Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ringlghm.b |
. 2
โข ๐ต = (Baseโ๐
) |
2 | | eqid 2733 |
. 2
โข
(+gโ๐
) = (+gโ๐
) |
3 | | ringgrp 19977 |
. . 3
โข (๐
โ Ring โ ๐
โ Grp) |
4 | 3 | adantr 482 |
. 2
โข ((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐
โ Grp) |
5 | | ringlghm.t |
. . . . 5
โข ยท =
(.rโ๐
) |
6 | 1, 5 | ringcl 19989 |
. . . 4
โข ((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐ฅ) โ ๐ต) |
7 | 6 | 3expa 1119 |
. . 3
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐ฅ) โ ๐ต) |
8 | 7 | fmpttd 7067 |
. 2
โข ((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)):๐ตโถ๐ต) |
9 | | 3anass 1096 |
. . . . 5
โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ต โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต))) |
10 | 1, 2, 5 | ringdi 19995 |
. . . . 5
โข ((๐
โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = ((๐ ยท ๐ฆ)(+gโ๐
)(๐ ยท ๐ง))) |
11 | 9, 10 | sylan2br 596 |
. . . 4
โข ((๐
โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต))) โ (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = ((๐ ยท ๐ฆ)(+gโ๐
)(๐ ยท ๐ง))) |
12 | 11 | anassrs 469 |
. . 3
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = ((๐ ยท ๐ฆ)(+gโ๐
)(๐ ยท ๐ง))) |
13 | 1, 2 | ringacl 20007 |
. . . . . 6
โข ((๐
โ Ring โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต) โ (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง) โ ๐ต) |
14 | 13 | 3expb 1121 |
. . . . 5
โข ((๐
โ Ring โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง) โ ๐ต) |
15 | 14 | adantlr 714 |
. . . 4
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง) โ ๐ต) |
16 | | oveq2 7369 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง) โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง))) |
17 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) |
18 | | ovex 7394 |
. . . . 5
โข (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) โ V |
19 | 16, 17, 18 | fvmpt 6952 |
. . . 4
โข ((๐ฆ(+gโ๐
)๐ง) โ ๐ต โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ(๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง))) |
20 | 15, 19 | syl 17 |
. . 3
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ(๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = (๐ ยท (๐ฆ(+gโ๐
)๐ง))) |
21 | | oveq2 7369 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐ฆ)) |
22 | | ovex 7394 |
. . . . . 6
โข (๐ ยท ๐ฆ) โ V |
23 | 21, 17, 22 | fvmpt 6952 |
. . . . 5
โข (๐ฆ โ ๐ต โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ฆ) = (๐ ยท ๐ฆ)) |
24 | | oveq2 7369 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐ง)) |
25 | | ovex 7394 |
. . . . . 6
โข (๐ ยท ๐ง) โ V |
26 | 24, 17, 25 | fvmpt 6952 |
. . . . 5
โข (๐ง โ ๐ต โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ง) = (๐ ยท ๐ง)) |
27 | 23, 26 | oveqan12d 7380 |
. . . 4
โข ((๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต) โ (((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ฆ)(+gโ๐
)((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ง)) = ((๐ ยท ๐ฆ)(+gโ๐
)(๐ ยท ๐ง))) |
28 | 27 | adantl 483 |
. . 3
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ฆ)(+gโ๐
)((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ง)) = ((๐ ยท ๐ฆ)(+gโ๐
)(๐ ยท ๐ง))) |
29 | 12, 20, 28 | 3eqtr4d 2783 |
. 2
โข (((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ(๐ฆ(+gโ๐
)๐ง)) = (((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ฆ)(+gโ๐
)((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ))โ๐ง))) |
30 | 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 29 | isghmd 19025 |
1
โข ((๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐
GrpHom ๐
)) |