Theorem ringcld 20169

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringcld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringcl 20159	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mgp 20050  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20228  xpsring1d  20242  rhmqusnsg  21195  rngqiprnglin  21212  frlmphl  21690  assa2ass  21772  assa2ass2  21773  assapropd  21781  rhmpsrlem2  21850  psrass1  21873  psrdi  21874  psrass23l  21876  psrass23  21878  mhpmulcl  22036  psdmul  22053  evls1fpws  22256  evls1muld  22259  evls1maprhm  22263  rhmcomulmpl  22269  rhmmpl  22270  mamuass  22289  mamuvs1  22292  mamuvs2  22293  mavmulass  22436  mdetrsca  22490  r1pid2  26067  elrgspnlem2  33194  elrgspnsubrunlem1  33198  erlbr2d  33215  erler  33216  rlocaddval  33219  rlocmulval  33220  rloccring  33221  rlocf1  33224  rrgsubm  33234  fracerl  33256  fracfld  33258  dvdsruasso  33356  rhmquskerlem  33396  elrspunsn  33400  ssdifidlprm  33429  mxidlirredi  33442  qsdrngilem  33465  rprmasso2  33497  unitmulrprm  33499  rprmirredlem  33501  1arithidomlem1  33506  1arithidomlem2  33507  1arithidom  33508  1arithufdlem2  33516  1arithufdlem3  33517  evl1deg1  33545  evl1deg2  33546  evl1deg3  33547  ply1dg1rt  33548  ply1mulrtss  33550  q1pdir  33568  q1pvsca  33569  r1pvsca  33570  r1pcyc  33572  r1padd1  33573  r1pid2OLD  33574  assalactf1o  33631  fldextrspunlsplem  33668  fldextrspunlsp  33669  irredminply  33706  rtelextdg2lem  33716  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  ply1divalg3  35629  r1peuqusdeg1  35630  aks6d1c1p4  42099  drnginvmuld  42515  rhmcomulpsr  42539  rhmpsr  42540  evlsvvval  42551  evlsbagval  42554  evlsmaprhm  42558  evlmulval  42564  selvvvval  42573  evlselv  42575  selvmul  42577  evlsmhpvvval  42583  mhphf  42585  prjspertr  42593  prjspner1  42614