Theorem ringcld 20535

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20528	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mgp 20412  df-ring 20512

This theorem is used by:  crng4  20539  gsumdixp  20599  xpsring1d  20614  rspsn0  21577  rhmqusnsg  21632  rngqiprnglin  21649  ssdifidlprm  21693  prmidlsubm  21694  frlmphl  22142  assa2ass  22226  assa2ass2  22227  assapropd  22234  rhmpsrlem2  22304  psrass1  22326  psrdi  22327  psrass23l  22329  psrass23  22331  evlsvvval  22457  evlmulval  22468  rhmcomulmpl  22488  evlsmaprhm  22495  selvvvval  22506  selvmul  22508  mhpmulcl  22525  psdmul  22542  evls1fpws  22742  evls1muld  22745  evls1maprhm  22749  rhmmpl  22753  mamuass  22772  mamuvs1  22775  mamuvs2  22776  mavmulass  22919  mdetrsca  22973  r1pid2  26535  gsummulsubdishift1  33728  gsummulsubdishift2  33729  fxpsubrg  33834  elrgspnlem2  33903  elrgspnsubrunlem1  33907  erlbr2d  33924  erler  33925  erld2  33926  rlocaddval  33929  rlocmulval  33930  rloccring  33931  rlocf1  33934  rlocisunit  33936  rrgsubm  33944  fldedom  33956  edompidlem  33960  fracerl  33972  fracfld  33974  dvdsruasso  34044  rhmquskerlem  34079  elrspunidl  34082  elrspunsn  34083  mxidlirredi  34100  qsdrngilem  34122  dflringlem2  34131  rprmasso2  34162  unitmulrprm  34164  rprmirredlem  34166  1arithidomlem1  34171  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173  1arithufdlem2  34181  1arithufdlem3  34182  evl1deg1  34211  evl1deg2  34212  evl1deg3  34213  ply1dg1rt  34215  ply1mulrtss  34217  q1pdir  34240  q1pvsca  34241  r1pvsca  34242  r1pcyc  34244  r1padd1  34245  rngunsnply1chr2lem3  34252  0mplrim  34257  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhm  34268  evlextv  34285  mplvrpmrhm  34290  psrmonmul  34293  esplyind  34318  esplyfvn  34320  vietalem  34322  srapwov  34332  fedgmul  34374  assalactf1o  34378  fldextrspunlsplem  34416  fldextrspunlsp  34417  irredminply  34459  rtelextdg2lem  34469  cos9thpiminplylem6  34530  cos9thpiminply  34531  ply1divalg3  36615  r1peuqusdeg1  36616  aks6d1c1p4  43427  drnginvmuld  43854  rhmcomulpsr  43876  rhmpsr  43877  evlsbagval  43880  evlselv  43883  evlsmhpvvval  43889  mhphf  43891  prjspertr  43899  idomcanl  49775