Theorem mdetuni0 22565

Description: Lemma for mdetuni 22566. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.e	⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetuni.cr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetuni.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdetuni0	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, + ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 1 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem mdetuni0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mdetuni.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		mdetuni.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.0g	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdetuni.1r	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mdetuni.pg	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		mdetuni.tg	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetuni.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		mdetuni.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		ringgrp 20173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13		mdetuni.ff	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
14	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑎) ∈ 𝐾)
15	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
16	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
17	1	matring 22387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
19	2, 18	ringidcl 20200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
20	16, 17, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
21	13, 20	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23		mdetuni.cr	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24		mdetuni.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
25	24, 1, 2, 3	mdetf 22539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
27	26	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑎) ∈ 𝐾)
28	3, 7	ringcl 20185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑎) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾)
29	15, 22, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾)
30		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
31	3, 30	grpsubcl 18950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘𝑎) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) ∈ 𝐾)
32	12, 14, 29, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) ∈ 𝐾)
33	32	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))):𝐵⟶𝐾)
34		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
35		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑏))
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑏))
37	36	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)))
38	35, 37	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))
40		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
42	34, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
44		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝜑)
45		simp21 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
46		simp3r 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))
47		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → (𝑐𝑏𝑒) = (𝑐𝑏𝑤))
48		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → (𝑑𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑤))
49	47, 48	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑤 → ((𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒) ↔ (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤)))
50	49	cbvralvw 3214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤))
51	46, 50	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤))
52		simp22 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
53		simp23 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑑 ∈ 𝑁)
54		simp3l 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑐 ≠ 𝑑)
55		mdetuni.al	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
56		mdetuni.li	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
57		mdetuni.sc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem1 22556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑤) = (𝑑𝑏𝑤)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)) → (𝐷‘𝑏) = 0 )
59	44, 45, 51, 52, 53, 54, 58	syl33anc 1387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → (𝐷‘𝑏) = 0 )
60	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → 𝑅 ∈ CRing)
61	24, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46	mdetralt 22552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → (𝐸‘𝑏) = 0 )
62	61	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ))
63	59, 62	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )))
64	3, 7, 4	ringrz 20229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ) = 0 )
65	9, 21, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 ) = 0 )
66	65	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = ( 0 (-g‘𝑅) 0 ))
67	3, 4	grpidcl 18895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
68	3, 4, 30	grpsubid 18954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
69	11, 67, 68	syl2anc2 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
70	66, 69	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = 0 )
71	70	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ( 0 (-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 0 )) = 0 )
72	43, 63, 71	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 )
73	72	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 ))
74	73	ralrimivvva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝑁 (𝑐𝑏𝑒) = (𝑑𝑏𝑒)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = 0 ))
75		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝜑)
76		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
77		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑐 ∈ 𝐵)
78		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
79		simp2rr 1244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑒 ∈ 𝑁)
80		simp31 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))))
81		simp32 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
82		simp33 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem3 22558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁)))) ∧ ((𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = ((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑)))
84	75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83	syl332anc 1403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = ((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑)))
85	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
86	24, 1, 2, 6, 85, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82	mdetrlin 22546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐸‘𝑏) = ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))
87	86	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))))
88	84, 87	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
89		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
90	89, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
91	90	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
92		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝐵)
93		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑐))
94		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑐))
95	94	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)))
96	93, 95	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
97		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) ∈ V
98	96, 39, 97	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = ((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))))
100		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
101		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑑))
102		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝑑))
103	102	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))
104	101, 103	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
105		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) ∈ V
106	104, 39, 105	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐵 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
107	100, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
108	99, 107	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
109		ringabl 20216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
110	9, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Abel)
112	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
113	112, 92	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑐) ∈ 𝐾)
114	112, 100	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾)
115	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
116	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
117	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
118	117, 92	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾)
119	3, 7	ringcl 20185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾)
120	115, 116, 118, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾)
121	117, 100	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)
122	3, 7	ringcl 20185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
123	115, 116, 121, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
124	3, 6, 30	ablsub4 19739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ((𝐷‘𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾) ∧ (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
125	111, 113, 114, 120, 123, 124	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐))) + ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
126	3, 6, 7	ringdi 20196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))) = (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
127	115, 116, 118, 121, 126	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))) = (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
