Theorem cntzsubr 20851

Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20358	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19535	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8		ssel2 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	ringlz 20517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	ringrz 20518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	ring0cl 20489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20357	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19530	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4288	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
28	21, 4	cntzi 19536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
30		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
31	21, 4	cntzi 19536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	30, 27, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
33	29, 32	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
34		simpl1l 1243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
35	5, 26	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	5, 30	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38	37	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
39		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 39, 10	ringdir 20483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	34, 35, 36, 38, 40	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
42	2, 39, 10	ringdi 20482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	34, 38, 35, 36, 42	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
44	33, 41, 43	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45	44	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
46		simp1l 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
47		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
48	5, 47	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
50	5, 49	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	2, 39	ringacl 20500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	46, 48, 50, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
53	3, 21, 4	cntzel 19530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	37, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
55	45, 54	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	56	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
58	28	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
59	58	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
60		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
61		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
63	5, 62	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
64		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
65	64	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	2, 10, 60, 61, 63, 65	ringmneg1 20528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
67	2, 10, 60, 61, 65, 63	ringmneg2 20529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
68	59, 66, 67	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69	68	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
70		ringgrp 20457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
72		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
73	5, 72	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
74	2, 60	grpinvcl 19191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	71, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
76	3, 21, 4	cntzel 19530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
77	64, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
78	69, 77	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
79	57, 78	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
80	79	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
81	70	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
82	2, 39, 60	issubg2 19345	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
83	81, 82	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
84	6, 25, 80, 83	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
85	1	ringmgp 20458	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
86	3, 4	cntzsubm 19545	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
87	85, 86	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
88	1	issubrg3 20845	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
89	88	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
90	84, 87, 89	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  Mndcmnd 18916  SubMndcsubmnd 18970  Grpcgrp 19137  inv_gcminusg 19138  SubGrpcsubg 19323  Cntzccntz 19522  mulGrpcmgp 20353  Ringcrg 20452  SubRingcsubrg 20814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-subrng 20791  df-subrg 20815

This theorem is used by:  cntzsdrg  21052  cntrcrng  33635