Theorem ringcld 20278

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20268	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  Ringcrg 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mgp 20159  df-ring 20253

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20335  xpsring1d  20350  rhmqusnsg  21324  rngqiprnglin  21341  frlmphl  21802  assa2ass  21884  assa2ass2  21885  assapropd  21892  rhmpsrlem2  21962  psrass1  21984  psrdi  21985  psrass23l  21987  psrass23  21989  evlsvvval  22115  evlmulval  22126  rhmcomulmpl  22146  evlsmaprhm  22153  selvvvval  22164  selvmul  22166  mhpmulcl  22183  psdmul  22200  evls1fpws  22401  evls1muld  22404  evls1maprhm  22408  rhmmpl  22412  mamuass  22431  mamuvs1  22434  mamuvs2  22435  mavmulass  22578  mdetrsca  22632  r1pid2  26191  gsummulsubdishift1  33198  gsummulsubdishift2  33199  fxpsubrg  33304  elrgspnlem2  33373  elrgspnsubrunlem1  33377  erlbr2d  33394  erler  33395  rlocaddval  33398  rlocmulval  33399  rloccring  33400  rlocf1  33403  rrgsubm  33414  fracerl  33439  fracfld  33441  dvdsruasso  33517  rhmquskerlem  33557  elrspunsn  33561  ssdifidlprm  33590  mxidlirredi  33603  qsdrngilem  33626  dflringlem2  33635  rprmasso2  33666  unitmulrprm  33668  rprmirredlem  33670  1arithidomlem1  33675  1arithidomlem2  33676  1arithidom  33677  1arithufdlem2  33685  1arithufdlem3  33686  evl1deg1  33716  evl1deg2  33717  evl1deg3  33718  ply1dg1rt  33720  ply1mulrtss  33722  q1pdir  33743  q1pvsca  33744  r1pvsca  33745  r1pcyc  33747  r1padd1  33748  r1pid2OLD  33749  0mplrim  33755  selvply1rhmlemb  33760  selvply1rhm  33766  evlextv  33783  mplvrpmrhm  33788  psrmonmul  33791  esplyind  33816  esplyfvn  33818  vietalem  33820  srapwov  33830  assalactf1o  33876  fldextrspunlsplem  33914  fldextrspunlsp  33915  irredminply  33957  rtelextdg2lem  33967  cos9thpiminplylem6  34028  cos9thpiminply  34029  ply1divalg3  35930  r1peuqusdeg1  35931  aks6d1c1p4  42666  drnginvmuld  43083  rhmcomulpsr  43102  rhmpsr  43103  evlsbagval  43106  evlselv  43109  evlsmhpvvval  43115  mhphf  43117  prjspertr  43125  prjspner1  43146