Theorem ringcld 20225

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20215	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  Ringcrg 20198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mgp 20106  df-ring 20200

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20284  xpsring1d  20298  rhmqusnsg  21251  rngqiprnglin  21268  frlmphl  21746  assa2ass  21828  assa2ass2  21829  assapropd  21837  rhmpsrlem2  21906  psrass1  21929  psrdi  21930  psrass23l  21932  psrass23  21934  mhpmulcl  22092  psdmul  22109  evls1fpws  22312  evls1muld  22315  evls1maprhm  22319  rhmcomulmpl  22325  rhmmpl  22326  mamuass  22345  mamuvs1  22348  mamuvs2  22349  mavmulass  22492  mdetrsca  22546  r1pid2  26124  elrgspnlem2  33243  elrgspnsubrunlem1  33247  erlbr2d  33264  erler  33265  rlocaddval  33268  rlocmulval  33269  rloccring  33270  rlocf1  33273  rrgsubm  33283  fracerl  33305  fracfld  33307  dvdsruasso  33405  rhmquskerlem  33445  elrspunsn  33449  ssdifidlprm  33478  mxidlirredi  33491  qsdrngilem  33514  rprmasso2  33546  unitmulrprm  33548  rprmirredlem  33550  1arithidomlem1  33555  1arithidomlem2  33556  1arithidom  33557  1arithufdlem2  33565  1arithufdlem3  33566  evl1deg1  33594  evl1deg2  33595  evl1deg3  33596  ply1dg1rt  33597  ply1mulrtss  33599  q1pdir  33617  q1pvsca  33618  r1pvsca  33619  r1pcyc  33621  r1padd1  33622  r1pid2OLD  33623  assalactf1o  33680  fldextrspunlsplem  33719  fldextrspunlsp  33720  irredminply  33755  rtelextdg2lem  33765  cos9thpiminplylem6  33826  cos9thpiminply  33827  ply1divalg3  35669  r1peuqusdeg1  35670  aks6d1c1p4  42129  drnginvmuld  42517  rhmcomulpsr  42541  rhmpsr  42542  evlsvvval  42553  evlsbagval  42556  evlsmaprhm  42560  evlmulval  42566  selvvvval  42575  evlselv  42577  selvmul  42579  evlsmhpvvval  42585  mhphf  42587  prjspertr  42595  prjspner1  42616