Theorem ringsubdi 19349

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 11073 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ringsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringsubdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 19302	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringsubdi.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ringsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
9	7, 8	grpinvcl 18151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		ringsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	7, 11, 12	ringdi 19316	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
15	7, 12, 8, 1, 2, 6	ringmneg2 19347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
16	15	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
17	14, 16	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
18		ringsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
19	7, 11, 8, 18	grpsubval 18149	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
20	3, 6, 19	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
21	20	oveq2d 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))))
22	7, 12	ringcl 19311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 2, 3, 22	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
24	7, 12	ringcl 19311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	1, 2, 6, 24	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
26	7, 11, 8, 18	grpsubval 18149	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
27	23, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
28	17, 21, 27	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  Grpcgrp 18103  inv_gcminusg 18104  -_gcsg 18105  Ringcrg 19297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299

This theorem is referenced by:  2idlcpbl  20007  mdetuni0  21230  chfacfpmmulgsum2  21473  nrgdsdi  23274  nrginvrcnlem  23300  ply1divmo  24729  ornglmulle  30878