MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegr 20317
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 37929 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringnegr (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem ringnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 20256 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 20280 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑1𝐵)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
105, 9grpinvcl 19018 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
114, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
12 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
145, 12, 13ringdi 20278 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵1𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
175, 12, 16, 9grplinv 19020 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
184, 8, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
1918oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g𝑅)))
205, 13, 16ringrz 20308 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
211, 2, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (0g𝑅))
235, 13, 6ringridm 20284 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
241, 2, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
2524oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋))
2615, 22, 253eqtr3rd 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅))
275, 13ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
281, 2, 11, 27syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
295, 12, 16, 9grpinvid2 19023 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )))
3231eqcomd 2741 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  1rcur 20199  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  ringmneg2  20319  irredneg  20447  lmodsubdi  20934  mdetunilem7  22640  ldualvsubval  39139  lcdvsubval  41601  mapdpglem30  41685
  Copyright terms: Public domain W3C validator