Theorem ringcld 20180

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20170	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Ringcrg 20153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mgp 20061  df-ring 20155

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20239  xpsring1d  20253  rhmqusnsg  21227  rngqiprnglin  21244  frlmphl  21723  assa2ass  21805  assa2ass2  21806  assapropd  21814  rhmpsrlem2  21883  psrass1  21906  psrdi  21907  psrass23l  21909  psrass23  21911  mhpmulcl  22069  psdmul  22086  evls1fpws  22289  evls1muld  22292  evls1maprhm  22296  rhmcomulmpl  22302  rhmmpl  22303  mamuass  22322  mamuvs1  22325  mamuvs2  22326  mavmulass  22469  mdetrsca  22523  r1pid2  26100  elrgspnlem2  33210  elrgspnsubrunlem1  33214  erlbr2d  33231  erler  33232  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236  rloccring  33237  rlocf1  33240  rrgsubm  33250  fracerl  33272  fracfld  33274  dvdsruasso  33349  rhmquskerlem  33389  elrspunsn  33393  ssdifidlprm  33422  mxidlirredi  33435  qsdrngilem  33458  rprmasso2  33490  unitmulrprm  33492  rprmirredlem  33494  1arithidomlem1  33499  1arithidomlem2  33500  1arithidom  33501  1arithufdlem2  33509  1arithufdlem3  33510  evl1deg1  33538  evl1deg2  33539  evl1deg3  33540  ply1dg1rt  33541  ply1mulrtss  33543  q1pdir  33561  q1pvsca  33562  r1pvsca  33563  r1pcyc  33565  r1padd1  33566  r1pid2OLD  33567  assalactf1o  33624  fldextrspunlsplem  33661  fldextrspunlsp  33662  irredminply  33699  rtelextdg2lem  33709  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  ply1divalg3  35622  r1peuqusdeg1  35623  aks6d1c1p4  42092  drnginvmuld  42508  rhmcomulpsr  42532  rhmpsr  42533  evlsvvval  42544  evlsbagval  42547  evlsmaprhm  42551  evlmulval  42557  selvvvval  42566  evlselv  42568  selvmul  42570  evlsmhpvvval  42576  mhphf  42578  prjspertr  42586  prjspner1  42607