MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubr 20066
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19735 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 18943 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8 ssel2 3917 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11ringlz 19835 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11ringrz 19836 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3104 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11ring0cl 19817 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 19733 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 18938 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
2524ne0d 4270 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
26 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2821, 4cntzi 18944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
30 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3121, 4cntzi 18944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3230, 27, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3329, 32oveq12d 7302 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
34 simpl1l 1223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
355, 26sselid 3920 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
365, 30sselid 3920 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
37 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3837sselda 3922 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
39 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
402, 39, 10ringdir 19815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4134, 35, 36, 38, 40syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
422, 39, 10ringdi 19814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4334, 38, 35, 36, 42syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4433, 41, 433eqtr4d 2789 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4544ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
46 simp1l 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
47 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
485, 47sselid 3920 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
49 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
505, 49sselid 3920 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
512, 39ringacl 19826 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5246, 48, 50, 51syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
533, 21, 4cntzel 18938 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5437, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5545, 54mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
56553expa 1117 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5756ralrimiva 3104 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5828adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
5958fveq2d 6787 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
60 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
61 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
62 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
635, 62sselid 3920 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
64 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6564sselda 3922 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
662, 10, 60, 61, 63, 65ringmneg1 19844 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
672, 10, 60, 61, 65, 63ringmneg2 19845 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6859, 66, 673eqtr4d 2789 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
6968ralrimiva 3104 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
70 ringgrp 19797 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7170ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
72 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
735, 72sselid 3920 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
742, 60grpinvcl 18636 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7571, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
763, 21, 4cntzel 18938 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7764, 75, 76syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7869, 77mpbird 256 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
7957, 78jca 512 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8079ralrimiva 3104 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8170adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
822, 39, 60issubg2 18779 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8381, 82syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
846, 25, 80, 83mpbir3and 1341 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
851ringmgp 19798 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
863, 4cntzsubm 18951 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
8785, 86sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
881issubrg3 20061 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
8988adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
9084, 87, 89mpbir2and 710 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wss 3888  c0 4257  cfv 6437  (class class class)co 7284  Basecbs 16921  +gcplusg 16971  .rcmulr 16972  0gc0g 17159  Mndcmnd 18394  SubMndcsubmnd 18438  Grpcgrp 18586  invgcminusg 18587  SubGrpcsubg 18758  Cntzccntz 18930  mulGrpcmgp 19729  Ringcrg 19792  SubRingcsubrg 20029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-subg 18761  df-cntz 18932  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-subrg 20031
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  20079  cntrcrng  31331
  Copyright terms: Public domain W3C validator