MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetuni0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetuni0 22130
Description: Lemma for mdetuni 22131. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.e ๐ธ = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetuni.cr (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetuni.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mdetuni0 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค

Proof of Theorem mdetuni0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘’ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mdetuni.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 mdetuni.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mdetuni.0g . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘…)
6 mdetuni.pg . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘…)
7 mdetuni.tg . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetuni.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
9 mdetuni.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10 ringgrp 20063 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
13 mdetuni.ff . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
1413ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) โˆˆ ๐พ)
159adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
168, 9jca 512 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
171matring 21952 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
192, 18ringidcl 20085 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
2016, 17, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
2113, 20ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ)
23 mdetuni.cr . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
24 mdetuni.e . . . . . . . . . . 11 ๐ธ = (๐‘ maDet ๐‘…)
2524, 1, 2, 3mdetf 22104 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ๐พ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ๐พ)
2726ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) โˆˆ ๐พ)
283, 7ringcl 20075 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘Ž) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ ๐พ)
2915, 22, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ ๐พ)
30 eqid 2732 . . . . . . . 8 (-gโ€˜๐‘…) = (-gโ€˜๐‘…)
313, 30grpsubcl 18905 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜๐‘Ž) โˆˆ ๐พ โˆง ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ ๐พ)
3212, 14, 29, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ ๐พ)
3332fmpttd 7116 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)))):๐ตโŸถ๐พ)
34 simpr1 1194 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = (๐ทโ€˜๐‘))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘))
3736oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)))
3835, 37oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
39 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))
40 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) โˆˆ V
4138, 39, 40fvmpt 6998 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
4234, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
43423adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
44 simp1 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐œ‘)
45 simp21 1206 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
46 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))
47 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘๐‘๐‘ค))
48 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ (๐‘‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘ค))
4947, 48eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ ((๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’) โ†” (๐‘๐‘๐‘ค) = (๐‘‘๐‘๐‘ค)))
5049cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘ค) = (๐‘‘๐‘๐‘ค))
5146, 50sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘ค) = (๐‘‘๐‘๐‘ค))
52 simp22 1207 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
53 simp23 1208 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)
54 simp3l 1201 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘‘)
55 mdetuni.al . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
56 mdetuni.li . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
57 mdetuni.sc . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem1 22121 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘ค) = (๐‘‘๐‘๐‘ค)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = 0 )
5944, 45, 51, 52, 53, 54, 58syl33anc 1385 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = 0 )
60233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
6124, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46mdetralt 22117 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = 0 )
6261oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 ))
6359, 62oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) = ( 0 (-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 )))
643, 7, 4ringrz 20110 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 ) = 0 )
659, 21, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 ) = 0 )
6665oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( 0 (-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 )) = ( 0 (-gโ€˜๐‘…) 0 ))
673, 4grpidcl 18852 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
683, 4, 30grpsubid 18909 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐พ) โ†’ ( 0 (-gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
6911, 67, 68syl2anc2 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( 0 (-gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
7066, 69eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ( 0 (-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 )) = 0 )
71703ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ( 0 (-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 0 )) = 0 )
7243, 63, 713eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = 0 )
73723expia 1121 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = 0 ))
7473ralrimivvva 3203 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ โ‰  ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘๐‘๐‘’) = (๐‘‘๐‘๐‘’)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = 0 ))
75 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐œ‘)
76 simp2ll 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
77 simp2lr 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
78 simp2rl 1242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ต)
79 simp2rr 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ ๐‘)
80 simp31 1209 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))))
81 simp32 1210 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))
82 simp33 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem3 22123 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)))) โˆง ((๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘)))
8475, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83syl332anc 1401 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘)))
85233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
8624, 1, 2, 6, 85, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82mdetrlin 22111 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘)))
8786oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘))))
8884, 87oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) = (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
89 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
9089, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
91903adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
92 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
93 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = (๐ทโ€˜๐‘))
94 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘))
9594oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)))
9693, 95oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
97 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) โˆˆ V
9896, 39, 97fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
100 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ต)
101 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = (๐ทโ€˜๐‘‘))
102 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐‘‘))
103102oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))
104101, 103oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
105 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))) โˆˆ V
106104, 39, 105fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘) = ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
107100, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘) = ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
10899, 107oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = (((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) + ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
109 ringabl 20100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
1109, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
11213adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
113112, 92ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ)
114112, 100ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)
1159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ)
11726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ๐พ)
118117, 92ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ)
1193, 7ringcl 20075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐พ)
120115, 116, 118, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐พ)
121117, 100ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)
1223, 7ringcl 20075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)) โˆˆ ๐พ)
123115, 116, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)) โˆˆ ๐พ)
1243, 6, 30ablsub4 19680 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Abel โˆง ((๐ทโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ทโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ) โˆง (((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐พ โˆง ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)) โˆˆ ๐พ)) โ†’ (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)(((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))) = (((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) + ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
125111, 113, 114, 120, 123, 124syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)(((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))) = (((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) + ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
