Theorem mdetuni0 22524

Description: Lemma for mdetuni 22525. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.e	⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetuni.cr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetuni.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetuni0	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, + ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 1 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem mdetuni0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mdetuni.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		mdetuni.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.0g	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdetuni.1r	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mdetuni.pg	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		mdetuni.tg	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetuni.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		mdetuni.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		ringgrp 20141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13		mdetuni.ff	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
14	13	ffvelcdmda 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑎) ∈ 𝐾)
15	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
16	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
17	1	matring 22346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
19	2, 18	ringidcl 20168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
20	16, 17, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
21	13, 20	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23		mdetuni.cr	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24		mdetuni.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
25	24, 1, 2, 3	mdetf 22498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
27	26	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑎) ∈ 𝐾)
28	3, 7	ringcl 20153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑎) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾)
29	15, 22, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾)
30		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
31	3, 30	grpsubcl 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘𝑎) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) ∈ 𝐾)
32	12, 14, 29, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) ∈ 𝐾)
33	32	fmpttd 7053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))):𝐵⟶𝐾)
34		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
35		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑏))
36		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑏))
37	36	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)))
38	35, 37	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
39		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))
40		ovex 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
42	34, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
44		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝜑)
45		simp21 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
46		simp3r 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))
47		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → (𝑐𝑏𝑒) = (𝑐𝑏𝑤))
48		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → (𝑑𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑤))
49	47, 48	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → ((𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒) ↔ (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤)))
50	49	cbvralvw 3207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤))
51	46, 50	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤))
52		simp22 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
53		simp23 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑑 ∈ 𝑁)
54		simp3l 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑐 ≠ 𝑑)
55		mdetuni.al	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
56		mdetuni.li	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
57		mdetuni.sc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem1 22515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)) → (𝐷‘𝑏) = 0 )
59	44, 45, 51, 52, 53, 54, 58	syl33anc 1387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → (𝐷‘𝑏) = 0 )
60	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑅 ∈ CRing)
61	24, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46	mdetralt 22511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → (𝐸‘𝑏) = 0 )
62	61	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ))
63	59, 62	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )))
64	3, 7, 4	ringrz 20197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ) = 0 )
65	9, 21, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ) = 0 )
66	65	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = ( 0 (-g‘𝑅) 0 ))
67	3, 4	grpidcl 18862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
68	3, 4, 30	grpsubid 18921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
69	11, 67, 68	syl2anc2 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
70	66, 69	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = 0 )
71	70	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = 0 )
72	43, 63, 71	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 )
73	72	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 ))
74	73	ralrimivvva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 ))
75		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝜑)
76		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
77		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑐 ∈ 𝐵)
78		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
79		simp2rr 1244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑒 ∈ 𝑁)
80		simp31 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))))
81		simp32 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
82		simp33 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem3 22517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁)))) ∧ ((𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = ((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑)))
84	75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83	syl332anc 1403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = ((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑)))
85	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
86	24, 1, 2, 6, 85, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82	mdetrlin 22505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐸‘𝑏) = ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))
87	86	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))))
88	84, 87	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
89		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
90	89, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
91	90	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
92		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝐵)
93		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑐))
94		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑐))
95	94	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)))
96	93, 95	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
97		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) ∈ V
98	96, 39, 97	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
100		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
101		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑑))
102		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑑))
103	102	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))
104	101, 103	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
105		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) ∈ V
106	104, 39, 105	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
107	100, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
108	99, 107	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
109		ringabl 20184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
110	9, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Abel)
112	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
113	112, 92	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑐) ∈ 𝐾)
114	112, 100	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾)
115	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
116	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
117	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
118	117, 92	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾)
119	3, 7	ringcl 20153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾)
120	115, 116, 118, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾)
121	117, 100	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)
