Theorem ringlghm 20255

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringlghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2728	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		ringgrp 20185	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringlghm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	ringcl 20197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1115	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
10	1, 2, 5	ringdi 20207	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
11	9, 10	sylan2br 593	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
12	11	anassrs 466	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
13	1, 2	ringacl 20221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
14	13	3expb 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16		oveq2 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
18		ovex 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 7010	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
20	15, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
21		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑦))
22		ovex 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑦) ∈ V
23	21, 17, 22	fvmpt 7010	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
24		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑧))
25		ovex 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑧) ∈ V
26	24, 17, 25	fvmpt 7010	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑋 · 𝑧))
27	23, 26	oveqan12d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
28	27	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
29	12, 20, 28	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)))
30	1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 29	isghmd 19186	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241  Grpcgrp 18897   GrpHom cghm 19174  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ring 20182

This theorem is referenced by:  gsummulc2OLD  20258  gsummulc2  20260