MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudir 21767
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamudir.p + = (+g𝑅)
mamudir.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudir.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
mamudir.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamudir (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudir
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamudir.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 20010 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
93ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mamudir.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
11 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1613, 14, 15fovcdmd 7531 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17 mamudir.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
18 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2220, 15, 21fovcdmd 7531 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 23ringcl 19988 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
259, 16, 22, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
26 mamudir.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
27 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3029, 15, 21fovcdmd 7531 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
311, 23ringcl 19988 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
329, 16, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))
34 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 19710 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
3620ffnd 6674 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂))
3729ffnd 6674 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
38 mamudi.o . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
39 xpfi 9268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
407, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
42 opelxpi 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑁𝑘𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4342ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑂𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4443adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑀𝑘𝑂) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4544adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
46 fnfvof 7639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂) ∧ 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂)) ∧ ((𝑁 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))) → ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
4736, 37, 41, 45, 46syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
48 df-ov 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘) = ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
49 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑌𝑘) = (𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
50 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
5149, 50oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
5247, 48, 513eqtr4g 2802 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘) = ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)))
5352oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))))
541, 2, 23ringdi 19994 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
559, 16, 22, 30, 54syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5653, 55eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5756mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
58 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))
59 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
608, 25, 32, 58, 59offval2 7642 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6157, 60eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘))) = ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6261oveq2d 7378 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
63 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
643adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
65 mamudi.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
6738adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6810adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
6917adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
70 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
71 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
7263, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 69, 70, 71mamufv 21752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
7326adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7463, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 73, 70, 71mamufv 21752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7572, 74oveq12d 7380 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7635, 62, 753eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
77 ringmnd 19981 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
783, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
791, 2mndvcl 21756 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂))) → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8078, 17, 26, 79syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8180adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8263, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 81, 70, 71mamufv 21752 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))))
831, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 17mamucl 21764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
84 elmapi 8794 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
85 ffn 6673 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
8786adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
881, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 26mamucl 21764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
89 elmapi 8794 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90 ffn 6673 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9291adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93 xpfi 9268 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9465, 38, 93syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9594adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
96 opelxpi 5675 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
9796adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
98 fnfvof 7639 . . . . . 6 ((((𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
9987, 92, 95, 97, 98syl22anc 838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
100 df-ov 7365 . . . . 5 (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
101 df-ov 7365 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
102 df-ov 7365 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
103101, 102oveq12i 7374 . . . . 5 ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
10499, 100, 1033eqtr4g 2802 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
10576, 82, 1043eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
106105ralrimivva 3198 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
1071, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 80mamucl 21764 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
108 elmapi 8794 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109 ffn 6673 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
110107, 108, 1093syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
1111, 2mndvcl 21756 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11278, 83, 88, 111syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
113 elmapi 8794 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
114 ffn 6673 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115112, 113, 1143syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116 eqfnov2 7491 . . 3 (((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117110, 115, 116syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118106, 117mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cop 4597  cotp 4599  cmpt 5193   × cxp 5636   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  f cof 7620  m cmap 8772  Fincfn 8890  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141   Σg cgsu 17329  Mndcmnd 18563  CMndccmn 19569  Ringcrg 19971   maMul cmmul 21748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-mamu 21749
This theorem is referenced by:  matring  21808
  Copyright terms: Public domain W3C validator