Theorem ringcld 20176

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20166	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mgp 20057  df-ring 20151

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20235  xpsring1d  20249  rhmqusnsg  21202  rngqiprnglin  21219  frlmphl  21697  assa2ass  21779  assa2ass2  21780  assapropd  21788  rhmpsrlem2  21857  psrass1  21880  psrdi  21881  psrass23l  21883  psrass23  21885  mhpmulcl  22043  psdmul  22060  evls1fpws  22263  evls1muld  22266  evls1maprhm  22270  rhmcomulmpl  22276  rhmmpl  22277  mamuass  22296  mamuvs1  22299  mamuvs2  22300  mavmulass  22443  mdetrsca  22497  r1pid2  26074  elrgspnlem2  33201  elrgspnsubrunlem1  33205  erlbr2d  33222  erler  33223  rlocaddval  33226  rlocmulval  33227  rloccring  33228  rlocf1  33231  rrgsubm  33241  fracerl  33263  fracfld  33265  dvdsruasso  33363  rhmquskerlem  33403  elrspunsn  33407  ssdifidlprm  33436  mxidlirredi  33449  qsdrngilem  33472  rprmasso2  33504  unitmulrprm  33506  rprmirredlem  33508  1arithidomlem1  33513  1arithidomlem2  33514  1arithidom  33515  1arithufdlem2  33523  1arithufdlem3  33524  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  ply1dg1rt  33555  ply1mulrtss  33557  q1pdir  33575  q1pvsca  33576  r1pvsca  33577  r1pcyc  33579  r1padd1  33580  r1pid2OLD  33581  assalactf1o  33638  fldextrspunlsplem  33675  fldextrspunlsp  33676  irredminply  33713  rtelextdg2lem  33723  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  ply1divalg3  35636  r1peuqusdeg1  35637  aks6d1c1p4  42106  drnginvmuld  42522  rhmcomulpsr  42546  rhmpsr  42547  evlsvvval  42558  evlsbagval  42561  evlsmaprhm  42565  evlmulval  42571  selvvvval  42580  evlselv  42582  selvmul  42584  evlsmhpvvval  42590  mhphf  42592  prjspertr  42600  prjspner1  42621