MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsringd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsringd 20044
Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsringd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsringd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsringd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsringd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
Assertion
Ref Expression
prdsringd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)

Proof of Theorem prdsringd
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsringd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsringd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 prdsringd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsringd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
5 ringgrp 19977 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Ring β†’ π‘₯ ∈ Grp)
65ssriv 3952 . . . 4 Ring βŠ† Grp
7 fss 6689 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢Ring ∧ Ring βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
84, 6, 7sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
91, 2, 3, 8prdsgrpd 18865 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
10 eqid 2733 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11 mgpf 19987 . . . . 5 (mulGrp β†Ύ Ring):Ring⟢Mnd
12 fco2 6699 . . . . 5 (((mulGrp β†Ύ Ring):Ring⟢Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟢Ring) β†’ (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
1311, 4, 12sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟢Mnd)
1410, 2, 3, 13prdsmndd 18597 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd)
15 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
174ffnd 6673 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
181, 16, 10, 2, 3, 17prdsmgp 20042 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
1918simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
2018simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
2120oveqdr 7389 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
2215, 19, 21mndpropd 18589 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ Mnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd))
2314, 22mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ Mnd)
244adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
2524ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘€) ∈ Ring)
26 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
273adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
292adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3117adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
33 simplr1 1216 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
34 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ 𝐼)
351, 26, 28, 30, 32, 33, 34prdsbasprj 17362 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)))
36 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
381, 26, 28, 30, 32, 37, 34prdsbasprj 17362 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)))
39 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4039adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
411, 26, 28, 30, 32, 40, 34prdsbasprj 17362 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)))
42 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€))
43 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))
44 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) = (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))
4542, 43, 44ringdi 19995 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘€) ∈ Ring ∧ ((π‘₯β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) ∧ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) ∧ (π‘§β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
4625, 35, 38, 41, 45syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
47 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
481, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 47, 34prdsplusgfval 17364 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€) = ((π‘¦β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)))
4948oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)) = ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
50 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
511, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 50, 34prdsmulrfval 17366 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€) = ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€)))
521, 26, 28, 30, 32, 33, 40, 50, 34prdsmulrfval 17366 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€) = ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)))
5351, 52oveq12d 7379 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
5446, 49, 533eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)) = (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)))
5554mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))))
56 simpr1 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
57 ringmnd 19982 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ Ring β†’ π‘₯ ∈ Mnd)
5857ssriv 3952 . . . . . . . . 9 Ring βŠ† Mnd
59 fss 6689 . . . . . . . . 9 ((𝑅:𝐼⟢Ring ∧ Ring βŠ† Mnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
604, 58, 59sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
6160adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
621, 26, 47, 27, 29, 61, 36, 39prdsplusgcl 18595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
631, 26, 27, 29, 31, 56, 62, 50prdsmulrval 17365 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))))
641, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 36prdsmulrcl 20043 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
651, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 39prdsmulrcl 20043 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
661, 26, 27, 29, 31, 64, 65, 47prdsplusgval 17363 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))))
6755, 63, 663eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)))
6842, 43, 44ringdir 19996 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘€) ∈ Ring ∧ ((π‘₯β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) ∧ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)) ∧ (π‘§β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘€)))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
6925, 35, 38, 41, 68syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
701, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 47, 34prdsplusgfval 17364 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€) = ((π‘₯β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€)))
7170oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)) = (((π‘₯β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘¦β€˜π‘€))(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)))
721, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 50, 34prdsmulrfval 17366 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€) = ((π‘¦β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)))
7352, 72oveq12d 7379 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)) = (((π‘₯β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((π‘¦β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
7469, 71, 733eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€)) = (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)))
7574mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))))
761, 26, 47, 27, 29, 61, 56, 36prdsplusgcl 18595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
771, 26, 27, 29, 31, 76, 39, 50prdsmulrval 17365 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)β€˜π‘€)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘€))(π‘§β€˜π‘€))))
781, 26, 50, 27, 29, 24, 36, 39prdsmulrcl 20043 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
791, 26, 27, 29, 31, 65, 78, 47prdsplusgval 17363 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (𝑀 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘€))((𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π‘€))))
8075, 77, 793eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)))
8167, 80jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)) ∧ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧))))
8281ralrimivvva 3197 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)) ∧ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧))))
8326, 16, 47, 50isring 19976 . 2 (π‘Œ ∈ Ring ↔ (π‘Œ ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑦)(+gβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)) ∧ ((π‘₯(+gβ€˜π‘Œ)𝑦)(.rβ€˜π‘Œ)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)(+gβ€˜π‘Œ)(𝑦(.rβ€˜π‘Œ)𝑧)))))
849, 23, 82, 83syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Xscprds 17335  Mndcmnd 18564  Grpcgrp 18756  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  prdscrngd  20045  pwsring  20047
  Copyright terms: Public domain W3C validator