122	3, 7	ringcl 20153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
123	115, 116, 121, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
124	3, 6, 30	ablsub4 19707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ((𝐷‘𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾) ∧ (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
125	111, 113, 114, 120, 123, 124	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
126	3, 6, 7	ringdi 20164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))) = (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
127	115, 116, 118, 121, 126	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))) = (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
128	127	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))))
129	128	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
130	108, 125, 129	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
131	130	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
132	88, 91, 131	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)))
133	132	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
134	133	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
135	134	ralrimivva 3172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
136	135	ralrimivva 3172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
137		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝜑)
138		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
139		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑐 ∈ 𝐾)
140		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
141		simp2rr 1244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑒 ∈ 𝑁)
142		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))))
143		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
144	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem4 22518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = (𝑐 · (𝐷‘𝑑)))
145	137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144	syl133anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = (𝑐 · (𝐷‘𝑑)))
146	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
147	24, 1, 2, 3, 7, 146, 138, 139, 140, 141, 142, 143	mdetrsca 22506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐸‘𝑏) = (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))
148	147	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
149	145, 148	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
150		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
151	150, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
152	151	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
153		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
154	153, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
155	154	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (𝑐 · ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
156	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
157		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝐾)
158	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
159	158, 153	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾)
160	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
161	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
162	161, 153	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)
163	156, 160, 162, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
164	3, 7, 30, 156, 157, 159, 163	ringsubdi 20210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
165		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
166	165	crngmgp 20144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
167	23, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
169	165, 3	mgpbas 20048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
170	165, 7	mgpplusg 20047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
171	169, 170	cmn12 19699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)) → (𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
172	168, 157, 160, 162, 171	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
173	172	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
174	155, 164, 173	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
175	174	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
176	149, 152, 175	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)))
177	176	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
178	177	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
179	178	ralrimivva 3172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾)) → ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
180	179	ralrimivva 3172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
181		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))))
182		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
183		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘(1r‘𝐴)))
184	183	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))))
185	182, 184	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))))
186	24, 1, 18, 5	mdet1 22504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐸‘(1r‘𝐴)) = 1 )
187	23, 8, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(1r‘𝐴)) = 1 )
188	187	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ))
189	3, 7, 5	ringridm 20173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
190	9, 21, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
191	188, 190	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
192	191	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))))
193	3, 4, 30	grpsubid 18921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
194	11, 21, 193	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
195	192, 194	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))) = 0 )
196	185, 195	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = (1r‘𝐴)) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = 0 )
197	4	fvexi 6840	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
198	197	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
199	181, 196, 20, 198	fvmptd 6941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘(1r‘𝐴)) = 0 )
200		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ (𝑁 ↑m 𝑁)(∀𝑒 ∈ 𝑏 (𝑐‘𝑒) = if(𝑒 ∈ 𝑑, 1 , 0 ) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = 0 )} = {𝑏 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ (𝑁 ↑m 𝑁)(∀𝑒 ∈ 𝑏 (𝑐‘𝑒) = if(𝑒 ∈ 𝑑, 1 , 0 ) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = 0 )}
201	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 33, 74, 136, 180, 199, 200	mdetunilem9 22523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝐵 × { 0 }))
202	201	fveq1d 6828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝐹) = ((𝐵 × { 0 })‘𝐹))
203		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝐹))
204		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝐹))
205	204	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))
206	203, 205	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
207	206	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐹) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
208		mdetuni.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
209		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) ∈ V)
210	181, 207, 208, 209	fvmptd 6941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝐹) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
211	197	fvconst2 7144	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝐹) = 0 )
212	208, 211	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × { 0 })‘𝐹) = 0 )
213	202, 210, 212	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 )
214	13, 208	ffvelcdmd 7023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ 𝐾)
215	26, 208	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
216	3, 7	ringcl 20153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾)
217	9, 21, 215, 216	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾)
218	3, 4, 30	grpsubeq0 18923	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾) → (((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 ↔ (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
219	11, 214, 217, 218	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 ↔ (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
220	213, 219	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902  ifcif 4478  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  -_gcsg 18832  CMndccmn 19677  Abelcabl 19678  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   Mat cmat 22310   maDet cmdat 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-evpm 19389  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-mdet 22488

This theorem is referenced by:  mdetuni  22525  mdetmul  22526