Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divex 24850
 Description: Lemma for ply1divalg 24851: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divex.o 1 = (1r𝑅)
ply1divex.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1divex.u · = (.r𝑅)
ply1divex.i (𝜑𝐼𝐾)
ply1divex.g3 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ply1divex (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐹,𝑞   𝐼,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   𝐵,𝑞   ,𝑞   𝐷,𝑞   𝐺,𝑞   𝜑,𝑞   · ,𝑞
Allowed substitution hints:   1 (𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1divex
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑟 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . . 5 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
21breq1d 5046 . . . 4 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
32rexbidv 3221 . . 3 (𝐹 = 0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
4 nnssnn0 11950 . . . . 5 ℕ ⊆ ℕ0
5 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
7 ply1divalg.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹𝐵)
9 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹0 )
10 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 ply1divalg.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ply1divalg.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑃)
1410, 11, 12, 13deg1nn0cl 24802 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
156, 8, 9, 14syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12008 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
17 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
18 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺0 )
1910, 11, 12, 13deg1nn0cl 24802 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
205, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2120nn0red 12008 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 11119 . . . . . 6 ((𝜑𝐹0 ) → ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
24 arch 11944 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
26 ssrexv 3961 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑))
274, 25, 26mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2816adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2921ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
30 nn0re 11956 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
3130adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℝ)
3228, 29, 31ltsubadd2d 11289 . . . . . 6 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3332biimpd 232 . . . . 5 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3433reximdva 3198 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3527, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
36 0nn0 11962 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3710, 11, 12deg1z 24801 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
385, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷0 ) = -∞)
39 0re 10694 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
40 readdcl 10671 . . . . . . 7 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
4121, 39, 40sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
4241mnfltd 12573 . . . . 5 (𝜑 → -∞ < ((𝐷𝐺) + 0))
4338, 42eqbrtrd 5058 . . . 4 (𝜑 → (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0))
44 oveq2 7164 . . . . . 6 (𝑑 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = ((𝐷𝐺) + 0))
4544breq2d 5048 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)))
4645rspcev 3543 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
4736, 43, 46sylancr 590 . . 3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
483, 35, 47pm2.61ne 3036 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
49 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷𝑓) = (𝐷𝐹))
5049breq1d 5046 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
51 fvoveq1 7179 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))))
5251breq1d 5046 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5352rexbidv 3221 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5450, 53imbi12d 348 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
55 oveq2 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 0))
5655breq2d 5048 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)))
5756imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
5857ralbidv 3126 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
5958imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
60 oveq2 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
6160breq2d 5048 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
6261imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6362ralbidv 3126 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6463imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
65 oveq2 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))
6665breq2d 5048 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
6766imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6867ralbidv 3126 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6968imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
7011ply1ring 20986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
715, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7213, 12ring0cl 19404 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 0𝐵)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑0𝐵)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → 0𝐵)
75 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (.r𝑃)
7613, 75, 12ringrz 19423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 0 ) = 0 )
7771, 17, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 0 ) = 0 )
7877oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
7978adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
80 ringgrp 19384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
8171, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
82 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑃)
8313, 12, 82grpsubid1 18265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8481, 83sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8579, 84eqtr2d 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓 = (𝑓 (𝐺 0 )))
8685fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
8720nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
8887addid1d 10891 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
8988adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
9086, 89breq12d 5049 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9190biimpa 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺))
92 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 0 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 0 ))
9392oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 0 → (𝑓 (𝐺 𝑞)) = (𝑓 (𝐺 0 )))
9493fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 0 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
9594breq1d 5046 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 0 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9695rspcev 3543 . . . . . . . . 9 (( 0𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9774, 91, 96syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9897ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
9998ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
100 nn0addcl 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷𝐺) ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
10120, 100sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
102101adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
1035ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑅 ∈ Ring)
104 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑔𝐵)
10510, 11, 13deg1cl 24797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔𝐵 → (𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
10620ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
107 peano2nn0 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
108107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
109106, 108nn0addcld 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℕ0)
110109nn0zd 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ)
111 degltlem1 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
112105, 110, 111syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
113112biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
114113impr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1))
11520adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
117 nn0cn 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℂ)
118117adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℂ)
119 peano2cn 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
121 1cnd 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
122116, 120, 121addsubassd 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)))
123 ax-1cn 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
124 pncan 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
125118, 123, 124sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
126125oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
127122, 126eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
128127adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
129114, 128breqtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
13071ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
13117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐺𝐵)
1325ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
133 ply1divex.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐼𝐾)
