![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringnegr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 37448 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringnegl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringnegl.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
ringnegl.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
ringnegl.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringnegl.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegr | โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ 1 )) = (๐โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringnegl.r | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
2 | ringnegl.x | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | ringgrp 20185 | . . . . . . 7 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
4 | 1, 3 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
5 | ringnegl.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
6 | ringnegl.u | . . . . . . . 8 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
7 | 5, 6 | ringidcl 20209 | . . . . . . 7 โข (๐ โ Ring โ 1 โ ๐ต) |
8 | 1, 7 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 โ ๐ต) |
9 | ringnegl.n | . . . . . . 7 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
10 | 5, 9 | grpinvcl 18951 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
11 | 4, 8, 10 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
12 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
13 | ringnegl.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | 5, 12, 13 | ringdi 20207 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง (๐โ 1 ) โ ๐ต โง 1 โ ๐ต)) โ (๐ ยท ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 )) = ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )(๐ ยท 1 ))) |
15 | 1, 2, 11, 8, 14 | syl13anc 1369 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 )) = ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )(๐ ยท 1 ))) |
16 | eqid 2728 | . . . . . . . 8 โข (0gโ๐ ) = (0gโ๐ ) | |
17 | 5, 12, 16, 9 | grplinv 18953 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 ) = (0gโ๐ )) |
18 | 4, 8, 17 | syl2anc 582 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 ) = (0gโ๐ )) |
19 | 18 | oveq2d 7442 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 )) = (๐ ยท (0gโ๐ ))) |
20 | 5, 13, 16 | ringrz 20237 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท (0gโ๐ )) = (0gโ๐ )) |
21 | 1, 2, 20 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท (0gโ๐ )) = (0gโ๐ )) |
22 | 19, 21 | eqtrd 2768 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ((๐โ 1 )(+gโ๐ ) 1 )) = (0gโ๐ )) |
23 | 5, 13, 6 | ringridm 20213 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 1 ) = ๐) |
24 | 1, 2, 23 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท 1 ) = ๐) |
25 | 24 | oveq2d 7442 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )(๐ ยท 1 )) = ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )๐)) |
26 | 15, 22, 25 | 3eqtr3rd 2777 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )๐) = (0gโ๐ )) |
27 | 5, 13 | ringcl 20197 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง (๐โ 1 ) โ ๐ต) โ (๐ ยท (๐โ 1 )) โ ๐ต) |
28 | 1, 2, 11, 27 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ 1 )) โ ๐ต) |
29 | 5, 12, 16, 9 | grpinvid2 18956 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ๐ โ ๐ต โง (๐ ยท (๐โ 1 )) โ ๐ต) โ ((๐โ๐) = (๐ ยท (๐โ 1 )) โ ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )๐) = (0gโ๐ ))) |
30 | 4, 2, 28, 29 | syl3anc 1368 | . . 3 โข (๐ โ ((๐โ๐) = (๐ ยท (๐โ 1 )) โ ((๐ ยท (๐โ 1 ))(+gโ๐ )๐) = (0gโ๐ ))) |
31 | 26, 30 | mpbird 256 | . 2 โข (๐ โ (๐โ๐) = (๐ ยท (๐โ 1 ))) |
32 | 31 | eqcomd 2734 | 1 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ 1 )) = (๐โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Basecbs 17187 +gcplusg 17240 .rcmulr 17241 0gc0g 17428 Grpcgrp 18897 invgcminusg 18898 1rcur 20128 Ringcrg 20180 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-plusg 17253 df-0g 17430 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-grp 18900 df-minusg 18901 df-cmn 19744 df-abl 19745 df-mgp 20082 df-rng 20100 df-ur 20129 df-ring 20182 |
This theorem is referenced by: ringmneg2 20248 irredneg 20376 lmodsubdi 20809 mdetunilem7 22540 ldualvsubval 38661 lcdvsubval 41123 mapdpglem30 41207 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |