Theorem ringcld 20385

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20378	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  Ringcrg 20361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mgp 20263  df-ring 20363

This theorem is used by:  crng4  20389  gsumdixp  20448  xpsring1d  20463  rspsn0  21424  rhmqusnsg  21477  rngqiprnglin  21494  ssdifidlprm  21538  prmidlsubm  21539  frlmphl  21983  assa2ass  22065  assa2ass2  22066  assapropd  22073  rhmpsrlem2  22143  psrass1  22165  psrdi  22166  psrass23l  22168  psrass23  22170  evlsvvval  22296  evlmulval  22307  rhmcomulmpl  22327  evlsmaprhm  22334  selvvvval  22345  selvmul  22347  mhpmulcl  22364  psdmul  22381  evls1fpws  22581  evls1muld  22584  evls1maprhm  22588  rhmmpl  22592  mamuass  22611  mamuvs1  22614  mamuvs2  22615  mavmulass  22758  mdetrsca  22812  r1pid2  26372  gsummulsubdishift1  33454  gsummulsubdishift2  33455  fxpsubrg  33560  elrgspnlem2  33629  elrgspnsubrunlem1  33633  erlbr2d  33650  erler  33651  erld2  33652  rlocaddval  33655  rlocmulval  33656  rloccring  33657  rlocf1  33660  rlocisunit  33662  rrgsubm  33670  fracerl  33693  fracfld  33695  dvdsruasso  33764  rhmquskerlem  33799  elrspunsn  33803  mxidlirredi  33820  qsdrngilem  33842  dflringlem2  33851  rprmasso2  33882  unitmulrprm  33884  rprmirredlem  33886  1arithidomlem1  33891  1arithidomlem2  33892  1arithidom  33893  1arithufdlem2  33901  1arithufdlem3  33902  evl1deg1  33932  evl1deg2  33933  evl1deg3  33934  ply1dg1rt  33936  ply1mulrtss  33938  q1pdir  33959  q1pvsca  33960  r1pvsca  33961  r1pcyc  33963  r1padd1  33964  0mplrim  33970  selvply1rhmlemb  33975  selvply1rhm  33981  evlextv  33998  mplvrpmrhm  34003  psrmonmul  34006  esplyind  34031  esplyfvn  34033  vietalem  34035  srapwov  34045  assalactf1o  34091  fldextrspunlsplem  34129  fldextrspunlsp  34130  irredminply  34172  rtelextdg2lem  34182  cos9thpiminplylem6  34243  cos9thpiminply  34244  ply1divalg3  36173  r1peuqusdeg1  36174  aks6d1c1p4  42938  drnginvmuld  43355  rhmcomulpsr  43374  rhmpsr  43375  evlsbagval  43378  evlselv  43381  evlsmhpvvval  43387  mhphf  43389  prjspertr  43397  prjspner1  43418  idomcanl  49171