Theorem ringcld 20484

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Ringcrg 20459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mgp 20361  df-ring 20461

This theorem is used by:  crng4  20488  gsumdixp  20548  xpsring1d  20563  rspsn0  21526  rhmqusnsg  21581  rngqiprnglin  21598  ssdifidlprm  21642  prmidlsubm  21643  frlmphl  22087  assa2ass  22171  assa2ass2  22172  assapropd  22179  rhmpsrlem2  22249  psrass1  22271  psrdi  22272  psrass23l  22274  psrass23  22276  evlsvvval  22402  evlmulval  22413  rhmcomulmpl  22433  evlsmaprhm  22440  selvvvval  22451  selvmul  22453  mhpmulcl  22470  psdmul  22487  evls1fpws  22687  evls1muld  22690  evls1maprhm  22694  rhmmpl  22698  mamuass  22717  mamuvs1  22720  mamuvs2  22721  mavmulass  22864  mdetrsca  22918  r1pid2  26480  gsummulsubdishift1  33629  gsummulsubdishift2  33630  fxpsubrg  33735  elrgspnlem2  33804  elrgspnsubrunlem1  33808  erlbr2d  33825  erler  33826  erld2  33827  rlocaddval  33830  rlocmulval  33831  rloccring  33832  rlocf1  33835  rlocisunit  33837  rrgsubm  33845  fracerl  33868  fracfld  33870  dvdsruasso  33940  rhmquskerlem  33975  elrspunsn  33979  mxidlirredi  33996  qsdrngilem  34018  dflringlem2  34027  rprmasso2  34058  unitmulrprm  34060  rprmirredlem  34062  1arithidomlem1  34067  1arithidomlem2  34068  1arithidom  34069  1arithufdlem2  34077  1arithufdlem3  34078  evl1deg1  34108  evl1deg2  34109  evl1deg3  34110  ply1dg1rt  34112  ply1mulrtss  34114  q1pdir  34135  q1pvsca  34136  r1pvsca  34137  r1pcyc  34139  r1padd1  34140  0mplrim  34146  selvply1rhmlemb  34151  selvply1rhm  34157  evlextv  34174  mplvrpmrhm  34179  psrmonmul  34182  esplyind  34207  esplyfvn  34209  vietalem  34211  srapwov  34221  assalactf1o  34267  fldextrspunlsplem  34305  fldextrspunlsp  34306  irredminply  34348  rtelextdg2lem  34358  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  ply1divalg3  36407  r1peuqusdeg1  36408  aks6d1c1p4  43161  drnginvmuld  43588  rhmcomulpsr  43610  rhmpsr  43611  evlsbagval  43614  evlselv  43617  evlsmhpvvval  43623  mhphf  43625  prjspertr  43633  idomcanl  49443