Theorem ringcld 20241

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20231	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mgp 20122  df-ring 20216

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20298  xpsring1d  20313  rhmqusnsg  21283  rngqiprnglin  21300  frlmphl  21761  assa2ass  21843  assa2ass2  21844  assapropd  21851  rhmpsrlem2  21920  psrass1  21942  psrdi  21943  psrass23l  21945  psrass23  21947  evlsvvval  22071  evlmulval  22082  mhpmulcl  22115  psdmul  22132  evls1fpws  22334  evls1muld  22337  evls1maprhm  22341  rhmcomulmpl  22347  rhmmpl  22348  mamuass  22367  mamuvs1  22370  mamuvs2  22371  mavmulass  22514  mdetrsca  22568  r1pid2  26127  gsummulsubdishift1  33129  gsummulsubdishift2  33130  fxpsubrg  33235  elrgspnlem2  33304  elrgspnsubrunlem1  33308  erlbr2d  33325  erler  33326  rlocaddval  33329  rlocmulval  33330  rloccring  33331  rlocf1  33334  rrgsubm  33345  fracerl  33367  fracfld  33369  dvdsruasso  33445  rhmquskerlem  33485  elrspunsn  33489  ssdifidlprm  33518  mxidlirredi  33531  qsdrngilem  33554  rprmasso2  33586  unitmulrprm  33588  rprmirredlem  33590  1arithidomlem1  33595  1arithidomlem2  33596  1arithidom  33597  1arithufdlem2  33605  1arithufdlem3  33606  evl1deg1  33636  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  ply1dg1rt  33640  ply1mulrtss  33642  q1pdir  33663  q1pvsca  33664  r1pvsca  33665  r1pcyc  33667  r1padd1  33668  r1pid2OLD  33669  evlextv  33686  mplvrpmrhm  33691  psrmonmul  33694  esplyind  33719  esplyfvn  33721  vietalem  33723  srapwov  33733  assalactf1o  33779  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  irredminply  33860  rtelextdg2lem  33870  cos9thpiminplylem6  33931  cos9thpiminply  33932  ply1divalg3  35824  r1peuqusdeg1  35825  aks6d1c1p4  42550  drnginvmuld  42972  rhmcomulpsr  42994  rhmpsr  42995  evlsbagval  43002  evlsmaprhm  43006  selvvvval  43018  evlselv  43020  selvmul  43022  evlsmhpvvval  43028  mhphf  43030  prjspertr  43038  prjspner1  43059