MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin 22095
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetrlin.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetrlin.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetrlin.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetrlin.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetrlin.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
mdetrlin.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetrlin.eq (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
mdetrlin.ne1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
mdetrlin.ne2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
mdetrlin (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6901 . . . . . 6 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V
2 ovex 7438 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
42, 3fnmpti 6690 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 ovex 7438 . . . . . . 7 ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ V
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
75, 6fnmpti 6690 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
8 ofmpteq 7688 . . . . . 6 (((Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ V โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) Fn (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
91, 4, 7, 8mp3an 1461 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
11 crngring 20061 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
1715, 16matrcl 21903 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1918simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
20 zrhpsgnmhm 21128 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2112, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2523, 24mgpbas 19987 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
2622, 25mhmf 18673 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2827ffvelcdmda 7083 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2923crngmgp 20057 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3010, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3315, 24, 16matbas2i 21915 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
34 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3514, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
3938, 22symgbasf 19237 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
4140ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
4236, 37, 41fovcdmd 7575 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4342ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4425, 31, 32, 43gsummptcl 19829 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
4615, 24, 16matbas2i 21915 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
47 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
5049, 37, 41fovcdmd 7575 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5150ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5225, 31, 32, 51gsummptcl 19829 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9 + = (+gโ€˜๐‘…)
54 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5524, 53, 54ringdi 20074 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
57 cmnmnd 19659 . . . . . . . . . . . . 13 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6135adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘Œ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
6240, 60ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘)
6361, 60, 62fovcdmd 7575 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ ๐‘Ÿ = ๐ผ)
65 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) = (๐‘โ€˜๐ผ))
6664, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6725, 66gsumsn 19816 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6858, 60, 63, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
6968, 63eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7048adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
7170, 60, 62fovcdmd 7575 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7264, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7325, 72gsumsn 19816 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7458, 60, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
7574, 71eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
76 difssd 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โŠ† ๐‘)
7732, 76ssfid 9263 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆˆ Fin)
78 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
79 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8015, 24, 16matbas2i 21915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
81 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8483, 37, 41fovcdmd 7575 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8578, 84sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8685ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})(๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8725, 31, 77, 86gsummptcl 19829 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8824, 53, 54ringdir 20075 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
8913, 69, 75, 87, 88syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
9023, 54mgpplusg 19985 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
91 disjdif 4470 . . . . . . . . . . . 12 ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = โˆ…)
9359snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐ผ} โŠ† ๐‘)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ {๐ผ} โŠ† ๐‘)
95 undif 4480 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐ผ} โŠ† ๐‘ โ†” ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})) = ๐‘)
9796eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ = ({๐ผ} โˆช (๐‘ โˆ– {๐ผ})))
9825, 90, 31, 32, 84, 92, 97gsummptfidmsplit 19792 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
99 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))))
101100oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)))
102 xpss1 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({๐ผ} โŠ† ๐‘ โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
10394, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
10461, 103fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
105104ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
10670, 103fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)):({๐ผ} ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
107106ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘))
108 snex 5430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐ผ} โˆˆ V
109 xpexg 7733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({๐ผ} โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
110108, 32, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V)
111 snidg 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ผ โˆˆ {๐ผ})
113112, 62opelxpd 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))
114 fnfvof 7683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) Fn ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆง (({๐ผ} ร— ๐‘) โˆˆ V โˆง โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ โˆˆ ({๐ผ} ร— ๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
115105, 107, 110, 113, 114syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)))
116 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
117 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
118 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ)
119117, 118oveq12i 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = (((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ) + ((๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))โ€˜โŸจ๐ผ, (๐‘โ€˜๐ผ)โŸฉ))
120115, 116, 1193eqtr4g 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ((๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘)))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
121101, 120eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))))
122 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
123112, 62, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
124 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
125112, 62, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)))
126 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ {๐ผ} โˆง (๐‘โ€˜๐ผ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
127112, 62, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) = (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ)))
128125, 127oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ผ(๐‘Œ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ(๐‘ โ†พ ({๐ผ} ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐ผ))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
129121, 123, 1283eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
13082adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
131130, 60, 62fovcdmd 7575 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13264, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ผ โ†’ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13325, 132gsumsn 19816 . . . . . . . . . . . . 13 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13458, 60, 131, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐ผ๐‘‹(๐‘โ€˜๐ผ)))
13568, 74oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((๐ผ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐ผ)) + (๐ผ๐‘(๐‘โ€˜๐ผ))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
137136oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13898, 137eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
13925, 90, 31, 32, 42, 92, 97gsummptfidmsplit 19792 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
140 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
141140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
142141oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
143 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}))
14478, 41sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘)
145 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
146143, 144, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
147 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
148143, 144, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘Œ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
149142, 146, 1483eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
150149mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
151150oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
152151oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
153139, 152eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
15425, 90, 31, 32, 50, 92, 97gsummptfidmsplit 19792 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
155 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
156155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘)))
157156oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘‹ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
158 ovres 7569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆง (๐‘โ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
159143, 144, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ(๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐ผ}) ร— ๐‘))(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
160157, 146, 1593eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))
161160mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))
162161oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
163162oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
164154, 163eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) = (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
165153, 164oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ {๐ผ} โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
16689, 138, 1653eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))
167166oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)(((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) + ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
16856, 167eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))
169168mpteq2dva 5247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) + ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
1709, 169eqtrid 2784 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))
171170oveq2d 7421 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
172 ringcmn 20092 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17310, 11, 1723syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
17438, 22symgbasfi 19240 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17519, 174syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
17624, 54ringcl 20066 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17713, 28, 44, 176syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17824, 54ringcl 20066 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17913, 28, 52, 178syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
18024, 53, 173, 175, 177, 179, 3, 6gsummptfidmadd2 19788 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))) โˆ˜f + (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
181171, 180eqtr3d 2774 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
182 mdetrlin.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
183 eqid 2732 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
184 eqid 2732 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
185182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22081 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18610, 79, 185syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘‹(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
187182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22081 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
18810, 14, 187syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Œ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
189182, 15, 16, 22, 183, 184, 54, 23mdetleib2 22081 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
19010, 45, 189syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))))
191188, 190oveq12d 7423 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘Œ(๐‘โ€˜๐‘Ÿ))))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)(.rโ€˜๐‘…)((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ๐‘(๐‘โ€˜๐‘Ÿ)))))))))
192181, 186, 1913eqtr4d 2782 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‹) = ((๐ทโ€˜๐‘Œ) + (๐ทโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627  โŸจcop 4633   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673   โ†พ cres 5677   โˆ˜ ccom 5679   Fn wfn 6535  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7664   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194   ฮฃg cgsu 17382  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  SymGrpcsymg 19228  pmSgncpsgn 19351  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  โ„คRHomczrh 21040   Mat cmat 21898   maDet cmdat 22077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mat 21899  df-mdet 22078
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  22100  mdetuni0  22114  mdetmul  22116
  Copyright terms: Public domain W3C validator