Theorem opprring 20589

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20526	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprrng 20587	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Rng)
5		oveq1 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥))
6	5	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥))
7	6	ovanraleqv 7451	. . 3 ⊢ (𝑧 = (1r‘𝑅) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	ringidcl 20506	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	8, 11, 2, 12	opprmul 20582	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))
14	8, 11, 9	ringridm 20511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
15	13, 14	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
16	8, 11, 2, 12	opprmul 20582	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)
17	8, 11, 9	ringlidm 20510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	16, 17	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
19	15, 18	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	19	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	7, 10, 20	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥))
22	2, 8	opprbas 20585	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	22, 12	isringrng 20528	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring ↔ (𝑂 ∈ Rng ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑧(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = 𝑥)))
24	4, 21, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  Rngcrng 20386  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  opp_rcoppr 20578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579

This theorem is used by:  opprringb  20590  mulgass3  20595  1unit  20616  unitmulcl  20622  unitnegcl  20639  irredlmul  20670  isdrngrd  21035  isdrngrdOLD  21037  issrngd  21124  isridl  21557  ridl0  21564  ridl1  21565  ply1divalg2  26469  crngmxidl  34047  opprmxidlabs  34064  opprqusmulr  34068  opprqusdrng  34070  qsdrngilem  34071  qsdrngi  34072  qsdrng  34074  lduallmodlem  40349