Theorem ringcld 20310

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20300	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  Ringcrg 20283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mgp 20187  df-ring 20285

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20367  xpsring1d  20382  rhmqusnsg  21355  rngqiprnglin  21372  frlmphl  21833  assa2ass  21915  assa2ass2  21916  assapropd  21923  rhmpsrlem2  21993  psrass1  22015  psrdi  22016  psrass23l  22018  psrass23  22020  evlsvvval  22146  evlmulval  22157  rhmcomulmpl  22177  evlsmaprhm  22184  selvvvval  22195  selvmul  22197  mhpmulcl  22214  psdmul  22231  evls1fpws  22432  evls1muld  22435  evls1maprhm  22439  rhmmpl  22443  mamuass  22462  mamuvs1  22465  mamuvs2  22466  mavmulass  22609  mdetrsca  22663  r1pid2  26222  gsummulsubdishift1  33248  gsummulsubdishift2  33249  fxpsubrg  33354  elrgspnlem2  33424  elrgspnsubrunlem1  33428  erlbr2d  33445  erler  33446  erld2  33447  rlocaddval  33450  rlocmulval  33451  rloccring  33452  rlocf1  33455  rlocisunit  33457  rrgsubm  33468  fracerl  33493  fracfld  33495  dvdsruasso  33571  rhmquskerlem  33611  elrspunsn  33615  ssdifidlprm  33645  prmidlsubm  33646  mxidlirredi  33659  qsdrngilem  33682  dflringlem2  33691  rprmasso2  33722  unitmulrprm  33724  rprmirredlem  33726  1arithidomlem1  33731  1arithidomlem2  33732  1arithidom  33733  1arithufdlem2  33741  1arithufdlem3  33742  evl1deg1  33772  evl1deg2  33773  evl1deg3  33774  ply1dg1rt  33776  ply1mulrtss  33778  q1pdir  33799  q1pvsca  33800  r1pvsca  33801  r1pcyc  33803  r1padd1  33804  r1pid2OLD  33805  0mplrim  33811  selvply1rhmlemb  33816  selvply1rhm  33822  evlextv  33839  mplvrpmrhm  33844  psrmonmul  33847  esplyind  33872  esplyfvn  33874  vietalem  33876  srapwov  33886  assalactf1o  33932  fldextrspunlsplem  33970  fldextrspunlsp  33971  irredminply  34013  rtelextdg2lem  34023  cos9thpiminplylem6  34084  cos9thpiminply  34085  ply1divalg3  35992  r1peuqusdeg1  35993  aks6d1c1p4  42728  drnginvmuld  43145  rhmcomulpsr  43164  rhmpsr  43165  evlsbagval  43168  evlselv  43171  evlsmhpvvval  43177  mhphf  43179  prjspertr  43187  prjspner1  43208