Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubr 19562
 Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19239 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 18452 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8 ssel2 3962 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11ringlz 19331 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11ringrz 19332 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2859 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11ring0cl 19313 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 19237 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 18447 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 259 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
2524ne0d 4301 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
26 simpl2 1188 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
27 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2821, 4cntzi 18453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
2926, 27, 28syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
30 simpl3 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3121, 4cntzi 18453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3230, 27, 31syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3329, 32oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
34 simpl1l 1220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
355, 26sseldi 3965 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
365, 30sseldi 3965 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
37 simp1r 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3837sselda 3967 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
39 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
402, 39, 10ringdir 19311 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4134, 35, 36, 38, 40syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
422, 39, 10ringdi 19310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4334, 38, 35, 36, 42syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4433, 41, 433eqtr4d 2866 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4544ralrimiva 3182 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
46 simp1l 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
47 simp2 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
485, 47sseldi 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
49 simp3 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
505, 49sseldi 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
512, 39ringacl 19322 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5246, 48, 50, 51syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
533, 21, 4cntzel 18447 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5437, 52, 53syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5545, 54mpbird 259 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
56553expa 1114 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5756ralrimiva 3182 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5828adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
5958fveq2d 6669 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
60 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
61 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
62 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
635, 62sseldi 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
64 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6564sselda 3967 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
662, 10, 60, 61, 63, 65ringmneg1 19340 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
672, 10, 60, 61, 65, 63ringmneg2 19341 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6859, 66, 673eqtr4d 2866 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
6968ralrimiva 3182 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
70 ringgrp 19296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
72 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
735, 72sseldi 3965 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
742, 60grpinvcl 18145 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7571, 73, 74syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
763, 21, 4cntzel 18447 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7764, 75, 76syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7869, 77mpbird 259 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
7957, 78jca 514 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8079ralrimiva 3182 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8170adantr 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
822, 39, 60issubg2 18288 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8381, 82syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
846, 25, 80, 83mpbir3and 1338 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
851ringmgp 19297 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
863, 4cntzsubm 18460 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
8785, 86sylan 582 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
881issubrg3 19557 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
8988adantr 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
9084, 87, 89mpbir2and 711 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560  0gc0g 16707  Mndcmnd 17905  SubMndcsubmnd 17949  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098  SubGrpcsubg 18267  Cntzccntz 18439  mulGrpcmgp 19233  Ringcrg 19291  SubRingcsubrg 19525 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527 This theorem is referenced by:  cntzsdrg  19575  cntrcrng  30692
 Copyright terms: Public domain W3C validator