MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcomlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcomlem 20178
Description: Lemma for ringcom 20179. This (formerly) part of the proof for ringcom 20179 is also applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring), see srgcom4lem 20118. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) Variant of rglcom4d 20116 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcomlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Proof of Theorem ringcomlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
41, 2, 3ringdir 20164 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
54ralrimivvva 3197 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
653ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
81, 7ringidcl 20165 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
983ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
101, 3, 7ringlidm 20168 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
1110ralrimiva 3140 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
12113ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
13 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
141, 2ringacl 20177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1117 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
1615ralrimivva 3194 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
181, 2, 3ringdi 20163 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
1918ralrimivvva 3197 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
20193ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
21 simp3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
226, 9, 12, 13, 17, 20, 21rglcom4d 20116 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  ringcom  20179
  Copyright terms: Public domain W3C validator