MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudir 21657
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamudir.p + = (+g𝑅)
mamudir.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudir.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
mamudir.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamudir (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudir
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamudir.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19915 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
93ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mamudir.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
11 elmapi 8708 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14 simplrl 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1613, 14, 15fovcdmd 7506 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17 mamudir.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
18 elmapi 8708 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2220, 15, 21fovcdmd 7506 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
23 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 23ringcl 19895 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
259, 16, 22, 24syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
26 mamudir.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
27 elmapi 8708 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
3029, 15, 21fovcdmd 7506 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
311, 23ringcl 19895 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
329, 16, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))
34 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 19622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
3620ffnd 6652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂))
3729ffnd 6652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
38 mamudi.o . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
39 xpfi 9182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
407, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
42 opelxpi 5657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑁𝑘𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4342ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑂𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4443adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑀𝑘𝑂) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
4544adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
46 fnfvof 7612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂) ∧ 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂)) ∧ ((𝑁 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))) → ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
4736, 37, 41, 45, 46syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
48 df-ov 7340 . . . . . . . . . . 11 (𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘) = ((𝑌f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
49 df-ov 7340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑌𝑘) = (𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
50 df-ov 7340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
5149, 50oveq12i 7349 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
5247, 48, 513eqtr4g 2801 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘) = ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)))
5352oveq2d 7353 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))))
541, 2, 23ringdi 19900 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
559, 16, 22, 30, 54syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5653, 55eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5756mpteq2dva 5192 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
58 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))
59 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
608, 25, 32, 58, 59offval2 7615 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6157, 60eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘))) = ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6261oveq2d 7353 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
63 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
643adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
65 mamudi.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
6738adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6810adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
6917adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
70 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
71 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
7263, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 69, 70, 71mamufv 21642 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
7326adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
7463, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 73, 70, 71mamufv 21642 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7572, 74oveq12d 7355 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7635, 62, 753eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
77 ringmnd 19888 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
783, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
791, 2mndvcl 21646 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂))) → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8078, 17, 26, 79syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8180adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌f + 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
8263, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 81, 70, 71mamufv 21642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗(𝑌f + 𝑍)𝑘)))))
831, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 17mamucl 21654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
84 elmapi 8708 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
85 ffn 6651 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
8786adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
881, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 26mamucl 21654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
89 elmapi 8708 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90 ffn 6651 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9291adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93 xpfi 9182 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9465, 38, 93syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
96 opelxpi 5657 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
9796adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
98 fnfvof 7612 . . . . . 6 ((((𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
9987, 92, 95, 97, 98syl22anc 836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
100 df-ov 7340 . . . . 5 (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
101 df-ov 7340 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
102 df-ov 7340 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
103101, 102oveq12i 7349 . . . . 5 ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
10499, 100, 1033eqtr4g 2801 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
10576, 82, 1043eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
106105ralrimivva 3193 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
1071, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 80mamucl 21654 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
108 elmapi 8708 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109 ffn 6651 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
110107, 108, 1093syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
1111, 2mndvcl 21646 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11278, 83, 88, 111syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
113 elmapi 8708 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
114 ffn 6651 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115112, 113, 1143syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116 eqfnov2 7466 . . 3 (((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117110, 115, 116syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118106, 117mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  cop 4579  cotp 4581  cmpt 5175   × cxp 5618   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  f cof 7593  m cmap 8686  Fincfn 8804  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060   Σg cgsu 17248  Mndcmnd 18482  CMndccmn 19481  Ringcrg 19878   maMul cmmul 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-mamu 21639
This theorem is referenced by:  matring  21698
  Copyright terms: Public domain W3C validator