MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divex 24117
Description: Lemma for ply1divalg 24118: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divex.o 1 = (1r𝑅)
ply1divex.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1divex.u · = (.r𝑅)
ply1divex.i (𝜑𝐼𝐾)
ply1divex.g3 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ply1divex (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐹,𝑞   𝐼,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   𝐵,𝑞   ,𝑞   𝐷,𝑞   𝐺,𝑞   𝜑,𝑞   · ,𝑞
Allowed substitution hints:   1 (𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1divex
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑟 𝑎 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . . . 5 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
21breq1d 4797 . . . 4 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
32rexbidv 3200 . . 3 (𝐹 = 0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
4 nnssnn0 11498 . . . . 5 ℕ ⊆ ℕ0
5 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
7 ply1divalg.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
87adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹𝐵)
9 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹0 ) → 𝐹0 )
10 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 ply1divalg.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 ply1divalg.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑃)
1410, 11, 12, 13deg1nn0cl 24069 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
156, 8, 9, 14syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11555 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
17 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
18 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺0 )
1910, 11, 12, 13deg1nn0cl 24069 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
205, 17, 18, 19syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2120nn0red 11555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2221adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2316, 22resubcld 10661 . . . . . 6 ((𝜑𝐹0 ) → ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
24 arch 11492 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
26 ssrexv 3817 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑))
274, 25, 26mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑)
2816adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2921ad2antrr 699 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
30 nn0re 11504 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
3130adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℝ)
3228, 29, 31ltsubadd2d 10828 . . . . . 6 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3332biimpd 219 . . . . 5 (((𝜑𝐹0 ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3433reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝐹0 ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) − (𝐷𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
3527, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐹0 ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
36 0nn0 11510 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3710, 11, 12deg1z 24068 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
385, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷0 ) = -∞)
39 0re 10243 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
40 readdcl 10222 . . . . . . 7 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
4121, 39, 40sylancl 568 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ)
42 mnflt 12163 . . . . . 6 (((𝐷𝐺) + 0) ∈ ℝ → -∞ < ((𝐷𝐺) + 0))
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑 → -∞ < ((𝐷𝐺) + 0))
4438, 43eqbrtrd 4809 . . . 4 (𝜑 → (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0))
45 oveq2 6802 . . . . . 6 (𝑑 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = ((𝐷𝐺) + 0))
4645breq2d 4799 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)))
4746rspcev 3461 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
4836, 44, 47sylancr 569 . . 3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷0 ) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
493, 35, 48pm2.61ne 3028 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
50 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷𝑓) = (𝐷𝐹))
5150breq1d 4797 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
52 fvoveq1 6817 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))))
5352breq1d 4797 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5453rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
5551, 54imbi12d 333 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
56 oveq2 6802 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 0))
5756breq2d 4799 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)))
5857imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
5958ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6059imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
61 oveq2 6802 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
6261breq2d 4799 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
6362imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6463ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6564imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
66 oveq2 6802 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝐺) + 𝑎) = ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))
6766breq2d 4799 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
6867imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
6968ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
7069imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑎) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
7111ply1ring 19834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
725, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7313, 12ring0cl 18778 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 0𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑0𝐵)
7574ad2antrr 699 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → 0𝐵)
76 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (.r𝑃)
7713, 76, 12ringrz 18797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 0 ) = 0 )
7872, 17, 77syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 0 ) = 0 )
7978oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
8079adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 (𝐺 0 )) = (𝑓 0 ))
81 ringgrp 18761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
8272, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
83 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑃)
8413, 12, 83grpsubid1 17709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8582, 84sylan 563 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓 0 ) = 𝑓)
8680, 85eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓 = (𝑓 (𝐺 0 )))
8786fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
8820nn0cnd 11556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
8988addid1d 10439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
9089adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝐺) + 0) = (𝐷𝐺))
9187, 90breq12d 4800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9291biimpa 462 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺))
93 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 0 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 0 ))
9493oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 0 → (𝑓 (𝐺 𝑞)) = (𝑓 (𝐺 0 )))
9594fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 0 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))))
