Theorem cntzsubr 20634

Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19368	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8		ssel2 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	ringlz 20316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	ringrz 20317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	ring0cl 20290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20165	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4365	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
28	21, 4	cntzi 19369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
30		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
31	21, 4	cntzi 19369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	30, 27, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
33	29, 32	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
34		simpl1l 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
35	5, 26	sselid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	5, 30	sselid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38	37	sselda 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
39		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40	2, 39, 10	ringdir 20288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	34, 35, 36, 38, 40	syl13anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
42	2, 39, 10	ringdi 20287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	34, 38, 35, 36, 42	syl13anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
44	33, 41, 43	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45	44	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
46		simp1l 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
47		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
48	5, 47	sselid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
50	5, 49	sselid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	2, 39	ringacl 20301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	46, 48, 50, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
53	3, 21, 4	cntzel 19363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	37, 52, 53	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
55	45, 54	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	56	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
58	28	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
59	58	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
60		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
61		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
63	5, 62	sselid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
64		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
65	64	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
66	2, 10, 60, 61, 63, 65	ringmneg1 20327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
67	2, 10, 60, 61, 65, 63	ringmneg2 20328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
68	59, 66, 67	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69	68	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
70		ringgrp 20265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
71	70	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
72		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
73	5, 72	sselid 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
74	2, 60	grpinvcl 19027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	71, 73, 74	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
76	3, 21, 4	cntzel 19363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
77	64, 75, 76	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
78	69, 77	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
79	57, 78	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
80	79	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
81	70	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
82	2, 39, 60	issubg2 19181	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
84	6, 25, 80, 83	mpbir3and 1342	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
85	1	ringmgp 20266	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
86	3, 4	cntzsubm 19378	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
87	85, 86	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
88	1	issubrg3 20628	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
89	88	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
90	84, 87, 89	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  SubMndcsubmnd 18817  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  Cntzccntz 19355  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597

This theorem is referenced by:  cntzsdrg  20825  cntrcrng  33046