Theorem ringcld 20195

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20185	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20254  xpsring1d  20269  rhmqusnsg  21240  rngqiprnglin  21257  frlmphl  21736  assa2ass  21818  assa2ass2  21819  assapropd  21827  rhmpsrlem2  21897  psrass1  21919  psrdi  21920  psrass23l  21922  psrass23  21924  evlsvvval  22048  evlmulval  22059  mhpmulcl  22092  psdmul  22109  evls1fpws  22313  evls1muld  22316  evls1maprhm  22320  rhmcomulmpl  22326  rhmmpl  22327  mamuass  22346  mamuvs1  22349  mamuvs2  22350  mavmulass  22493  mdetrsca  22547  r1pid2  26123  gsummulsubdishift1  33151  gsummulsubdishift2  33152  fxpsubrg  33256  elrgspnlem2  33325  elrgspnsubrunlem1  33329  erlbr2d  33346  erler  33347  rlocaddval  33350  rlocmulval  33351  rloccring  33352  rlocf1  33355  rrgsubm  33366  fracerl  33388  fracfld  33390  dvdsruasso  33466  rhmquskerlem  33506  elrspunsn  33510  ssdifidlprm  33539  mxidlirredi  33552  qsdrngilem  33575  rprmasso2  33607  unitmulrprm  33609  rprmirredlem  33611  1arithidomlem1  33616  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  1arithufdlem2  33626  1arithufdlem3  33627  evl1deg1  33657  evl1deg2  33658  evl1deg3  33659  ply1dg1rt  33661  ply1mulrtss  33663  q1pdir  33684  q1pvsca  33685  r1pvsca  33686  r1pcyc  33688  r1padd1  33689  r1pid2OLD  33690  evlextv  33707  mplvrpmrhm  33712  esplyind  33731  esplyfvn  33733  vietalem  33735  srapwov  33745  assalactf1o  33792  fldextrspunlsplem  33830  fldextrspunlsp  33831  irredminply  33873  rtelextdg2lem  33883  cos9thpiminplylem6  33944  cos9thpiminply  33945  ply1divalg3  35836  r1peuqusdeg1  35837  aks6d1c1p4  42375  drnginvmuld  42792  rhmcomulpsr  42814  rhmpsr  42815  evlsbagval  42822  evlsmaprhm  42826  selvvvval  42838  evlselv  42840  selvmul  42842  evlsmhpvvval  42848  mhphf  42850  prjspertr  42858  prjspner1  42879