Theorem opprring 20577

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20514	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprrng 20575	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Rng)
5		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥))
6	5	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥))
7	6	ovanraleqv 7444	. . 3 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	ringidcl 20494	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	8, 11, 2, 12	opprmul 20570	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))
14	8, 11, 9	ringridm 20499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
15	13, 14	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
16	8, 11, 2, 12	opprmul 20570	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)
17	8, 11, 9	ringlidm 20498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	16, 17	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
19	15, 18	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	19	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	7, 10, 20	rspcedvdw 3580	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥))
22	2, 8	opprbas 20573	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	22, 12	isringrng 20516	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring ↔ (𝑂 ∈ Rng ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥)))
24	4, 21, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Rngcrng 20374  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  opp_rcoppr 20566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567

This theorem is used by:  opprringb  20578  mulgass3  20583  1unit  20604  unitmulcl  20610  unitnegcl  20627  irredlmul  20658  isdrngrd  21023  isdrngrdOLD  21025  issrngd  21112  isridl  21545  ridl0  21552  ridl1  21553  ply1divalg2  26457  crngmxidl  33994  opprmxidlabs  34011  opprqusmulr  34015  opprqusdrng  34017  qsdrngilem  34018  qsdrngi  34019  qsdrng  34021  lduallmodlem  40209