Theorem ply1divex 26120

Description: Lemma for ply1divalg 26121: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divex.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1divex.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1divex.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
ply1divex.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐾)
ply1divex.g3	⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
ply1divex	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐹,𝑞   𝐼,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   − ,𝑞   𝐵,𝑞   ∙ ,𝑞   𝐷,𝑞   𝐺,𝑞   𝜑,𝑞   · ,𝑞

Allowed substitution hints:   1 (𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1divex

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑟 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘ 0 ))
2	1	breq1d 5082	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0 → ((𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
3	2	rexbidv 3163	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
4		nnssnn0 12431	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
5		ply1divalg.r1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
7		ply1divalg.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ≠ 0 )
10		ply1divalg.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		ply1divalg.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		ply1divalg.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13		ply1divalg.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
14	10, 11, 12, 13	deg1nn0cl 26071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
17		ply1divalg.g1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18		ply1divalg.g2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
19	10, 11, 12, 13	deg1nn0cl 26071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
20	5, 17, 18, 19	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
23	16, 22	resubcld 11569	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
24		arch 12425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑)
26		ssrexv 3984	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑))
27	4, 25, 26	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑)
28	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
29	21	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
30		nn0re 12437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℝ)
32	28, 29, 31	ltsubadd2d 11739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑 ↔ (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
33	32	biimpd 230	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
34	33	reximdva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) − (𝐷‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
35	27, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
36		0nn0 12443	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37	10, 11, 12	deg1z 26070	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
38	5, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
39		0re 11137	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		readdcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝐺) + 0) ∈ ℝ)
41	21, 39, 40	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + 0) ∈ ℝ)
42	41	mnfltd 13066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ < ((𝐷‘𝐺) + 0))
43	38, 42	eqbrtrd 5094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 0))
44		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 0 → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) = ((𝐷‘𝐺) + 0))
45	44	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 0)))
46	45	rspcev 3560	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 0)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
47	36, 43, 46	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘ 0 ) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
48	3, 35, 47	pm2.61ne 3019	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
49		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘𝐹))
50	49	breq1d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
51		fvoveq1 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))))
52	51	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
53	52	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
54	50, 53	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
55		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) = ((𝐷‘𝐺) + 0))
56	55	breq2d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0)))
57	56	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
58	57	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
59	58	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
60		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) = ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
61	60	breq2d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
62	61	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
63	62	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
64	63	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
65		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) = ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))
66	65	breq2d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1))))
67	66	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑑 + 1) → (((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
68	67	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
69	68	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
70	11	ply1ring 22232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
71	5, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
72	13, 12	ring0cl 20239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
74	73	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0)) → 0 ∈ 𝐵)
75		ply1divalg.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
76	13, 75, 12	ringrz 20266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 0 ) = 0 )
77	71, 17, 76	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∙ 0 ) = 0 )
78	77	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑓 − (𝐺 ∙ 0 )) = (𝑓 − 0 ))
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 − (𝐺 ∙ 0 )) = (𝑓 − 0 ))
80		ringgrp 20210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
81	71, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82		ply1divalg.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ − = (-g‘𝑃)
83	13, 12, 82	grpsubid1 18992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 − 0 ) = 𝑓)
84	81, 83	sylan 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 − 0 ) = 𝑓)
85	79, 84	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 = (𝑓 − (𝐺 ∙ 0 )))
86	85	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))))
87	20	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℂ)
88	87	addridd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + 0) = (𝐷‘𝐺))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐺) + 0) = (𝐷‘𝐺))
90	86, 89	breq12d 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) ↔ (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))) < (𝐷‘𝐺)))
91	90	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0)) → (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))) < (𝐷‘𝐺))
92		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 0 → (𝐺 ∙ 𝑞) = (𝐺 ∙ 0 ))
93	92	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 0 → (𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝑓 − (𝐺 ∙ 0 )))
94	93	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 0 → (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))))
95	94	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 0 → ((𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))) < (𝐷‘𝐺)))
96	95	rspcev 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 0 ))) < (𝐷‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
97	74, 91, 96	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
98	97	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
99	98	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 0) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
100		nn0addcl 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
101	20, 100	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
103	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑅 ∈ Ring)
104		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑔 ∈ 𝐵)
105	10, 11, 13	deg1cl 26066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
106	20	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
107		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
108	107	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
109	106, 108	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℕ0)
110	109	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ)
111		degltlem1 26055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷‘𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷‘𝑔) ≤ (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
112	105, 110, 111	syl2an2 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷‘𝑔) ≤ (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
113	112	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → (𝐷‘𝑔) ≤ (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
114	113	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘𝑔) ≤ (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1))
115	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
116	115	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℂ)
117		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℂ)
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℂ)
119		peano2cn 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
121		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
122	116, 120, 121	addsubassd 11516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷‘𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)))
123		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
124		pncan 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
125	118, 123, 124	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
126	125	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)) = ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
127	122, 126	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
129	114, 128	breqtrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘𝑔) ≤ ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
130	71	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
131	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
132	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
133		ply1divex.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐾)
134	133	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝐾)
135		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (coe1‘𝑔) = (coe1‘𝑔)
136		ply1divex.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
137	135, 13, 11, 136	coe1f 22196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑔):ℕ0⟶𝐾)
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑔):ℕ0⟶𝐾)
139		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ ℕ0)
