MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprring 20068
Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprring (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 20064 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
61, 5oppradd 20066 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
76a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑂))
8 eqidd 2734 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑂) = (.r𝑂))
9 ringgrp 19977 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103, 6grpprop 18774 . . 3 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
119, 10sylib 217 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Grp)
12 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑂) = (.r𝑂)
142, 12, 1, 13opprmul 20060 . . 3 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
152, 12ringcl 19989 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16153com23 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1714, 16eqeltrid 2838 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18 simpl 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
19 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
222, 12ringass 19992 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1373 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2423eqcomd 2739 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥))
2514oveq1i 7371 . . . 4 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧)
262, 12, 1, 13opprmul 20060 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
2725, 26eqtri 2761 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
282, 12, 1, 13opprmul 20060 . . . . 5 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
2928oveq2i 7372 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
302, 12, 1, 13opprmul 20060 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3129, 30eqtri 2761 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3224, 27, 313eqtr4g 2798 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
332, 5, 12ringdir 19996 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1373 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
352, 12, 1, 13opprmul 20060 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥)
362, 12, 1, 13opprmul 20060 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥)
3714, 36oveq12i 7373 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥))
3834, 35, 373eqtr4g 2798 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)))
392, 5, 12ringdi 19995 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1373 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
412, 12, 1, 13opprmul 20060 . . 3 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))
4236, 28oveq12i 7373 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
4340, 41, 423eqtr4g 2798 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
44 eqid 2733 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
452, 44ringidcl 19997 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
462, 12, 1, 13opprmul 20060 . . 3 ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅))
472, 12, 44ringridm 20001 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑥)
4846, 47eqtrid 2785 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = 𝑥)
492, 12, 1, 13opprmul 20060 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥)
502, 12, 44ringlidm 20000 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
5149, 50eqtrid 2785 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = 𝑥)
524, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51isringd 20017 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  1rcur 19921  Ringcrg 19972  opprcoppr 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057
This theorem is referenced by:  opprringb  20069  mulgass3  20074  1unit  20095  unitmulcl  20101  unitnegcl  20118  irredlmul  20147  opprnzr  20203  isdrngrd  20250  isdrngrdOLD  20252  issrngd  20363  2idlcpbl  20749  ply1divalg2  25526  lduallmodlem  37664
  Copyright terms: Public domain W3C validator