MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcomlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcomlem 20096
Description: Lemma for ringcom 20097. This (formerly) part of the proof for ringcom 20097 is also applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring), see srgcom4lem 20036. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) Variant of rglcom4d 20034 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcomlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Proof of Theorem ringcomlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
41, 2, 3ringdir 20082 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
54ralrimivvva 3204 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
653ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ + 𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) + (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
81, 7ringidcl 20083 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
983ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
101, 3, 7ringlidm 20086 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
1110ralrimiva 3147 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
12113ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
13 simp2 1138 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
141, 2ringacl 20095 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1121 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
1615ralrimivva 3201 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
17163ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
181, 2, 3ringdi 20081 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
1918ralrimivvva 3204 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
20193ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) + (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
21 simp3 1139 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
226, 9, 12, 13, 17, 20, 21rglcom4d 20034 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058
This theorem is referenced by:  ringcom  20097
  Copyright terms: Public domain W3C validator