Theorem ringcld 20235

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20225	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  Ringcrg 20208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mgp 20116  df-ring 20210

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20292  xpsring1d  20307  rhmqusnsg  21278  rngqiprnglin  21295  frlmphl  21774  assa2ass  21856  assa2ass2  21857  assapropd  21864  rhmpsrlem2  21933  psrass1  21955  psrdi  21956  psrass23l  21958  psrass23  21960  evlsvvval  22084  evlmulval  22095  mhpmulcl  22128  psdmul  22145  evls1fpws  22347  evls1muld  22350  evls1maprhm  22354  rhmcomulmpl  22360  rhmmpl  22361  mamuass  22380  mamuvs1  22383  mamuvs2  22384  mavmulass  22527  mdetrsca  22581  r1pid2  26140  gsummulsubdishift1  33147  gsummulsubdishift2  33148  fxpsubrg  33253  elrgspnlem2  33322  elrgspnsubrunlem1  33326  erlbr2d  33343  erler  33344  rlocaddval  33347  rlocmulval  33348  rloccring  33349  rlocf1  33352  rrgsubm  33363  fracerl  33385  fracfld  33387  dvdsruasso  33463  rhmquskerlem  33503  elrspunsn  33507  ssdifidlprm  33536  mxidlirredi  33549  qsdrngilem  33572  rprmasso2  33604  unitmulrprm  33606  rprmirredlem  33608  1arithidomlem1  33613  1arithidomlem2  33614  1arithidom  33615  1arithufdlem2  33623  1arithufdlem3  33624  evl1deg1  33654  evl1deg2  33655  evl1deg3  33656  ply1dg1rt  33658  ply1mulrtss  33660  q1pdir  33681  q1pvsca  33682  r1pvsca  33683  r1pcyc  33685  r1padd1  33686  r1pid2OLD  33687  evlextv  33704  mplvrpmrhm  33709  psrmonmul  33712  esplyind  33737  esplyfvn  33739  vietalem  33741  srapwov  33751  assalactf1o  33798  fldextrspunlsplem  33836  fldextrspunlsp  33837  irredminply  33879  rtelextdg2lem  33889  cos9thpiminplylem6  33950  cos9thpiminply  33951  ply1divalg3  35843  r1peuqusdeg1  35844  aks6d1c1p4  42567  drnginvmuld  42989  rhmcomulpsr  43011  rhmpsr  43012  evlsbagval  43019  evlsmaprhm  43023  selvvvval  43035  evlselv  43037  selvmul  43039  evlsmhpvvval  43045  mhphf  43047  prjspertr  43055  prjspner1  43076