin.ne1 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
mdetrlin.ne2 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mdetrlin (𝜑 → (𝐷𝑋) = ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)))

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6855 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
2 ovex 7390 . . . . . . 7 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ V
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))
42, 3fnmpti 6644 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 ovex 7390 . . . . . . 7 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
75, 6fnmpti 6644 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8 ofmpteq 7639 . . . . . 6 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
91, 4, 7, 8mp3an 1461 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 19976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐴)
1715, 16matrcl 21759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1918simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
20 zrhpsgnmhm 20988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2112, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2523, 24mgpbas 19902 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2622, 25mhmf 18607 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
2827ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
2923crngmgp 19972 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3010, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
3315, 24, 16matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
34 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3514, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
38 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3938, 22symgbasf 19157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4140ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
4236, 37, 41fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
4342ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
4425, 31, 32, 43gsummptcl 19744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
4615, 24, 16matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍𝐵𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
47 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
5049, 37, 41fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
5150ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
5225, 31, 32, 51gsummptcl 19744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝑅)
54 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5524, 53, 54ringdi 19987 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
57 cmnmnd 19579 . . . . . . . . . . . . 13 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑁)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼𝑁)
6135adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6240, 60ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝𝐼) ∈ 𝑁)
6361, 60, 62fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑌(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼𝑟 = 𝐼)
65 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼 → (𝑝𝑟) = (𝑝𝐼))
6664, 65oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6725, 66gsumsn 19731 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑌(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6858, 60, 63, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6968, 63eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
7048adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7170, 60, 62fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
7264, 65oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7325, 72gsumsn 19731 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7458, 60, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7574, 71eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
76 difssd 4092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
7732, 76ssfid 9211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
78 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟𝑁)
79 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝐵)
8015, 24, 16matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
81 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8483, 37, 41fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8578, 84sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8685ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8725, 31, 77, 86gsummptcl 19744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
8824, 53, 54ringdir 19988 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
8913, 69, 75, 87, 88syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
9023, 54mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
91 disjdif 4431 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
9359snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
95 undif 4441 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9796eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
9825, 90, 31, 32, 84, 92, 97gsummptfidmsplit 19707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
99 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
101100oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
102 xpss1 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
10461, 103fssresd 6709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
105104ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
10670, 103fssresd 6709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
107106ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
108 snex 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐼} ∈ V
109 xpexg 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
110108, 32, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
111 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼})
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
113112, 62opelxpd 5671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
114 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁) ∧ (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) ∧ (({𝐼} × 𝑁) ∈ V ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
115105, 107, 110, 113, 114syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
116 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
117 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
118 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
119117, 118oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
120115, 116, 1193eqtr4g 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘f + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
121101, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
122 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
123112, 62, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
124 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
125112, 62, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
126 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
127112, 62, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
128125, 127oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
129121, 123, 1283eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
13082adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
131130, 60, 62fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
13264, 65oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13325, 132gsumsn 19731 . . . . . . . . . . . . 13 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13458, 60, 131, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13568, 74oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
137136oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
13898, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
13925, 90, 31, 32, 42, 92, 97gsummptfidmsplit 19707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))
140 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
141140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
142141oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
143 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
14478, 41sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
145 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
146143, 144, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
147 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))
148143, 144, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))
149142, 146, 1483eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
150149mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))
151150oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
152151oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
153139, 152eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
15425, 90, 31, 32, 50, 92, 97gsummptfidmsplit 19707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
155 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
156155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
157156oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
158 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
159143, 144, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
160157, 146, 1593eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
161160mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))
162161oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
163162oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
164154, 163eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
165153, 164oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
16689, 138, 1653eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
167166oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
16856, 167eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
169168mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
1709, 169eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
171170oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
172 ringcmn 20003 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
17310, 11, 1723syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
17438, 22symgbasfi 19160 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
17519, 174syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
17624, 54ringcl 19981 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
17713, 28, 44, 176syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
17824, 54ringcl 19981 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
17913, 28, 52, 178syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
18024, 53, 173, 175, 177, 179, 3, 6gsummptfidmadd2 19703 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘f + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
181171, 180eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
182 mdetrlin.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
183 eqid 2736 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
184 eqid 2736 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
185182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21937 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
18610, 79, 185syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
187182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21937 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌𝐵) → (𝐷𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))))
18810, 14, 187syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))))
189182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 21937 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍𝐵) → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
19010, 45, 189syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
191188, 190oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
192181, 186, 1913eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  21956  mdetuni0  21970  mdetmul  21972
  Copyright terms: Public domain W3C validator