MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubr 20559
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
cntzsubr.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
cntzsubr.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsubr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 cntzsubr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2mgpbas 20094 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
4 cntzsubr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
53, 4cntzssv 19293 . . . 4 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡)
7 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 ssel2 3977 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
98adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
10 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
11 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
122, 10, 11ringlz 20243 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…))
137, 9, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…))
142, 10, 11ringrz 20244 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
157, 9, 14syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1613, 15eqtr4d 2771 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
1716ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
18 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
192, 11ring0cl 20217 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
2019adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
211, 10mgpplusg 20092 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
223, 21, 4cntzel 19288 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))))
2318, 20, 22syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))))
2417, 23mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (π‘β€˜π‘†))
2524ne0d 4339 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
26 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
2821, 4cntzi 19294 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
30 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†))
3121, 4cntzi 19294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
3230, 27, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦))
3329, 32oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)(+gβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
34 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
355, 26sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
365, 30sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
37 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
3837sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
39 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
402, 39, 10ringdir 20215 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)(+gβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
4134, 35, 36, 38, 40syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)(+gβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
422, 39, 10ringdi 20214 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)) = ((𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
4334, 38, 35, 36, 42syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)) = ((𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(+gβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
4433, 41, 433eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)))
4544ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)))
46 simp1l 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
485, 47sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
49 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†))
505, 49sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
512, 39ringacl 20228 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
5246, 48, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
533, 21, 4cntzel 19288 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦))))
5437, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 ((π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦))))
5545, 54mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†))
56553expa 1115 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†))
5756ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†))
5828adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
5958fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
60 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
61 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
62 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
635, 62sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
64 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
6564sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
662, 10, 60, 61, 63, 65ringmneg1 20254 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
672, 10, 60, 61, 65, 63ringmneg2 20255 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
6859, 66, 673eqtr4d 2778 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6968ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
70 ringgrp 20192 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
72 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
735, 72sselid 3980 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
742, 60grpinvcl 18958 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7571, 73, 74syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
763, 21, 4cntzel 19288 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
7764, 75, 76syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑧(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
7869, 77mpbird 256 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
7957, 78jca 510 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
8079ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)(βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
8170adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
822, 39, 60issubg2 19110 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ↔ ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)(βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))))
8381, 82syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ↔ ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘β€˜π‘†) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)(βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)(π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))))
846, 25, 80, 83mpbir3and 1339 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
851ringmgp 20193 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
863, 4cntzsubm 19303 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
8785, 86sylan 578 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
881issubrg3 20553 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))
8988adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))
9084, 87, 89mpbir2and 711 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  SubMndcsubmnd 18748  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905  SubGrpcsubg 19089  Cntzccntz 19280  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  SubRingcsubrg 20520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-subrng 20497  df-subrg 20522
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  20704  cntrcrng  32805
  Copyright terms: Public domain W3C validator