Theorem opprring 20491

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20429	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprrng 20489	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Rng)
5		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥))
6	5	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥))
7	6	ovanraleqv 7438	. . 3 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	ringidcl 20409	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	8, 11, 2, 12	opprmul 20484	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))
14	8, 11, 9	ringridm 20414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
15	13, 14	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
16	8, 11, 2, 12	opprmul 20484	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)
17	8, 11, 9	ringlidm 20413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	16, 17	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
19	15, 18	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	19	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	7, 10, 20	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥))
22	2, 8	opprbas 20487	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	22, 12	isringrng 20431	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring ↔ (𝑂 ∈ Rng ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥)))
24	4, 21, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  Rngcrng 20290  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  opp_rcoppr 20480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481

This theorem is used by:  opprringb  20492  mulgass3  20497  1unit  20518  unitmulcl  20524  unitnegcl  20541  irredlmul  20572  isdrngrd  20935  isdrngrdOLD  20937  issrngd  21024  isridl  21457  ridl0  21463  ridl1  21464  ply1divalg2  26367  crngmxidl  33875  opprmxidlabs  33892  opprqusmulr  33896  opprqusdrng  33898  qsdrngilem  33899  qsdrngi  33900  qsdrng  33902  lduallmodlem  40028