134133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐼𝐾)
135 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (coe1𝑔) = (coe1𝑔)
136 ply1divex.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾 = (Base‘𝑅)
137135, 13, 11, 136coe1f 20949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔𝐵 → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
138137adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
139 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℕ0)
140106, 139nn0addcld 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
141138, 140ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)
142 ply1divex.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = (.r𝑅)
143136, 142ringcl 19396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
144132, 134, 141, 143syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
145 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (var1𝑅) = (var1𝑅)
146 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
147 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
148 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
149136, 11, 145, 146, 147, 148, 13ply1tmcl 21010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
150132, 144, 139, 149syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
15113, 75ringcl 19396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
152130, 131, 150, 151syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
153152adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
154106nn0red 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
155154leidd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
15610, 136, 11, 145, 146, 147, 148deg1tmle 24831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
157132, 144, 139, 156syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
15811, 10, 132, 13, 75, 131, 150, 106, 139, 155, 157deg1mulle2 24823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
159158adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
160 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
161 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑅) = (0g𝑅)
162161, 136, 11, 145, 146, 147, 148, 13, 75, 142, 131, 132, 144, 139, 106coe1tmmul2fv 21016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
163106nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
164117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℂ)
165163, 164addcomd 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = (𝑑 + (𝐷𝐺)))
166165fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))))
167 ply1divex.g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
168167oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
170 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
171170, 13, 11, 136coe1f 20949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
17217, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
174173, 106ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾)
175136, 142ringass 19399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
176132, 174, 134, 141, 175syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
177 ply1divex.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 = (1r𝑅)
178136, 142, 177ringlidm 19406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
179132, 141, 178syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
180169, 176, 1793eqtr3rd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
181162, 166, 1803eqtr4rd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
182181adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
18310, 11, 13, 82, 102, 103, 104, 129, 153, 159, 135, 160, 182deg1sublt 24824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
184183adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
185 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
186185breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
187 fvoveq1 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))))
188187breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
189188rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
190186, 189imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
191 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
19281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
193 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
19413, 82grpsubcl 18260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
195192, 193, 152, 194syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
196195adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
197196adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
198190, 191, 197rspcdva 3545 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
199184, 198mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
20071ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
201 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
202150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
203 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑃) = (+g𝑃)
20413, 203ringacl 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
205200, 201, 202, 204syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
20681ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
207 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑔𝐵)
208152adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
20917ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
21013, 75ringcl 19396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
211200, 209, 201, 210syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
21213, 203, 82grpsubsub4 18273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
213206, 207, 208, 211, 212syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
21413, 203, 75ringdi 19401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐵𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
215200, 209, 201, 202, 214syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
216215oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
217213, 216eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
218217fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
219218breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
220219biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
221 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐺 𝑟) = (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
222221oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝑔 (𝐺 𝑟)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
223222fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
224223breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
225224rspcev 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
226205, 220, 225syl6an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
227226rexlimdva 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
228227adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
229228adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
230199, 229mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
231230expr 460 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
232231ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
233 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷𝑔) = (𝐷𝑓))
234233breq1d 5046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
235 fvoveq1 7179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))))
236235breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
237236rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
238 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → (𝐺 𝑟) = (𝐺 𝑞))
239238oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (𝑓 (𝐺 𝑟)) = (𝑓 (𝐺 𝑞)))
240239fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))))
241240breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
242241cbvrexvw 3362 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
243237, 242bitrdi 290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
244234, 243imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
245244cbvralvw 3361 . . . . . . . . . 10 (∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
246232, 245sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
247246exp32 424 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
248247com12 32 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
249248a2d 29 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
25059, 64, 69, 64, 99, 249nn0ind 12129 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
251250impcom 411 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
2527adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
25354, 251, 252rspcdva 3545 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
254253rexlimdva 3208 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
25548, 254mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  {csn 4525   class class class wbr 5036  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591  -∞cmnf 10724   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  .rcmulr 16638   ·𝑠 cvsca 16641  0gc0g 16785  Grpcgrp 18183  -gcsg 18185  .gcmg 18305  mulGrpcmgp 19321  1rcur 19333  Ringcrg 19379  var1cv1 20914  Poly1cpl1 20915  coe1cco1 20916   deg1 cdg1 24765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-oppr 19458  df-dvdsr 19476  df-unit 19477  df-invr 19507  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-rlreg 20138  df-cnfld 20181  df-psr 20685  df-mvr 20686  df-mpl 20687  df-opsr 20689  df-psr1 20918  df-vr1 20919  df-ply1 20920  df-coe1 20921  df-mdeg 24766  df-deg1 24767 This theorem is referenced by:  ply1divalg  24851
 Copyright terms: Public domain W3C validator