MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlghm 19622
Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringlghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2737 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 19567 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 19579 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1120 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 6932 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1097 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
101, 2, 5ringdi 19584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
119, 10sylan2br 598 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
1211anassrs 471 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
131, 2ringacl 19596 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
14133expb 1122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1514adantlr 715 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16 oveq2 7221 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
17 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
18 ovex 7246 . . . . 5 (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6818 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2015, 19syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
21 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑦))
22 ovex 7246 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑦) ∈ V
2321, 17, 22fvmpt 6818 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
24 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑧))
25 ovex 7246 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑧) ∈ V
2624, 17, 25fvmpt 6818 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑋 · 𝑧))
2723, 26oveqan12d 7232 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2827adantl 485 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2912, 20, 283eqtr4d 2787 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)))
301, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 29isghmd 18631 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  Grpcgrp 18365   GrpHom cghm 18619  Ringcrg 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-ghm 18620  df-mgp 19505  df-ring 19564
This theorem is referenced by:  gsummulc2  19625
  Copyright terms: Public domain W3C validator