Theorem ringcld 20145

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Ringcrg 20118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mgp 20026  df-ring 20120

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20204  xpsring1d  20218  rhmqusnsg  21192  rngqiprnglin  21209  frlmphl  21688  assa2ass  21770  assa2ass2  21771  assapropd  21779  rhmpsrlem2  21848  psrass1  21871  psrdi  21872  psrass23l  21874  psrass23  21876  mhpmulcl  22034  psdmul  22051  evls1fpws  22254  evls1muld  22257  evls1maprhm  22261  rhmcomulmpl  22267  rhmmpl  22268  mamuass  22287  mamuvs1  22290  mamuvs2  22291  mavmulass  22434  mdetrsca  22488  r1pid2  26065  fxpsubrg  33116  elrgspnlem2  33183  elrgspnsubrunlem1  33187  erlbr2d  33204  erler  33205  rlocaddval  33208  rlocmulval  33209  rloccring  33210  rlocf1  33213  rrgsubm  33223  fracerl  33245  fracfld  33247  dvdsruasso  33322  rhmquskerlem  33362  elrspunsn  33366  ssdifidlprm  33395  mxidlirredi  33408  qsdrngilem  33431  rprmasso2  33463  unitmulrprm  33465  rprmirredlem  33467  1arithidomlem1  33472  1arithidomlem2  33473  1arithidom  33474  1arithufdlem2  33482  1arithufdlem3  33483  evl1deg1  33511  evl1deg2  33512  evl1deg3  33513  ply1dg1rt  33515  ply1mulrtss  33517  q1pdir  33535  q1pvsca  33536  r1pvsca  33537  r1pcyc  33539  r1padd1  33540  r1pid2OLD  33541  srapwov  33555  assalactf1o  33602  fldextrspunlsplem  33640  fldextrspunlsp  33641  irredminply  33683  rtelextdg2lem  33693  cos9thpiminplylem6  33754  cos9thpiminply  33755  ply1divalg3  35619  r1peuqusdeg1  35620  aks6d1c1p4  42088  drnginvmuld  42504  rhmcomulpsr  42528  rhmpsr  42529  evlsvvval  42540  evlsbagval  42543  evlsmaprhm  42547  evlmulval  42553  selvvvval  42562  evlselv  42564  selvmul  42566  evlsmhpvvval  42572  mhphf  42574  prjspertr  42582  prjspner1  42603