Theorem opprring 20307

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20245	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprrng 20305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Rng)
5		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥))
6	5	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥))
7	6	ovanraleqv 7429	. . 3 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
8		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	ringidcl 20225	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	8, 11, 2, 12	opprmul 20300	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))
14	8, 11, 9	ringridm 20230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
15	13, 14	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
16	8, 11, 2, 12	opprmul 20300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)
17	8, 11, 9	ringlidm 20229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	16, 17	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
19	15, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	19	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	7, 10, 20	rspcedvdw 3604	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥))
22	2, 8	opprbas 20303	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	22, 12	isringrng 20247	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring ↔ (𝑂 ∈ Rng ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥)))
24	4, 21, 23	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Rngcrng 20112  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  opp_rcoppr 20296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297

This theorem is referenced by:  opprringb  20308  mulgass3  20313  1unit  20334  unitmulcl  20340  unitnegcl  20357  irredlmul  20388  isdrngrd  20726  isdrngrdOLD  20728  issrngd  20815  isridl  21213  ridl0  21219  ridl1  21220  ply1divalg2  26096  crngmxidl  33484  opprmxidlabs  33502  opprqusmulr  33506  opprqusdrng  33508  qsdrngilem  33509  qsdrngi  33510  qsdrng  33512  lduallmodlem  39170