1263, 6, 7ringdi 20083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘))) = (((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
127115, 116, 118, 121, 126syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘))) = (((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
128127eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘))))
129128oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)(((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) + ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))) = (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
130108, 125, 1293eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
1311303adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = (((๐ทโ€˜๐‘) + (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท ((๐ธโ€˜๐‘) + (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
13288, 91, 1313eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)))
1331323expia 1121 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
134133anassrs 468 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
135134ralrimivva 3200 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
136135ralrimivva 3200 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) + ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
137 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐œ‘)
138 simp2ll 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
139 simp2lr 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
140 simp2rl 1242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ต)
141 simp2rr 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ ๐‘)
142 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))))
143 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))
1441, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem4 22124 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘)))
145137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144syl133anc 1393 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘)))
146233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
14724, 1, 2, 3, 7, 146, 138, 139, 140, 141, 142, 143mdetrsca 22112 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))
148147oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
149145, 148oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))) = ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
150 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
151150, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
1521513adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = ((๐ทโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘))))
153 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ต)
154153, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘) = ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
155154oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = (๐‘ ยท ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
1569adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
157 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
15813adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
159158, 153ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)
16021adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ)
16126adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ๐พ)
162161, 153ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)
163156, 160, 162, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)) โˆˆ ๐พ)
1643, 7, 30, 156, 157, 159, 163ringsubdi 20123 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐‘ ยท ((๐ทโ€˜๐‘‘)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))) = ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
165 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
166165crngmgp 20066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
16723, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
168167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
169165, 3mgpbas 19995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐พ = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
170165, 7mgpplusg 19993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
171169, 170cmn12 19672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
172168, 157, 160, 162, 171syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐‘ ยท ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘))))
173172oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))) = ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
174155, 164, 1733eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
1751743adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)) = ((๐‘ ยท (๐ทโ€˜๐‘‘))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐‘ ยท (๐ธโ€˜๐‘‘)))))
176149, 152, 1753eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โˆง ((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘)))
1771763expia 1121 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
178177anassrs 468 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
179178ralrimivva 3200 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
180179ralrimivva 3200 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (((๐‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘)) = ((({๐‘’} ร— ๐‘) ร— {๐‘}) โˆ˜f ยท (๐‘‘ โ†พ ({๐‘’} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘)) = (๐‘‘ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘’}) ร— ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘‘))))
181 eqidd 2733 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)))))
182 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = (1rโ€˜๐ด) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)))
183 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = (1rโ€˜๐ด) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)))
184183oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = (1rโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด))))
185182, 184oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (1rโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)))))
18624, 1, 18, 5mdet1 22110 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 1 )
18723, 8, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 1 )
188187oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 1 ))
1893, 7, 5ringridm 20089 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 1 ) = (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)))
1909, 21, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท 1 ) = (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)))
191188, 190eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)))
192191oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)))) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)(๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))))
1933, 4, 30grpsubid 18909 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)(๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = 0 )
19411, 21, 193syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)(๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = 0 )
195192, 194eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜(1rโ€˜๐ด)))) = 0 )
196185, 195sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž = (1rโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = 0 )
1974fvexi 6905 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
198197a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ V)
199181, 196, 20, 198fvmptd 7005 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
200 eqid 2732 . . . . 5 {๐‘ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘โ€˜๐‘’) = if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = 0 )} = {๐‘ โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘’ โˆˆ ๐‘ (๐‘โ€˜๐‘’) = if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐‘) = 0 )}
2011, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 33, 74, 136, 180, 199, 200mdetunilem9 22129 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)))) = (๐ต ร— { 0 }))
202201fveq1d 6893 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐น) = ((๐ต ร— { 0 })โ€˜๐น))
203 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = (๐ทโ€˜๐น))
204 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) = (๐ธโ€˜๐น))
205204oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐น โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž)) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)))
206203, 205oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐น โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))))
207206adantl 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))) = ((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))))
208 mdetuni.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
209 ovexd 7446 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))) โˆˆ V)
210181, 207, 208, 209fvmptd 7005 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ทโ€˜๐‘Ž)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐‘Ž))))โ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))))
211197fvconst2 7207 . . . 4 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต ร— { 0 })โ€˜๐น) = 0 )
212208, 211syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ร— { 0 })โ€˜๐น) = 0 )
213202, 210, 2123eqtr3d 2780 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))) = 0 )
21413, 208ffvelcdmd 7087 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ)
21526, 208ffvelcdmd 7087 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ)
2163, 7ringcl 20075 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ธโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)) โˆˆ ๐พ)
2179, 21, 215, 216syl3anc 1371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)) โˆˆ ๐พ)
2183, 4, 30grpsubeq0 18911 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ โˆง ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))) = 0 โ†” (๐ทโ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))))
21911, 214, 217, 218syl3anc 1371 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ€˜๐น)(-gโ€˜๐‘…)((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))) = 0 โ†” (๐ทโ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น))))
220213, 219mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674   โ†พ cres 5678  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  CMndccmn 19650  Abelcabl 19651  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-evpm 19362  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mamu 21893  df-mat 21915  df-mdet 22094
This theorem is referenced by:  mdetuni  22131  mdetmul  22132
  Copyright terms: Public domain W3C validator