MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringsubdi 20031
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 11596 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringsubdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringsubdi.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
ringsubdi.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringsubdi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringsubdi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
ringsubdi.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringsubdi (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem ringsubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 ringsubdi.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringgrp 19977 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
6 ringsubdi.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
7 ringsubdi.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
97, 8grpinvcl 18806 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
105, 6, 9syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
11 eqid 2733 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
12 ringsubdi.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
137, 11, 12ringdi 19995 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1373 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
157, 12, 8, 1, 2, 6ringmneg2 20029 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘)))
1615oveq2d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
1714, 16eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
197, 11, 8, 18grpsubval 18804 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
203, 6, 19syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
2120oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
227, 12ringcl 19989 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
231, 2, 3, 22syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
247, 12ringcl 19989 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
251, 2, 6, 24syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
267, 11, 8, 18grpsubval 18804 . . 3 (((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
2723, 25, 26syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
2817, 21, 273eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  20749  mdetuni0  21993  chfacfpmmulgsum2  22237  nrgdsdi  24052  nrginvrcnlem  24078  ply1divmo  25523  ornglmulle  32154  isdomn4  40674
  Copyright terms: Public domain W3C validator