140	106, 139	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
141	138, 140	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)
142		ply1divex.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ · = (.r‘𝑅)
143	136, 142	ringcl 20222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐾 ∧ ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
144	132, 134, 141, 143	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
145		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
146		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
147		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
148		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
149	136, 11, 145, 146, 147, 148, 13	ply1tmcl 22258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵)
150	132, 144, 139, 149	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵)
151	13, 75	ringcl 20222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
152	130, 131, 150, 151	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
153	152	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
154	106	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
155	154	leidd 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
156	10, 136, 11, 145, 146, 147, 148	deg1tmle 26101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ≤ 𝑑)
157	132, 144, 139, 156	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ≤ 𝑑)
158	11, 10, 132, 13, 75, 131, 150, 106, 139, 155, 157	deg1mulle2 26092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ≤ ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
159	158	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ≤ ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
160		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
161		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
162	161, 136, 11, 145, 146, 147, 148, 13, 75, 142, 131, 132, 144, 139, 106	coe1tmmul2fv 22264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))))
163	106	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℂ)
164	117	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ ℂ)
165	163, 164	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) = (𝑑 + (𝐷‘𝐺)))
166	165	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷‘𝐺))))
167		ply1divex.g3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) = 1 )
168	167	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))))
169	168	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))))
170		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
171	170, 13, 11, 136	coe1f 22196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
172	17, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
173	172	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
174	173, 106	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐾)
175	136, 142	ringass 20225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐼 ∈ 𝐾 ∧ ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)) → ((((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))))
176	132, 174, 134, 141, 175	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · 𝐼) · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))))
177		ply1divex.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
178	136, 142, 177	ringlidm 20241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → ( 1 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
179	132, 141, 178	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑))) = ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
180	169, 176, 179	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) = (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) · (𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))))
181	162, 166, 180	3eqtr4rd 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
182	181	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
183	10, 11, 13, 82, 102, 103, 104, 129, 153, 159, 135, 160, 182	deg1sublt 26093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
184	183	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑))
185		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
186	185	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))
187		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))))
188	187	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → ((𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
189	188	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
190	186, 189	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) → (((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
191		simplrr 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
192	81	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
193		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
194	13, 82	grpsubcl 18987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵) → (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ∈ 𝐵)
195	192, 193, 152, 194	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ∈ 𝐵)
196	195	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ∈ 𝐵)
197	196	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) ∈ 𝐵)
198	190, 191, 197	rspcdva 3561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
199	184, 198	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
200	71	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
201		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
202	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵)
203		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
204	13, 203	ringacl 20250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
205	200, 201, 202, 204	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
206	81	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
207		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
208	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵)
209	17	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
210	13, 75	ringcl 20222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵)
211	200, 209, 201, 210	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵)
212	13, 203, 82	grpsubsub4 19000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵)) → ((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝑔 − ((𝐺 ∙ 𝑞)(+g‘𝑃)(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
213	206, 207, 208, 211, 212	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝑔 − ((𝐺 ∙ 𝑞)(+g‘𝑃)(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
214	13, 203, 75	ringdi 20233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = ((𝐺 ∙ 𝑞)(+g‘𝑃)(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
215	200, 209, 201, 202, 214	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = ((𝐺 ∙ 𝑞)(+g‘𝑃)(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
216	215	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))) = (𝑔 − ((𝐺 ∙ 𝑞)(+g‘𝑃)(𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
217	213, 216	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
218	217	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))))
219	218	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) < (𝐷‘𝐺)))
220	219	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) → (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) < (𝐷‘𝐺)))
221		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) → (𝐺 ∙ 𝑟) = (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
222	221	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) → (𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟)) = (𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
223	222	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) → (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))))
224	223	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) → ((𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) < (𝐷‘𝐺)))
225	224	rspcev 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ (𝑞(+g‘𝑃)((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) < (𝐷‘𝐺)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))
226	205, 220, 225	syl6an 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
227	226	rexlimdva 3140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
228	227	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
229	228	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘((𝑔 − (𝐺 ∙ ((𝐼 · ((coe1‘𝑔)‘((𝐷‘𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
230	199, 229	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))
231	230	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
232	231	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) → ∀𝑔 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
233		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐷‘𝑔) = (𝐷‘𝑓))
234	233	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1))))
235		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))))
236	235	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
237	236	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
238		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝐺 ∙ 𝑟) = (𝐺 ∙ 𝑞))
239	238	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟)) = (𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞)))
240	239	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))))
241	240	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
242	241	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
243	237, 242	bitrdi 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
244	234, 243	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
245	244	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑔 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑔) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑔 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
246	232, 245	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))) → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
247	246	exp32 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
248	247	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
249	248	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))))
250	59, 64, 69, 64, 99, 249	nn0ind 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))))
251	250	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ((𝐷‘𝑓) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝑓 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
252	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
253	54, 251, 252	rspcdva 3561	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
254	253	rexlimdva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷‘𝐹) < ((𝐷‘𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
255	48, 254	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  -∞cmnf 11168   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162  coe₁cco1 22163  deg₁cdg1 26037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-cnfld 21348  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-mdeg 26038  df-deg1 26039

This theorem is referenced by:  ply1divalg  26121