Theorem opprring 20113

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20109	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	1, 5	oppradd 20111	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
8		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂))
9		ringgrp 20019	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	3, 6	grpprop 18813	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
11	9, 10	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Grp)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
14	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
15	2, 12	ringcl 20031	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17	14, 16	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
19		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	2, 12	ringass 20034	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
24	23	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥))
25	14	oveq1i 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧)
26	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	25, 26	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . . . 5 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
29	28	oveq2i 7404	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
30	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
31	29, 30	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
32	24, 27, 31	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
33	2, 5, 12	ringdir 20039	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
34	18, 20, 19, 21, 33	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
35	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥)
36	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥)
37	14, 36	oveq12i 7405	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)))
39	2, 5, 12	ringdi 20038	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
40	18, 19, 21, 20, 39	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
41	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42	36, 28	oveq12i 7405	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
43	40, 41, 42	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
44		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
45	2, 44	ringidcl 20040	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))
47	2, 12, 44	ringridm 20044	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
48	46, 47	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
49	2, 12, 1, 13	opprmul 20105	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥)
50	2, 12, 44	ringlidm 20043	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
51	49, 50	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)(1r‘𝑅)) = 𝑥)
52	4, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51	isringd 20062	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Grpcgrp 18794  1_rcur 19963  Ringcrg 20014  opp_rcoppr 20101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102

This theorem is referenced by:  opprringb  20114  mulgass3  20119  1unit  20140  unitmulcl  20146  unitnegcl  20163  irredlmul  20192  opprnzr  20249  isdrngrd  20298  isdrngrdOLD  20300  issrngd  20418  2idlcpbl  20807  ply1divalg2  25585  crngmxidl  32436  opprmxidlabs  32447  opprqusmulr  32451  opprqusdrng  32453  qsdrngilem  32454  qsdrngi  32455  qsdrng  32457  lduallmodlem  37827