MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegr 20202
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 37323 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringnegl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringnegl.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringnegl.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringnegl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringnegl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringnegr (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) = (๐‘โ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem ringnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 ringgrp 20143 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐‘…)
75, 6ringidcl 20165 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
105, 9grpinvcl 18917 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
114, 8, 10syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringnegl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
145, 12, 13ringdi 20163 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )))
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
175, 12, 16, 9grplinv 18919 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 ) = (0gโ€˜๐‘…))
184, 8, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 ) = (0gโ€˜๐‘…))
1918oveq2d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
205, 13, 16ringrz 20193 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
211, 2, 20syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
2219, 21eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
235, 13, 6ringridm 20169 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
241, 2, 23syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
2524oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
2615, 22, 253eqtr3rd 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
275, 13ringcl 20155 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
281, 2, 11, 27syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
295, 12, 16, 9grpinvid2 18922 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )))
3231eqcomd 2732 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  1rcur 20086  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  ringmneg2  20204  irredneg  20332  lmodsubdi  20765  mdetunilem7  22475  ldualvsubval  38540  lcdvsubval  41002  mapdpglem30  41086
  Copyright terms: Public domain W3C validator