MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcomlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcomlem 20219
Description: Lemma for ringcom 20220. This (formerly) part of the proof for ringcom 20220 is also applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring), see srgcom4lem 20157. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) Variant of rglcom4d 20155 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcomlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Proof of Theorem ringcomlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
41, 2, 3ringdir 20205 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
54ralrimivvva 3194 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
653ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7 eqid 2725 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
81, 7ringidcl 20206 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
983ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
101, 3, 7ringlidm 20209 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
1110ralrimiva 3136 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
12113ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
13 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
141, 2ringacl 20218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1117 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
1615ralrimivva 3191 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
181, 2, 3ringdi 20204 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
1918ralrimivvva 3194 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
20193ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
21 simp3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
226, 9, 12, 13, 17, 20, 21rglcom4d 20155 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  1rcur 20125  Ringcrg 20177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179
This theorem is referenced by:  ringcom  20220
  Copyright terms: Public domain W3C validator