Theorem ringcld 20193

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20183	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  Ringcrg 20166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mgp 20074  df-ring 20168

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20252  xpsring1d  20267  rhmqusnsg  21238  rngqiprnglin  21255  frlmphl  21734  assa2ass  21816  assa2ass2  21817  assapropd  21825  rhmpsrlem2  21895  psrass1  21917  psrdi  21918  psrass23l  21920  psrass23  21922  evlsvvval  22046  evlmulval  22057  mhpmulcl  22090  psdmul  22107  evls1fpws  22311  evls1muld  22314  evls1maprhm  22318  rhmcomulmpl  22324  rhmmpl  22325  mamuass  22344  mamuvs1  22347  mamuvs2  22348  mavmulass  22491  mdetrsca  22545  r1pid2  26121  gsummulsubdishift1  33100  gsummulsubdishift2  33101  fxpsubrg  33205  elrgspnlem2  33274  elrgspnsubrunlem1  33278  erlbr2d  33295  erler  33296  rlocaddval  33299  rlocmulval  33300  rloccring  33301  rlocf1  33304  rrgsubm  33315  fracerl  33337  fracfld  33339  dvdsruasso  33415  rhmquskerlem  33455  elrspunsn  33459  ssdifidlprm  33488  mxidlirredi  33501  qsdrngilem  33524  rprmasso2  33556  unitmulrprm  33558  rprmirredlem  33560  1arithidomlem1  33565  1arithidomlem2  33566  1arithidom  33567  1arithufdlem2  33575  1arithufdlem3  33576  evl1deg1  33606  evl1deg2  33607  evl1deg3  33608  ply1dg1rt  33610  ply1mulrtss  33612  q1pdir  33633  q1pvsca  33634  r1pvsca  33635  r1pcyc  33637  r1padd1  33638  r1pid2OLD  33639  evlextv  33656  mplvrpmrhm  33661  esplyind  33680  esplyfvn  33682  vietalem  33684  srapwov  33694  assalactf1o  33741  fldextrspunlsplem  33779  fldextrspunlsp  33780  irredminply  33822  rtelextdg2lem  33832  cos9thpiminplylem6  33893  cos9thpiminply  33894  ply1divalg3  35785  r1peuqusdeg1  35786  aks6d1c1p4  42304  drnginvmuld  42724  rhmcomulpsr  42746  rhmpsr  42747  evlsbagval  42754  evlsmaprhm  42758  selvvvval  42770  evlselv  42772  selvmul  42774  evlsmhpvvval  42780  mhphf  42782  prjspertr  42790  prjspner1  42811