MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divex 24187
Description: Lemma for ply1divalg 24188: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divex.o 1 = (1r𝑅)
ply1divex.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1divex.u · = (.r𝑅)
ply1divex.i (𝜑𝐼𝐾)
ply1divex.g3 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ply1divex (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐹,𝑞   𝐼,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   𝐵,𝑞   ,𝑞   𝐷,𝑞   𝐺,𝑞   𝜑,𝑞   · ,𝑞
Allowed substitution hints:   1 (𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1divex
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑟 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . 5 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
21breq1d 4819 . . . 4 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
32rexbidv 3199 . . 3 (𝐹 = 0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
4 nnssnn0 11541 . . . . 5 ℕ ⊆ ℕ0
5 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
7 ply1divalg.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
87adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹𝐵)
9 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹0 )
10 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 ply1divalg.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ply1divalg.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑃)
1410, 11, 12, 13deg1nn0cl 24139 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
156, 8, 9, 14syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11599 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
17 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
18 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺0 )
1910, 11, 12, 13deg1nn0cl 24139 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
205, 17, 18, 19syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2120nn0red 11599 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 10712 . . . . . 6 ((𝜑𝐹0 ) → ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
24 arch 11535 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
26 ssrexv 3827 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑))
274, 25, 26mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2816adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2921ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
30 nn0re 11548 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
3130adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℝ)
3228, 29, 31ltsubadd2d 10879 . . . . . 6 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3332biimpd 220 . . . . 5 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3433reximdva 3163 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3527, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
36 0nn0 11555 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3710, 11, 12deg1z 24138 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
385, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷0 ) = -∞)
39 0re 10295 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
40 readdcl 10272 . . . . . . 7 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
4121, 39, 40sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
42 mnflt 12157 . . . . . 6 (((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ → -∞ < ((𝐷𝐺) + 0))
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑 → -∞ < ((𝐷𝐺) + 0))
4438, 43eqbrtrd 4831 . . . 4 (𝜑 → (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0))
45 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑑 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = ((𝐷𝐺) + 0))
4645breq2d 4821 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)))
4746rspcev 3461 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
4836, 44, 47sylancr 581 . . 3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
493, 35, 48pm2.61ne 3022 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
50 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷𝑓) = (𝐷𝐹))
5150breq1d 4819 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
52 fvoveq1 6865 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))))
5352breq1d 4819 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5453rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5551, 54imbi12d 335 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
56 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 0))
5756breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)))
5857imbi1d 332 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
5958ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6059imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
61 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
6261breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
6362imbi1d 332 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6463ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6564imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
66 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))
6766breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
6867imbi1d 332 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6968ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
7069imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
7111ply1ring 19891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
725, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7313, 12ring0cl 18836 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 0𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑0𝐵)
7574ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → 0𝐵)
76 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (.r𝑃)
7713, 76, 12ringrz 18855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 0 ) = 0 )
7872, 17, 77syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 0 ) = 0 )
7978oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
8079adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
81 ringgrp 18819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
8272, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
83 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑃)
8413, 12, 83grpsubid1 17767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8582, 84sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8680, 85eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓 = (𝑓 (𝐺 0 )))
8786fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
8820nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
8988addid1d 10490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
9089adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
9187, 90breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9291biimpa 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺))
93 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 0 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 0 ))
9493oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 0 → (𝑓 (𝐺 𝑞)) = (𝑓 (𝐺 0 )))
9594fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 0 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
9695breq1d 4819 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 0 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9796rspcev 3461 . . . . . . . . 9 (( 0𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9875, 92, 97syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9998ex 401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
10099ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
101 nn0addcl 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷𝐺) ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
10220, 101sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
1045ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑅 ∈ Ring)
105 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑔𝐵)
10610, 11, 13deg1cl 24134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝐵 → (𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
10820ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
109 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
110109ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
111108, 110nn0addcld 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ)
113 degltlem1 24123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
114107, 112, 113syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
115114biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
116115impr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1))
11720adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
118117nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
119 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℂ)
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℂ)
121 peano2cn 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
123 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
124118, 122, 123addsubassd 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)))
125 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
126 pncan 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
127120, 125, 126sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
128127oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
129124, 128eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
131116, 130breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
13272ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
13317ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐺𝐵)
1345ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
