MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasring 20218
Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasring.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
imasring.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
imasring.p + = (+gโ€˜๐‘…)
imasring.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
imasring.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
imasring.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasring.e1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
imasring.e2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasring.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
Assertion
Ref Expression
imasring (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘, +   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐œ‘   ๐‘ˆ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   1 ,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   + (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   1 (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasring
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasring.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
2 imasring.v . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 imasring.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
4 imasring.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
51, 2, 3, 4imasbas 17462 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ˆ))
6 eqidd 2731 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ))
7 eqidd 2731 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ))
8 imasring.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐‘…)
98a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
10 imasring.e1 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
11 ringgrp 20132 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
124, 11syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
13 eqid 2730 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasgrp 18975 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Grp โˆง (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘ˆ)))
1514simpld 493 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Grp)
16 imasring.e2 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
17 imasring.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
18 eqid 2730 . . . . 5 (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ)
194adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
20 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‰)
212adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
2220, 21eleqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)
2423, 21eleqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2625, 17ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2719, 22, 24, 26syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2827, 21eleqtrrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
2928caovclg 7601 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 17486 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ):(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)
31 fovcdm 7579 . . . 4 (((.rโ€˜๐‘ˆ):(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ) โˆˆ ๐ต)
3230, 31syl3an1 1161 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ) โˆˆ ๐ต)
33 forn 6807 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
343, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3534eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ต))
3634eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต))
3734eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3835, 36, 373anbi123d 1434 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)))
39 fofn 6806 . . . . . . . . 9 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
403, 39syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
41 fvelrnb 6951 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข))
42 fvelrnb 6951 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ))
43 fvelrnb 6951 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4441, 42, 433anbi123d 1434 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
4540, 44syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
4638, 45bitr3d 280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
47 3reeanv 3225 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4846, 47bitr4di 288 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
494adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
50 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
5123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5250, 51eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53523adant3r3 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
54 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
5554, 51eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
56553adant3r3 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
57 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)
582adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5957, 58eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
6025, 17ringass 20147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
6149, 53, 56, 59, 60syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
6261fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
63 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐œ‘)
6428caovclg 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
65643adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
663, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
6763, 65, 57, 66syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
68 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
6928caovclg 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
70693adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
713, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7263, 68, 70, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7362, 67, 723eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
743, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
75743adant3r3 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
7675oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
773, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
78773adant3r1 1180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
7978oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
8073, 76, 793eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
81 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข)
82 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ)
8381, 82oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
84 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)
8583, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8682, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8781, 86oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
8885, 87eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
8980, 88syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
90893exp2 1352 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
9190imp32 417 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
9291rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9392rexlimdvva 3209 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9448, 93sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9594imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
9625, 8, 17ringdi 20152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9749, 53, 56, 59, 96syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9897fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
9925, 8ringacl 20166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
10019, 22, 24, 99syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
101100, 21eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
102101caovclg 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1031023adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1043, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10563, 68, 103, 104syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10628caovclg 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1071063adantr2 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
108 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ)
1093, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 17482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
11063, 65, 107, 109syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
11198, 105, 1103eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
1123, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 17482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
1131123adant3r1 1180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
114113oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))))
1153, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
1161153adant3r2 1181 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
11775, 116oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
118111, 114, 1173eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
11982, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
12081, 119oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
12181, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
12283, 121oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
123120, 122eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
124118, 123syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1251243exp2 1352 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
126125imp32 417 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
127126rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
128127rexlimdvva 3209 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
12948, 128sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
130129imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
13125, 8, 17ringdir 20153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
13249, 53, 56, 59, 131syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
133132fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
134101caovclg 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1351343adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1363, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
13763, 135, 57, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
1383, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 17482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
13963, 107, 70, 138syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
140133, 137, 1393eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
1413, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 17482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
1421413adant3r3 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
143142oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
144116, 78oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
145140, 143, 1443eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
14681, 82oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
147146, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
148121, 86oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
149147, 148eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
150145, 149syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1511503exp2 1352 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
152151imp32 417 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
153152rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
154153rexlimdvva 3209 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
15548, 154sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
156155imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
157 fof 6804 . . . . 5 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
1583, 157syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
159 imasring.o . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
16025, 159ringidcl 20154 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1614, 160syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
162161, 2eleqtrrd 2834 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‰)
163158, 162ffvelcdmd 7086 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
16440, 41syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข))
16535, 164bitr3d 280 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข))
166 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐œ‘)
167162adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‰)
168 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
1693, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜( 1 ยท ๐‘ฅ)))
170166, 167, 168, 169syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜( 1 ยท ๐‘ฅ)))
1712eleq2d 2817 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
172171biimpa 475 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17325, 17, 159ringlidm 20157 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
1744, 172, 173syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
175174fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜( 1 ยท ๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
176170, 175eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
177 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข))
178 id 22 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข)
179177, 178eqeq12d 2746 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ (((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข))
180176, 179syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข))
181180rexlimdva 3153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข))
182165, 181sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข))
183182imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข)
1843, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง 1 โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท 1 )))
185167, 184mpd3an3 1460 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท 1 )))
18625, 17, 159ringridm 20158 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
1874, 172, 186syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
188187fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท 1 )) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
189185, 188eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
190 oveq1 7418 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )))
191190, 178eqeq12d 2746 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข))
192189, 191syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข))
193192rexlimdva 3153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข))
194165, 193sylbid 239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข))
195194imp 405 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข)
1965, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 183, 195isringd 20179 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Ring)
197163, 5eleqtrd 2833 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ))
1985eleq2d 2817 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ)))
199182, 194jcad 511 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข โˆง (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข)))
200198, 199sylbird 259 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ) โ†’ (((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข โˆง (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข)))
201200ralrimiv 3143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ)(((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข โˆง (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข))
202 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘ˆ) = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
203 eqid 2730 . . . . . 6 (1rโ€˜๐‘ˆ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)
204202, 18, 203isringid 20159 . . . . 5 (๐‘ˆ โˆˆ Ring โ†’ (((๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ)(((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข โˆง (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข)) โ†” (1rโ€˜๐‘ˆ) = (๐นโ€˜ 1 )))
205196, 204syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ)(((๐นโ€˜ 1 )(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ข) = ๐‘ข โˆง (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ข)) โ†” (1rโ€˜๐‘ˆ) = (๐นโ€˜ 1 )))
206197, 201, 205mpbi2and 708 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘ˆ) = (๐นโ€˜ 1 ))
207206eqcomd 2736 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ))
208196, 207jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜ 1 ) = (1rโ€˜๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   ร— cxp 5673  ran crn 5676   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€“ontoโ†’wfo 6540  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   โ€œs cimas 17454  Grpcgrp 18855  1rcur 20075  Ringcrg 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-imas 17458  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129
This theorem is referenced by:  imasringf1  20219  qusring2  20222  imasrhm  32741
  Copyright terms: Public domain W3C validator