9695breq1d 4797 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 0 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)))
9796rspcev 3461 . . . . . . . . 9 (( 0𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 0 ))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9875, 92, 97syl2anc 567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
9998ex 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
10099ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 0) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
101 nn0addcl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷𝐺) ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
10220, 101sylan 563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
103102adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
1045ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑅 ∈ Ring)
105 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → 𝑔𝐵)
10610, 11, 13deg1cl 24064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝐵 → (𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
107106adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
10820ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
109 peano2nn0 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
110109ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ0)
111108, 110nn0addcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ)
113 degltlem1 24053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷𝑔) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
114107, 112, 113syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
115114biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1)))
116115impr 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1))
11720adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
118117nn0cnd 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
119 nn0cn 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℂ)
120119adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℂ)
121 peano2cn 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
123 1cnd 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
124118, 122, 123addsubassd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)))
125 ax-1cn 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
126 pncan 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
127120, 125, 126sylancl 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝑑 + 1) − 1) = 𝑑)
128127oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐺) + ((𝑑 + 1) − 1)) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
129124, 128eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
130129adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) − 1) = ((𝐷𝐺) + 𝑑))
131116, 130breqtrd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷𝑔) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
13272ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
13317ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐺𝐵)
1345ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
135 ply1divex.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐼𝐾)
136135ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝐼𝐾)
137 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (coe1𝑔) = (coe1𝑔)
138 ply1divex.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾 = (Base‘𝑅)
139137, 13, 11, 138coe1f 19797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔𝐵 → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
140139adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝑔):ℕ0𝐾)
141 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℕ0)
142108, 141nn0addcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) ∈ ℕ0)
143140, 142ffvelrnd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)
144 ply1divex.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = (.r𝑅)
145138, 144ringcl 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
146134, 136, 143, 145syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾)
147 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (var1𝑅) = (var1𝑅)
148 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
149 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
150 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
151138, 11, 147, 148, 149, 150, 13ply1tmcl 19858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
152134, 146, 141, 151syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
15313, 76ringcl 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
154132, 133, 152, 153syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
155154adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
156108nn0red 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
157156leidd 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
15810, 138, 11, 147, 148, 149, 150deg1tmle 24098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) ∈ 𝐾𝑑 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
159134, 146, 141, 158syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ≤ 𝑑)
16011, 10, 134, 13, 76, 133, 152, 108, 141, 157, 159deg1mulle2 24090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
161160adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ≤ ((𝐷𝐺) + 𝑑))
162 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = (coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
163 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑅) = (0g𝑅)
164163, 138, 11, 147, 148, 149, 150, 13, 76, 144, 133, 134, 146, 141, 108coe1tmmul2fv 19864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
165108nn0cnd 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166119ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑑 ∈ ℂ)
167165, 166addcomd 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝐺) + 𝑑) = (𝑑 + (𝐷𝐺)))
168167fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘(𝑑 + (𝐷𝐺))))
169 ply1divex.g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) = 1 )
170169oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
171170ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))))
172 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
173172, 13, 11, 138coe1f 19797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
17417, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
175174ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
176175, 108ffvelrnd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾)
177138, 144ringass 18773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐾𝐼𝐾 ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾)) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
178134, 176, 136, 143, 177syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · 𝐼) · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
179 ply1divex.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 = (1r𝑅)
180138, 144, 179ringlidm 18780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) ∈ 𝐾) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
181134, 143, 180syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ( 1 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑))) = ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
182171, 178, 1813eqtr3rd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) · (𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))))
183164, 168, 1823eqtr4rd 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
184183adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)) = ((coe1‘(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))
18510, 11, 13, 83, 103, 104, 105, 131, 155, 161, 137, 162, 184deg1sublt 24091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
186185adantlrr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑))
