Theorem mamudir 22324

Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamudir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mamudir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamudir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
mamudir.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamudir	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudir

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mamudir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		mamucl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8	7	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
9	3	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mamudir.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
16	13, 14, 15	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17		mamudir.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
18		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
22	20, 15, 21	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
23		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 23	ringcl 20197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
25	9, 16, 22, 24	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
26		mamudir.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
27		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
30	29, 15, 21	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 23	ringcl 20197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
32	9, 16, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))
34		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
35	1, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34	gsummptfidmadd2 19888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
36	20	ffnd 6728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂))
37	29	ffnd 6728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
38		mamudi.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
39		xpfi 9349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
40	7, 38, 39	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
42		opelxpi 5719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
43	42	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
44	43	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
45	44	adantll 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
46		fnfvof 7708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂) ∧ 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂)) ∧ ((𝑁 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))) → ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
47	36, 37, 41, 45, 46	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
48		df-ov 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘) = ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
49		df-ov 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗𝑌𝑘) = (𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
50		df-ov 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
51	49, 50	oveq12i 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
52	47, 48, 51	3eqtr4g 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘) = ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)))
53	52	oveq2d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))))
54	1, 2, 23	ringdi 20207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
55	9, 16, 22, 30, 54	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
56	53, 55	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
57	56	mpteq2dva 5252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
58		eqidd 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))
59		eqidd 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
60	8, 25, 32, 58, 59	offval2 7711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61	57, 60	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘))) = ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
62	61	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
63		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
64	3	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
65		mamudi.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
66	65	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
67	38	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
68	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
69	17	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
70		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
71		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
72	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 69, 70, 71	mamufv 22309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
73	26	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
74	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 73, 70, 71	mamufv 22309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
75	72, 74	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
76	35, 62, 75	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
77		ringmnd 20190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
78	3, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
79	1, 2	mndvcl 22313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂))) → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
80	78, 17, 26, 79	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
81	80	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
82	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 81, 70, 71	mamufv 22309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))))
83	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 17	mamucl 22321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
84		elmapi 8874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
85		ffn 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
86	83, 84, 85	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
87	86	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
88	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 26	mamucl 22321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
89		elmapi 8874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90		ffn 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91	88, 89, 90	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
92	91	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93		xpfi 9349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
94	65, 38, 93	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
95	94	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
96		opelxpi 5719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
97	96	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
98		fnfvof 7708	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
99	87, 92, 95, 97, 98	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
100		df-ov 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
101		df-ov 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
102		df-ov 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
103	101, 102	oveq12i 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
104	99, 100, 103	3eqtr4g 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
105	76, 82, 104	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
106	105	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
107	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 80	mamucl 22321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
108		elmapi 8874	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109		ffn 6727	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
110	107, 108, 109	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
111	1, 2	mndvcl 22313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
112	78, 83, 88, 111	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
113		elmapi 8874	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
114		ffn 6727	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115	112, 113, 114	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116		eqfnov2 7557	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117	110, 115, 116	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118	106, 117	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ⟨cop 4638  ⟨cotp 4640   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241   Σ_g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  CMndccmn 19742  Ringcrg 20180   maMul cmmul 22305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-mamu 22306

This theorem is referenced by:  matring  22365