Theorem ringcld 20334

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20327	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  Ringcrg 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mgp 20212  df-ring 20312

This theorem is referenced by:  crng4  20338  gsumdixp  20396  xpsring1d  20411  rspsn0  21372  rhmqusnsg  21425  rngqiprnglin  21442  ssdifidlprm  21486  prmidlsubm  21487  frlmphl  21931  assa2ass  22013  assa2ass2  22014  assapropd  22021  rhmpsrlem2  22091  psrass1  22113  psrdi  22114  psrass23l  22116  psrass23  22118  evlsvvval  22244  evlmulval  22255  rhmcomulmpl  22275  evlsmaprhm  22282  selvvvval  22293  selvmul  22295  mhpmulcl  22312  psdmul  22329  evls1fpws  22529  evls1muld  22532  evls1maprhm  22536  rhmmpl  22540  mamuass  22559  mamuvs1  22562  mamuvs2  22563  mavmulass  22706  mdetrsca  22760  r1pid2  26319  gsummulsubdishift1  33388  gsummulsubdishift2  33389  fxpsubrg  33494  elrgspnlem2  33563  elrgspnsubrunlem1  33567  erlbr2d  33584  erler  33585  erld2  33586  rlocaddval  33589  rlocmulval  33590  rloccring  33591  rlocf1  33594  rlocisunit  33596  rrgsubm  33604  fracerl  33627  fracfld  33629  dvdsruasso  33698  rhmquskerlem  33733  elrspunsn  33737  mxidlirredi  33754  qsdrngilem  33776  dflringlem2  33785  rprmasso2  33816  unitmulrprm  33818  rprmirredlem  33820  1arithidomlem1  33825  1arithidomlem2  33826  1arithidom  33827  1arithufdlem2  33835  1arithufdlem3  33836  evl1deg1  33866  evl1deg2  33867  evl1deg3  33868  ply1dg1rt  33870  ply1mulrtss  33872  q1pdir  33893  q1pvsca  33894  r1pvsca  33895  r1pcyc  33897  r1padd1  33898  0mplrim  33904  selvply1rhmlemb  33909  selvply1rhm  33915  evlextv  33932  mplvrpmrhm  33937  psrmonmul  33940  esplyind  33965  esplyfvn  33967  vietalem  33969  srapwov  33979  assalactf1o  34025  fldextrspunlsplem  34063  fldextrspunlsp  34064  irredminply  34106  rtelextdg2lem  34116  cos9thpiminplylem6  34177  cos9thpiminply  34178  ply1divalg3  36134  r1peuqusdeg1  36135  aks6d1c1p4  42898  drnginvmuld  43315  rhmcomulpsr  43334  rhmpsr  43335  evlsbagval  43338  evlselv  43341  evlsmhpvvval  43347  mhphf  43349  prjspertr  43357  prjspner1  43378  idomcanl  49132