MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubr 19175
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18856 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 18118 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8 ssel2 3822 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11ringlz 18948 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11ringrz 18949 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2864 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3175 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11ring0cl 18930 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 474 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 18854 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 18113 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 249 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
2524ne0d 4153 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
26 simpl2 1248 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
27 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2821, 4cntzi 18119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
2926, 27, 28syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
30 simpl3 1250 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3121, 4cntzi 18119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3230, 27, 31syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3329, 32oveq12d 6928 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
34 simpl1l 1297 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
355, 26sseldi 3825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
365, 30sseldi 3825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
37 simp1r 1259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3837sselda 3827 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
39 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
402, 39, 10ringdir 18928 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4134, 35, 36, 38, 40syl13anc 1495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
422, 39, 10ringdi 18927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4334, 38, 35, 36, 42syl13anc 1495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4433, 41, 433eqtr4d 2871 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4544ralrimiva 3175 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
46 simp1l 1258 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
47 simp2 1171 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
485, 47sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
49 simp3 1172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
505, 49sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
512, 39ringacl 18939 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5246, 48, 50, 51syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
533, 21, 4cntzel 18113 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5437, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5545, 54mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
56553expa 1151 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5756ralrimiva 3175 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5828adantll 705 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
5958fveq2d 6441 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
60 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
61 simplll 791 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
62 simplr 785 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
635, 62sseldi 3825 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
64 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6564sselda 3827 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
662, 10, 60, 61, 63, 65ringmneg1 18957 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
672, 10, 60, 61, 65, 63ringmneg2 18958 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6859, 66, 673eqtr4d 2871 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
6968ralrimiva 3175 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
70 ringgrp 18913 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7170ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
72 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
735, 72sseldi 3825 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
742, 60grpinvcl 17828 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7571, 73, 74syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
763, 21, 4cntzel 18113 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7764, 75, 76syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7869, 77mpbird 249 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
7957, 78jca 507 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8079ralrimiva 3175 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8170adantr 474 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
822, 39, 60issubg2 17967 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8381, 82syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
846, 25, 80, 83mpbir3and 1446 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
851ringmgp 18914 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
863, 4cntzsubm 18125 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
8785, 86sylan 575 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
881issubrg3 19171 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
8988adantr 474 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
9084, 87, 89mpbir2and 704 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wss 3798  c0 4146  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  Mndcmnd 17654  SubMndcsubmnd 17694  Grpcgrp 17783  invgcminusg 17784  SubGrpcsubg 17946  Cntzccntz 18105  mulGrpcmgp 18850  Ringcrg 18908  SubRingcsubrg 19139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-subrg 19141
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  38610
  Copyright terms: Public domain W3C validator