Theorem ringcld 20178

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20168	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Ringcrg 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mgp 20059  df-ring 20153

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20237  xpsring1d  20251  rhmqusnsg  21222  rngqiprnglin  21239  frlmphl  21718  assa2ass  21800  assa2ass2  21801  assapropd  21809  rhmpsrlem2  21878  psrass1  21901  psrdi  21902  psrass23l  21904  psrass23  21906  mhpmulcl  22064  psdmul  22081  evls1fpws  22284  evls1muld  22287  evls1maprhm  22291  rhmcomulmpl  22297  rhmmpl  22298  mamuass  22317  mamuvs1  22320  mamuvs2  22321  mavmulass  22464  mdetrsca  22518  r1pid2  26094  fxpsubrg  33143  elrgspnlem2  33210  elrgspnsubrunlem1  33214  erlbr2d  33231  erler  33232  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236  rloccring  33237  rlocf1  33240  rrgsubm  33250  fracerl  33272  fracfld  33274  dvdsruasso  33350  rhmquskerlem  33390  elrspunsn  33394  ssdifidlprm  33423  mxidlirredi  33436  qsdrngilem  33459  rprmasso2  33491  unitmulrprm  33493  rprmirredlem  33495  1arithidomlem1  33500  1arithidomlem2  33501  1arithidom  33502  1arithufdlem2  33510  1arithufdlem3  33511  evl1deg1  33539  evl1deg2  33540  evl1deg3  33541  ply1dg1rt  33543  ply1mulrtss  33545  q1pdir  33563  q1pvsca  33564  r1pvsca  33565  r1pcyc  33567  r1padd1  33568  r1pid2OLD  33569  mplvrpmrhm  33577  srapwov  33601  assalactf1o  33648  fldextrspunlsplem  33686  fldextrspunlsp  33687  irredminply  33729  rtelextdg2lem  33739  cos9thpiminplylem6  33800  cos9thpiminply  33801  ply1divalg3  35686  r1peuqusdeg1  35687  aks6d1c1p4  42214  drnginvmuld  42630  rhmcomulpsr  42654  rhmpsr  42655  evlsvvval  42666  evlsbagval  42669  evlsmaprhm  42673  evlmulval  42679  selvvvval  42688  evlselv  42690  selvmul  42692  evlsmhpvvval  42698  mhphf  42700  prjspertr  42708  prjspner1  42729