MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegr 20246
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 37448 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringnegl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringnegl.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringnegl.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringnegl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringnegl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringnegr (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) = (๐‘โ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem ringnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 ringgrp 20185 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐‘…)
75, 6ringidcl 20209 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
105, 9grpinvcl 18951 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
114, 8, 10syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringnegl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
145, 12, 13ringdi 20207 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )))
16 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
175, 12, 16, 9grplinv 18953 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 ) = (0gโ€˜๐‘…))
184, 8, 17syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 ) = (0gโ€˜๐‘…))
1918oveq2d 7442 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
205, 13, 16ringrz 20237 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
211, 2, 20syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
2219, 21eqtrd 2768 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜ 1 )(+gโ€˜๐‘…) 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
235, 13, 6ringridm 20213 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
241, 2, 23syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
2524oveq2d 7442 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 1 )) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
2615, 22, 253eqtr3rd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
275, 13ringcl 20197 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
281, 2, 11, 27syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
295, 12, 16, 9grpinvid2 18956 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 ))(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…)))
3126, 30mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )))
3231eqcomd 2734 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜ 1 )) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  1rcur 20128  Ringcrg 20180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182
This theorem is referenced by:  ringmneg2  20248  irredneg  20376  lmodsubdi  20809  mdetunilem7  22540  ldualvsubval  38661  lcdvsubval  41123  mapdpglem30  41207
  Copyright terms: Public domain W3C validator