Theorem ringcld 20342

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20332	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  Ringcrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mgp 20217  df-ring 20317

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20400  xpsring1d  20415  rhmqusnsg  21396  rngqiprnglin  21413  ssdifidlprm  21455  prmidlsubm  21456  frlmphl  21900  assa2ass  21982  assa2ass2  21983  assapropd  21990  rhmpsrlem2  22060  psrass1  22082  psrdi  22083  psrass23l  22085  psrass23  22087  evlsvvval  22213  evlmulval  22224  rhmcomulmpl  22244  evlsmaprhm  22251  selvvvval  22262  selvmul  22264  mhpmulcl  22281  psdmul  22298  evls1fpws  22498  evls1muld  22501  evls1maprhm  22505  rhmmpl  22509  mamuass  22528  mamuvs1  22531  mamuvs2  22532  mavmulass  22675  mdetrsca  22729  r1pid2  26288  gsummulsubdishift1  33329  gsummulsubdishift2  33330  fxpsubrg  33435  elrgspnlem2  33504  elrgspnsubrunlem1  33508  erlbr2d  33525  erler  33526  erld2  33527  rlocaddval  33530  rlocmulval  33531  rloccring  33532  rlocf1  33535  rlocisunit  33537  rrgsubm  33545  fracerl  33570  fracfld  33572  dvdsruasso  33642  rhmquskerlem  33677  elrspunsn  33681  mxidlirredi  33699  qsdrngilem  33721  dflringlem2  33730  rprmasso2  33761  unitmulrprm  33763  rprmirredlem  33765  1arithidomlem1  33770  1arithidomlem2  33771  1arithidom  33772  1arithufdlem2  33780  1arithufdlem3  33781  evl1deg1  33811  evl1deg2  33812  evl1deg3  33813  ply1dg1rt  33815  ply1mulrtss  33817  q1pdir  33838  q1pvsca  33839  r1pvsca  33840  r1pcyc  33842  r1padd1  33843  0mplrim  33849  selvply1rhmlemb  33854  selvply1rhm  33860  evlextv  33877  mplvrpmrhm  33882  psrmonmul  33885  esplyind  33910  esplyfvn  33912  vietalem  33914  srapwov  33924  assalactf1o  33970  fldextrspunlsplem  34008  fldextrspunlsp  34009  irredminply  34051  rtelextdg2lem  34061  cos9thpiminplylem6  34122  cos9thpiminply  34123  ply1divalg3  36033  r1peuqusdeg1  36034  aks6d1c1p4  42768  drnginvmuld  43187  rhmcomulpsr  43206  rhmpsr  43207  evlsbagval  43210  evlselv  43213  evlsmhpvvval  43219  mhphf  43221  prjspertr  43229  prjspner1  43250