Theorem ringcld 20258

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20248	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  Ringcrg 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mgp 20139  df-ring 20233

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20317  xpsring1d  20331  rhmqusnsg  21296  rngqiprnglin  21313  frlmphl  21802  assa2ass  21884  assa2ass2  21885  assapropd  21893  rhmpsrlem2  21962  psrass1  21985  psrdi  21986  psrass23l  21988  psrass23  21990  mhpmulcl  22154  psdmul  22171  evls1fpws  22374  evls1muld  22377  evls1maprhm  22381  rhmcomulmpl  22387  rhmmpl  22388  mamuass  22407  mamuvs1  22410  mamuvs2  22411  mavmulass  22556  mdetrsca  22610  r1pid2  26202  elrgspnlem2  33248  elrgspnsubrunlem1  33252  erlbr2d  33269  erler  33270  rlocaddval  33273  rlocmulval  33274  rloccring  33275  rlocf1  33278  rrgsubm  33288  fracerl  33309  fracfld  33311  dvdsruasso  33414  rhmquskerlem  33454  elrspunsn  33458  ssdifidlprm  33487  mxidlirredi  33500  qsdrngilem  33523  rprmasso2  33555  unitmulrprm  33557  rprmirredlem  33559  1arithidomlem1  33564  1arithidomlem2  33565  1arithidom  33566  1arithufdlem2  33574  1arithufdlem3  33575  evl1deg1  33602  evl1deg2  33603  evl1deg3  33604  ply1dg1rt  33605  ply1mulrtss  33607  q1pdir  33624  q1pvsca  33625  r1pvsca  33626  r1pcyc  33628  r1padd1  33629  r1pid2OLD  33630  assalactf1o  33687  fldextrspunlsplem  33724  fldextrspunlsp  33725  irredminply  33758  rtelextdg2lem  33768  ply1divalg3  35648  r1peuqusdeg1  35649  aks6d1c1p4  42113  drnginvmuld  42542  rhmcomulpsr  42566  rhmpsr  42567  evlsvvval  42578  evlsbagval  42581  evlsmaprhm  42585  evlmulval  42591  selvvvval  42600  evlselv  42602  selvmul  42604  evlsmhpvvval  42610  mhphf  42612  prjspertr  42620  prjspner1  42641