Theorem mamudir 22613

Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamudir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mamudir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamudir.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
mamudir.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamudir	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudir

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mamudir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		mamucl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
9	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mamudir.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11		elmapi 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
16	13, 14, 15	fovcdmd 7592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17		mamudir.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
18		elmapi 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
22	20, 15, 21	fovcdmd 7592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
23		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 23	ringcl 20378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
25	9, 16, 22, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
26		mamudir.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
27		elmapi 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
30	29, 15, 21	fovcdmd 7592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 23	ringcl 20378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
32	9, 16, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))
34		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
35	1, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34	gsummptfidmadd2 20042	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
36	20	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂))
37	29	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂))
38		mamudi.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
39		xpfi 9286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
40	7, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 × 𝑂) ∈ Fin)
42		opelxpi 5700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
43	42	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
44	43	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
45	44	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))
46		fnfvof 7701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 Fn (𝑁 × 𝑂) ∧ 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑂)) ∧ ((𝑁 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝑁 × 𝑂))) → ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
47	36, 37, 41, 45, 46	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)))
48		df-ov 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘) = ((𝑌 ∘f + 𝑍)‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
49		df-ov 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗𝑌𝑘) = (𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
50		df-ov 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗𝑍𝑘) = (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
51	49, 50	oveq12i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑌‘⟨𝑗, 𝑘⟩) + (𝑍‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
52	47, 48, 51	3eqtr4g 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘) = ((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘)))
53	52	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))))
54	1, 2, 23	ringdi 20390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
55	9, 16, 22, 30, 54	syl13anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)((𝑗𝑌𝑘) + (𝑗𝑍𝑘))) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
56	53, 55	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
57	56	mpteq2dva 5206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
58		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))
59		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
60	8, 25, 32, 58, 59	offval2 7704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) + ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61	57, 60	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘))) = ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
62	61	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
63		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
64	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
65		mamudi.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
66	65	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
67	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
68	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
69	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
70		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
71		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
72	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 69, 70, 71	mamufv 22603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
73	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
74	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 73, 70, 71	mamufv 22603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
75	72, 74	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
76	35, 62, 75	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
77		ringmnd 20371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
78	3, 77	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
79	1, 2	mndvcl 18894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂))) → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
80	78, 17, 26, 79	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
81	80	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌 ∘f + 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
82	63, 1, 23, 64, 66, 8, 67, 68, 81, 70, 71	mamufv 22603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗(𝑌 ∘f + 𝑍)𝑘)))))
83	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 17	mamucl 22610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
84		elmapi 8852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
85		ffn 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑌):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
86	83, 84, 85	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
87	86	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂))
88	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 26	mamucl 22610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
89		elmapi 8852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
90		ffn 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91	88, 89, 90	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
92	91	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
93		xpfi 9286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
94	65, 38, 93	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
95	94	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
96		opelxpi 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
97	96	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
98		fnfvof 7701	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋𝐹𝑌) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
99	87, 92, 95, 97, 98	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
100		df-ov 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
101		df-ov 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
102		df-ov 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
103	101, 102	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑌)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
104	99, 100, 103	3eqtr4g 2825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑌)𝑘) + (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘)))
105	76, 82, 104	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
106	105	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘))
107	1, 3, 63, 65, 7, 38, 10, 80	mamucl 22610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
108		elmapi 8852	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
109		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
110	107, 108, 109	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
111	1, 2	mndvcl 18894	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
112	78, 83, 88, 111	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
113		elmapi 8852	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
114		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
115	112, 113, 114	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
116		eqfnov2 7549	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
117	110, 115, 116	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖(𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍))𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍))𝑘)))
118	106, 117	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑌 ∘f + 𝑍)) = ((𝑋𝐹𝑌) ∘f + (𝑋𝐹𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ⟨cop 4597  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826  CMndccmn 19896  Ringcrg 20361   maMul cmmul 22599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-mamu 22600

This theorem is used by:  matring  22652