MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlghm 20310
Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringlghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2736 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 20236 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 20248 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1118 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 7134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1094 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
101, 2, 5ringdi 20259 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
119, 10sylan2br 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
1211anassrs 467 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
131, 2ringacl 20276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
14133expb 1120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1514adantlr 715 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
17 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
18 ovex 7465 . . . . 5 (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7015 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2015, 19syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)))
21 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑦))
22 ovex 7465 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑦) ∈ V
2321, 17, 22fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
24 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑧))
25 ovex 7465 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑧) ∈ V
2624, 17, 25fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑋 · 𝑧))
2723, 26oveqan12d 7451 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2827adantl 481 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
2912, 20, 283eqtr4d 2786 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)))
301, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 29isghmd 19244 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18952   GrpHom cghm 19231  Ringcrg 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ring 20233
This theorem is referenced by:  gsummulc2OLD  20313  gsummulc2  20315  lactlmhm  33686
  Copyright terms: Public domain W3C validator