MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlghm 20036
Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringlghm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringlghm ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹

Proof of Theorem ringlghm
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2733 . 2 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
3 ringgrp 19977 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
43adantr 482 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 ringlghm.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
61, 5ringcl 19989 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1119 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87fmpttd 7067 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
9 3anass 1096 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)))
101, 2, 5ringdi 19995 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘ง)))
119, 10sylan2br 596 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘ง)))
1211anassrs 469 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘ง)))
131, 2ringacl 20007 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
14133expb 1121 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1514adantlr 714 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
16 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
17 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))
18 ovex 7394 . . . . 5 (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) โˆˆ V
1916, 17, 18fvmpt 6952 . . . 4 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
2015, 19syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
21 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ))
22 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
2321, 17, 22fvmpt 6952 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‹ ยท ๐‘ฆ))
24 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘ง))
25 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘‹ ยท ๐‘ง) โˆˆ V
2624, 17, 25fvmpt 6952 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง) = (๐‘‹ ยท ๐‘ง))
2723, 26oveqan12d 7380 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘ง)))
2827adantl 483 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘ง)))
2912, 20, 283eqtr4d 2783 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
301, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 29isghmd 19025 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756   GrpHom cghm 19013  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ghm 19014  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  gsummulc2  20039
  Copyright terms: Public domain W3C validator