Theorem ringcld 20232

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20222	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Ringcrg 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20113  df-ring 20207

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20289  xpsring1d  20304  rhmqusnsg  21278  rngqiprnglin  21295  frlmphl  21756  assa2ass  21838  assa2ass2  21839  assapropd  21846  rhmpsrlem2  21916  psrass1  21938  psrdi  21939  psrass23l  21941  psrass23  21943  evlsvvval  22069  evlmulval  22080  rhmcomulmpl  22100  evlsmaprhm  22107  selvvvval  22118  selvmul  22120  mhpmulcl  22137  psdmul  22154  evls1fpws  22355  evls1muld  22358  evls1maprhm  22362  rhmmpl  22366  mamuass  22385  mamuvs1  22388  mamuvs2  22389  mavmulass  22532  mdetrsca  22586  r1pid2  26145  gsummulsubdishift1  33149  gsummulsubdishift2  33150  fxpsubrg  33255  elrgspnlem2  33324  elrgspnsubrunlem1  33328  erlbr2d  33345  erler  33346  rlocaddval  33349  rlocmulval  33350  rloccring  33351  rlocf1  33354  rrgsubm  33365  fracerl  33390  fracfld  33392  dvdsruasso  33468  rhmquskerlem  33508  elrspunsn  33512  ssdifidlprm  33541  mxidlirredi  33554  qsdrngilem  33577  rprmasso2  33609  unitmulrprm  33611  rprmirredlem  33613  1arithidomlem1  33618  1arithidomlem2  33619  1arithidom  33620  1arithufdlem2  33628  1arithufdlem3  33629  evl1deg1  33659  evl1deg2  33660  evl1deg3  33661  ply1dg1rt  33663  ply1mulrtss  33665  q1pdir  33686  q1pvsca  33687  r1pvsca  33688  r1pcyc  33690  r1padd1  33691  r1pid2OLD  33692  0mplrim  33698  selvply1rhmlemb  33703  selvply1rhm  33709  evlextv  33726  mplvrpmrhm  33731  psrmonmul  33734  esplyind  33759  esplyfvn  33761  vietalem  33763  srapwov  33773  assalactf1o  33819  fldextrspunlsplem  33857  fldextrspunlsp  33858  irredminply  33900  rtelextdg2lem  33910  cos9thpiminplylem6  33971  cos9thpiminply  33972  ply1divalg3  35870  r1peuqusdeg1  35871  aks6d1c1p4  42596  drnginvmuld  43013  rhmcomulpsr  43032  rhmpsr  43033  evlsbagval  43036  evlselv  43039  evlsmhpvvval  43045  mhphf  43047  prjspertr  43055  prjspner1  43076