Theorem prdsringd 19602

Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsringd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsringd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsringd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsringd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prdsringd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Proof of Theorem prdsringd

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsringd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsringd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsringd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsringd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
5		ringgrp 19539	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Grp)
6	5	ssriv 3895	. . . 4 ⊢ Ring ⊆ Grp
7		fss 6551	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Ring ∧ Ring ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
8	4, 6, 7	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 18445	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		mgpf 19549	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
12		fco2 6561	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
13	11, 4, 12	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
14	10, 2, 3, 13	prdsmndd 18178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd)
15		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
16		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
17	4	ffnd 6535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
18	1, 16, 10, 2, 3, 17	prdsmgp 19600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
19	18	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
20	18	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
21	20	oveqdr 7230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
22	15, 19, 21	mndpropd 18170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd))
23	14, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
24	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
25	24	ffvelrnda 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑤) ∈ Ring)
26		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
27	3	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
29	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅 Fn 𝐼)
32	31	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33		simplr1 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
34		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑤 ∈ 𝐼)
35	1, 26, 28, 30, 32, 33, 34	prdsbasprj 16949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
36		simpr2 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
37	36	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
38	1, 26, 28, 30, 32, 37, 34	prdsbasprj 16949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
39		simpr3 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
41	1, 26, 28, 30, 32, 40, 34	prdsbasprj 16949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
42		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑤)) = (Base‘(𝑅‘𝑤))
43		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑤)) = (+g‘(𝑅‘𝑤))
44		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑤)) = (.r‘(𝑅‘𝑤))
45	42, 43, 44	ringdi 19556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Ring ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
46	25, 35, 38, 41, 45	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
47		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
48	1, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 47, 34	prdsplusgfval 16951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
49	48	oveq2d 7218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
50		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
51	1, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 50, 34	prdsmulrfval 16953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
52	1, 26, 28, 30, 32, 33, 40, 50, 34	prdsmulrfval 16953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
53	51, 52	oveq12d 7220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
54	46, 49, 53	3eqtr4d 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
55	54	mpteq2dva 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
56		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
57		ringmnd 19544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Mnd)
58	57	ssriv 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ring ⊆ Mnd
59		fss 6551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Ring ∧ Ring ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
60	4, 58, 59	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
61	60	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
62	1, 26, 47, 27, 29, 61, 36, 39	prdsplusgcl 18176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
63	1, 26, 27, 29, 31, 56, 62, 50	prdsmulrval 16952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
64	1, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 36	prdsmulrcl 19601	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
65	1, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 39	prdsmulrcl 19601	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
66	1, 26, 27, 29, 31, 64, 65, 47	prdsplusgval 16950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
67	55, 63, 66	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)))
68	42, 43, 44	ringdir 19557	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Ring ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
69	25, 35, 38, 41, 68	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
70	1, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 47, 34	prdsplusgfval 16951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
71	70	oveq1d 7217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
72	1, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 50, 34	prdsmulrfval 16953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
73	52, 72	oveq12d 7220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
74	69, 71, 73	3eqtr4d 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
75	74	mpteq2dva 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
76	1, 26, 47, 27, 29, 61, 56, 36	prdsplusgcl 18176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
77	1, 26, 27, 29, 31, 76, 39, 50	prdsmulrval 16952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
78	1, 26, 50, 27, 29, 24, 36, 39	prdsmulrcl 19601	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
79	1, 26, 27, 29, 31, 65, 78, 47	prdsplusgval 16950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
80	75, 77, 79	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))
81	67, 80	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
82	81	ralrimivvva 3106	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
83	26, 16, 47, 50	isring 19538	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Ring ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))))
84	9, 23, 82, 83	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054   ⊆ wss 3857   ↦ cmpt 5124   ↾ cres 5542   ∘ ccom 5544   Fn wfn 6364  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684  +_gcplusg 16767  ._rcmulr 16768  X_scprds 16922  Mndcmnd 18145  Grpcgrp 18337  mulGrpcmgp 19476  Ringcrg 19534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-sup 9047  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-fz 13079  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-hom 16791  df-cco 16792  df-0g 16918  df-prds 16924  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-mgp 19477  df-ring 19536

This theorem is referenced by:  prdscrngd  19603  pwsring  19605