Theorem prdsringd 20403

Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsringd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsringd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsringd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsringd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)

Assertion

Ref	Expression
prdsringd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Proof of Theorem prdsringd

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsringd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsringd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsringd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsringd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
5		ringgrp 20321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Grp)
6	5	ssriv 3942	. . . 4 ⊢ Ring ⊆ Grp
7		fss 6724	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Ring ∧ Ring ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
8	4, 6, 7	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 19117	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		mgpf 20331	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd
12		fco2 6734	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ∧ 𝑅:𝐼⟶Ring) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
13	11, 4, 12	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Mnd)
14	10, 2, 3, 13	prdsmndd 18829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd)
15		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
17	4	ffnd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
18	1, 16, 10, 2, 3, 17	prdsmgp 20228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
19	18	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
20	18	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
21	20	oveqdr 7440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
22	15, 19, 21	mndpropd 18818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Mnd))
23	14, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
24	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
25	24	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑤) ∈ Ring)
26		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
27	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
29	2	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅 Fn 𝐼)
32	31	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33		simplr1 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
34		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑤 ∈ 𝐼)
35	1, 26, 28, 30, 32, 33, 34	prdsbasprj 17526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
36		simpr2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
37	36	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
38	1, 26, 28, 30, 32, 37, 34	prdsbasprj 17526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
39		simpr3 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
41	1, 26, 28, 30, 32, 40, 34	prdsbasprj 17526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
42		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑤)) = (Base‘(𝑅‘𝑤))
43		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑤)) = (+g‘(𝑅‘𝑤))
44		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑤)) = (.r‘(𝑅‘𝑤))
45	42, 43, 44	ringdi 20344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Ring ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
46	25, 35, 38, 41, 45	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
47		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
48	1, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 47, 34	prdsplusgfval 17528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
49	48	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
50		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
51	1, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 50, 34	prdsmulrfval 17530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
52	1, 26, 28, 30, 32, 33, 40, 50, 34	prdsmulrfval 17530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
53	51, 52	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
54	46, 49, 53	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
55	54	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
56		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
57		ringmnd 20326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Mnd)
58	57	ssriv 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ Ring ⊆ Mnd
59		fss 6724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Ring ∧ Ring ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
60	4, 58, 59	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
61	60	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
62	1, 26, 47, 27, 29, 61, 36, 39	prdsplusgcl 18827	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
63	1, 26, 27, 29, 31, 56, 62, 50	prdsmulrval 17529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
64	1, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 36	prdsmulrcl 20402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
65	1, 26, 50, 27, 29, 24, 56, 39	prdsmulrcl 20402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
66	1, 26, 27, 29, 31, 64, 65, 47	prdsplusgval 17527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
67	55, 63, 66	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)))
68	42, 43, 44	ringdir 20345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Ring ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
69	25, 35, 38, 41, 68	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
70	1, 26, 28, 30, 32, 33, 37, 47, 34	prdsplusgfval 17528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
71	70	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
72	1, 26, 28, 30, 32, 37, 40, 50, 34	prdsmulrfval 17530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
73	52, 72	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
74	69, 71, 73	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
75	74	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
76	1, 26, 47, 27, 29, 61, 56, 36	prdsplusgcl 18827	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
77	1, 26, 27, 29, 31, 76, 39, 50	prdsmulrval 17529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
78	1, 26, 50, 27, 29, 24, 36, 39	prdsmulrcl 20402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
79	1, 26, 27, 29, 31, 65, 78, 47	prdsplusgval 17527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
80	75, 77, 79	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))
81	67, 80	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
82	81	ralrimivvva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
83	26, 16, 47, 50	isring 20320	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Ring ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))))
84	9, 23, 82, 83	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  X_scprds 17499  Mndcmnd 18793  Grpcgrp 19001  mulGrpcmgp 20217  Ringcrg 20316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-prds 17501  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318

This theorem is referenced by:  prdscrngd  20404  pwsring  20406  xpsringd  20415