Theorem ringcld 20496

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20489	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  Ringcrg 20471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mgp 20373  df-ring 20473

This theorem is used by:  crng4  20500  gsumdixp  20560  xpsring1d  20575  rspsn0  21538  rhmqusnsg  21593  rngqiprnglin  21610  ssdifidlprm  21654  prmidlsubm  21655  frlmphl  22099  assa2ass  22183  assa2ass2  22184  assapropd  22191  rhmpsrlem2  22261  psrass1  22283  psrdi  22284  psrass23l  22286  psrass23  22288  evlsvvval  22414  evlmulval  22425  rhmcomulmpl  22445  evlsmaprhm  22452  selvvvval  22463  selvmul  22465  mhpmulcl  22482  psdmul  22499  evls1fpws  22699  evls1muld  22702  evls1maprhm  22706  rhmmpl  22710  mamuass  22729  mamuvs1  22732  mamuvs2  22733  mavmulass  22876  mdetrsca  22930  r1pid2  26492  gsummulsubdishift1  33682  gsummulsubdishift2  33683  fxpsubrg  33788  elrgspnlem2  33857  elrgspnsubrunlem1  33861  erlbr2d  33878  erler  33879  erld2  33880  rlocaddval  33883  rlocmulval  33884  rloccring  33885  rlocf1  33888  rlocisunit  33890  rrgsubm  33898  fracerl  33921  fracfld  33923  dvdsruasso  33993  rhmquskerlem  34028  elrspunidl  34031  elrspunsn  34032  mxidlirredi  34049  qsdrngilem  34071  dflringlem2  34080  rprmasso2  34111  unitmulrprm  34113  rprmirredlem  34115  1arithidomlem1  34120  1arithidomlem2  34121  1arithidom  34122  1arithufdlem2  34130  1arithufdlem3  34131  evl1deg1  34161  evl1deg2  34162  evl1deg3  34163  ply1dg1rt  34165  ply1mulrtss  34167  q1pdir  34188  q1pvsca  34189  r1pvsca  34190  r1pcyc  34192  r1padd1  34193  0mplrim  34199  selvply1rhmlemb  34204  selvply1rhm  34210  evlextv  34227  mplvrpmrhm  34232  psrmonmul  34235  esplyind  34260  esplyfvn  34262  vietalem  34264  srapwov  34274  fedgmul  34316  assalactf1o  34320  fldextrspunlsplem  34358  fldextrspunlsp  34359  irredminply  34401  rtelextdg2lem  34411  cos9thpiminplylem6  34472  cos9thpiminply  34473  ply1divalg3  36528  r1peuqusdeg1  36529  aks6d1c1p4  43301  drnginvmuld  43728  rhmcomulpsr  43750  rhmpsr  43751  evlsbagval  43754  evlselv  43757  evlsmhpvvval  43763  mhphf  43765  prjspertr  43773  idomcanl  49583