128	127	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑))))
129	128	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑐)) + ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
130	108, 125, 129	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
131	130	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (((𝐷‘𝑐) + (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · ((𝐸‘𝑐) + (𝐸‘𝑑)))))
132	88, 91, 131	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)))
133	132	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
134	133	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
135	134	ralrimivva 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
136	135	ralrimivva 3179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((𝑐 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) ∘f + (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑐 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) + ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
137		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝜑)
138		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
139		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑐 ∈ 𝐾)
140		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
141		simp2rr 1244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑒 ∈ 𝑁)
142		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))))
143		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))
144	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem4 22559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = (𝑐 · (𝐷‘𝑑)))
145	137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144	syl133anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐷‘𝑏) = (𝑐 · (𝐷‘𝑑)))
146	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
147	24, 1, 2, 3, 7, 146, 138, 139, 140, 141, 142, 143	mdetrsca 22547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝐸‘𝑏) = (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))
148	147	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
149	145, 148	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
150		simprll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
151	150, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
152	151	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = ((𝐷‘𝑏)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑏))))
153		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
154	153, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑) = ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))))
155	154	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = (𝑐 · ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
156	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
157		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝑐 ∈ 𝐾)
158	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
159	158, 153	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘𝑑) ∈ 𝐾)
160	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾)
161	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → 𝐸:𝐵⟶𝐾)
162	161, 153	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)
163	156, 160, 162, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)) ∈ 𝐾)
164	3, 7, 30, 156, 157, 159, 163	ringsubdi 20242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝐷‘𝑑)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))))
165		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
166	165	crngmgp 20176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
167	23, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
169	165, 3	mgpbas 20080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
170	165, 7	mgpplusg 20079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
171	169, 170	cmn12 19731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝑑) ∈ 𝐾)) → (𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
172	168, 157, 160, 162, 171	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑))))
173	172	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)(𝑐 · ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑑)))) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
174	155, 164, 173	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
175	174	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)) = ((𝑐 · (𝐷‘𝑑))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝑐 · (𝐸‘𝑑)))))
176	149, 152, 175	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) ∧ ((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑)))
177	176	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁))) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
178	177	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁)) → (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
179	178	ralrimivva 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾)) → ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
180	179	ralrimivva 3179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑑 ∈ 𝐵 ∀𝑒 ∈ 𝑁 (((𝑏 ↾ ({𝑒} × 𝑁)) = ((({𝑒} × 𝑁) × {𝑐}) ∘f · (𝑑 ↾ ({𝑒} × 𝑁))) ∧ (𝑏 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁)) = (𝑑 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑒}) × 𝑁))) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑏) = (𝑐 · ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑑))))
181		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))))
182		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
183		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘(1r‘𝐴)))
184	183	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))))
185	182, 184	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (1r‘𝐴) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))))
186	24, 1, 18, 5	mdet1 22545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐸‘(1r‘𝐴)) = 1 )
187	23, 8, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(1r‘𝐴)) = 1 )
188	187	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ))
189	3, 7, 5	ringridm 20205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
190	9, 21, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · 1 ) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
191	188, 190	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
192	191	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))) = ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))))
193	3, 4, 30	grpsubid 18954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
194	11, 21, 193	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
195	192, 194	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴))(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘(1r‘𝐴)))) = 0 )
196	185, 195	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = (1r‘𝐴)) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = 0 )
197	4	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
198	197	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
199	181, 196, 20, 198	fvmptd 6948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘(1r‘𝐴)) = 0 )
200		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ (𝑁 ↑m 𝑁)(∀𝑒 ∈ 𝑏 (𝑐‘𝑒) = if(𝑒 ∈ 𝑑, 1 , 0 ) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = 0 )} = {𝑏 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑑 ∈ (𝑁 ↑m 𝑁)(∀𝑒 ∈ 𝑏 (𝑐‘𝑒) = if(𝑒 ∈ 𝑑, 1 , 0 ) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝑐) = 0 )}
201	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 33, 74, 136, 180, 199, 200	mdetunilem9 22564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)))) = (𝐵 × { 0 }))
202	201	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝐹) = ((𝐵 × { 0 })‘𝐹))
203		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝐹))
204		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝐸‘𝑎) = (𝐸‘𝐹))
205	204	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎)) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))
206	203, 205	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
207	206	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐹) → ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
208		mdetuni.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
209		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) ∈ V)
210	181, 207, 208, 209	fvmptd 6948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷‘𝑎)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝑎))))‘𝐹) = ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
211	197	fvconst2 7150	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝐹) = 0 )
212	208, 211	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × { 0 })‘𝐹) = 0 )
213	202, 210, 212	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 )
214	13, 208	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ 𝐾)
215	26, 208	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
216	3, 7	ringcl 20185	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾)
217	9, 21, 215, 216	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾)
218	3, 4, 30	grpsubeq0 18956	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) ∈ 𝐾) → (((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 ↔ (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
219	11, 214, 217, 218	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝐹)(-g‘𝑅)((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))) = 0 ↔ (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹))))
220	213, 219	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  CMndccmn 19709  Abelcabl 19710  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169   Mat cmat 22351   maDet cmdat 22528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-splice 14673  df-reverse 14682  df-s2 14771  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-symg 19299  df-pmtr 19371  df-psgn 19420  df-evpm 19421  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-mdet 22529

This theorem is referenced by:  mdetuni  22566  mdetmul  22567