135 ply1divex.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐼𝐾)
136135ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐼𝐾)
137 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (coe1𝑔) = (coe1𝑔)
138 ply1divex.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾 = (Base‘𝑅)
139137, 13, 11, 138coe1f 19854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔𝐵 → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
141 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℕ0)
142108, 141nn0addcld 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
143140, 142ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)
144 ply1divex.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = (.r𝑅)
145138, 144ringcl 18828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
146134, 136, 143, 145syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
147 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (var1𝑅) = (var1𝑅)
148 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
149 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
150 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
151138, 11, 147, 148, 149, 150, 13ply1tmcl 19915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
152134, 146, 141, 151syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
15313, 76ringcl 18828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
154132, 133, 152, 153syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
155154adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
156108nn0red 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
157156leidd 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
15810, 138, 11, 147, 148, 149, 150deg1tmle 24168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
159134, 146, 141, 158syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
16011, 10, 134, 13, 76, 133, 152, 108, 141, 157, 159deg1mulle2 24160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
161160adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
162 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
163 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑅) = (0g𝑅)
164163, 138, 11, 147, 148, 149, 150, 13, 76, 144, 133, 134, 146, 141, 108coe1tmmul2fv 19921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
165108nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166119ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℂ)
167165, 166addcomd 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = (𝑑 + (𝐷𝐺)))
168167fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))))
169 ply1divex.g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
170169oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
171170ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
172 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
173172, 13, 11, 138coe1f 19854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
17417, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
175174ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
176175, 108ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾)
177138, 144ringass 18831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
178134, 176, 136, 143, 177syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
179 ply1divex.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 = (1r𝑅)
180138, 144, 179ringlidm 18838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
181134, 143, 180syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
182171, 178, 1813eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
183164, 168, 1823eqtr4rd 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
184183adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
18510, 11, 13, 83, 103, 104, 105, 131, 155, 161, 137, 162, 184deg1sublt 24161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
186185adantlrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
187 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
188187breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
189 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))))
190189breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
191190rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
192188, 191imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
193 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
19482ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
195 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
19613, 83grpsubcl 17762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
197194, 195, 154, 196syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
198197adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
199198adantlrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
200192, 193, 199rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
201186, 200mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
20272ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
203 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
204152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
205 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑃) = (+g𝑃)
20613, 205ringacl 18845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
207202, 203, 204, 206syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
20882ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
209 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑔𝐵)
210154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
21117ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
21213, 76ringcl 18828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
213202, 211, 203, 212syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
21413, 205, 83grpsubsub4 17775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
215208, 209, 210, 213, 214syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
21613, 205, 76ringdi 18833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐵𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
217202, 211, 203, 204, 216syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
218217oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
219215, 218eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
220219fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
221220breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
222221biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
223 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐺 𝑟) = (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
224223oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝑔 (𝐺 𝑟)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
225224fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
226225breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
227226rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
228207, 222, 227syl6an 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
229228rexlimdva 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
230229adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
231230adantlrr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
232201, 231mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
233232expr 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
234233ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
235 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷𝑔) = (𝐷𝑓))
236235breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
237 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))))
238237breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
239238rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
240 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → (𝐺 𝑟) = (𝐺 𝑞))
241240oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (𝑓 (𝐺 𝑟)) = (𝑓 (𝐺 𝑞)))
242241fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))))
243242breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
244243cbvrexv 3320 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
245239, 244syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
246236, 245imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
247246cbvralv 3319 . . . . . . . . . 10 (∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
248234, 247sylib 209 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
249248exp32 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
250249com12 32 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
251250a2d 29 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
25260, 65, 70, 65, 100, 251nn0ind 11719 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
253252impcom 396 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
2547adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
25555, 253, 254rspcdva 3467 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
256255rexlimdva 3178 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
25749, 256mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cun 3730  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  -∞cmnf 10326   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  -gcsg 17691  .gcmg 17807  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  var1cv1 19819  Poly1cpl1 19820  coe1cco1 19821   deg1 cdg1 24105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-rlreg 19557  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-cnfld 20020  df-mdeg 24106  df-deg1 24107
This theorem is referenced by:  ply1divalg  24188
  Copyright terms: Public domain W3C validator