187 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷𝑓) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
188187breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑)))
189 fvoveq1 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))))
190189breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
191190rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
192188, 191imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) → (((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
193 simplrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
19482ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
195 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
19613, 83grpsubcl 17704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
197194, 195, 154, 196syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
198197adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
199198adantlrr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) ∈ 𝐵)
200192, 193, 199rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
201186, 200mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
20272ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
203 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
204152adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)
205 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑃) = (+g𝑃)
20613, 205ringacl 18787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
207202, 203, 204, 206syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
20882ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
209 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑔𝐵)
210154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
21117ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
21213, 76ringcl 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
213202, 211, 203, 212syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
21413, 205, 83grpsubsub4 17717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
215208, 209, 210, 213, 214syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
21613, 205, 76ringdi 18775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐵𝑞𝐵 ∧ ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐵)) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
217202, 211, 203, 204, 216syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
218217oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))) = (𝑔 ((𝐺 𝑞)(+g𝑃)(𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
219215, 218eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
220219fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
221220breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
222221biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
223 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐺 𝑟) = (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
224223oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝑔 (𝐺 𝑟)) = (𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
225224fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))))
226225breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)))
227226rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝑔 (𝐺 (𝑞(+g𝑃)((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) < (𝐷𝐺)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
228207, 222, 227syl6an 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
229228rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑔𝐵) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
230229adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
231230adantlrr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → (∃𝑞𝐵 (𝐷‘((𝑔 (𝐺 ((𝐼 · ((coe1𝑔)‘((𝐷𝐺) + 𝑑)))( ·𝑠𝑃)(𝑑(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
232201, 231mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ (𝑔𝐵 ∧ (𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)))) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))
233232expr 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) ∧ 𝑔𝐵) → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
234233ralrimiva 3115 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
235 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷𝑔) = (𝐷𝑓))
236235breq1d 4797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) ↔ (𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1))))
237 fvoveq1 6817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑓 → (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))))
238237breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → ((𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
239238rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
240 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → (𝐺 𝑟) = (𝐺 𝑞))
241240oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (𝑓 (𝐺 𝑟)) = (𝑓 (𝐺 𝑞)))
242241fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) = (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))))
243242breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞 → ((𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
244243cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
245239, 244syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
246236, 245imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑓 → (((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
247246cbvralv 3320 . . . . . . . . . 10 (∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑟𝐵 (𝐷‘(𝑔 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
248234, 247sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
249248exp32 407 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
250249com12 32 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
251250a2d 29 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))) → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + (𝑑 + 1)) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))))
25260, 65, 70, 65, 100, 251nn0ind 11675 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))))
253252impcom 394 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ∀𝑓𝐵 ((𝐷𝑓) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝑓 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
2547adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
25555, 253, 254rspcdva 3467 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
256255rexlimdva 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝐷𝐹) < ((𝐷𝐺) + 𝑑) → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
25749, 256mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cun 3722  wss 3724  {csn 4317   class class class wbr 4787  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142  -∞cmnf 10275   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  cn 11223  0cn0 11495  cz 11580  Basecbs 16065  +gcplusg 16150  .rcmulr 16151   ·𝑠 cvsca 16154  0gc0g 16309  Grpcgrp 17631  -gcsg 17633  .gcmg 17749  mulGrpcmgp 18698  1rcur 18710  Ringcrg 18756  var1cv1 19762  Poly1cpl1 19763  coe1cco1 19764   deg1 cdg1 24035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-ofr 7046  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-hash 13323  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-mhm 17544  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-mulg 17750  df-subg 17800  df-ghm 17867  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-subrg 18989  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-rlreg 19499  df-psr 19572  df-mvr 19573  df-mpl 19574  df-opsr 19576  df-psr1 19766  df-vr1 19767  df-ply1 19768  df-coe1 19769  df-cnfld 19963  df-mdeg 24036  df-deg1 24037
This theorem is referenced by:  ply1divalg  24118
  Copyright terms: Public domain W3C validator