MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrz 19258
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19222 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 18061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2826 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 18063 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 585 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
87adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98oveq2d 7164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
111, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 12, 123jca 1122 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
14 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
152, 5, 14ringdi 19236 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1613, 15syldan 591 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
171adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
182, 14ringcl 19231 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
1912, 18mpd3an3 1455 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
202, 5, 3grplid 18063 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2120eqcomd 2832 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2217, 19, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
239, 16, 223eqtr3d 2869 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
242, 5grprcan 18067 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2517, 19, 12, 19, 24syl13anc 1366 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2623, 25mpbid 233 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  .rcmulr 16556  0gc0g 16703  Grpcgrp 18033  Ringcrg 19217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-mgp 19160  df-ring 19219
This theorem is referenced by:  ringsrg  19259  ringinvnz1ne0  19262  ringinvnzdiv  19263  rngnegr  19265  gsummgp0  19278  gsumdixp  19279  dvdsr02  19326  isdrng2  19432  drngmul0or  19443  cntzsubr  19488  cntzsdrg  19501  isabvd  19511  lmodvs0  19588  rrgeq0  19982  unitrrg  19985  domneq0  19989  psrridm  20103  mpllsslem  20134  mplsubrglem  20138  mplcoe1  20164  mplmon2  20191  evlslem4  20206  mhpvscacl  20258  coe1tmmul2  20361  cply1mul  20379  ocvlss  20732  frlmphl  20841  uvcresum  20853  mamurid  20967  matsc  20975  dmatmul  21022  dmatscmcl  21028  scmatscmide  21032  mulmarep1el  21097  mdetdiaglem  21123  mdetero  21135  mdetunilem8  21144  mdetunilem9  21145  mdetuni0  21146  maducoeval2  21165  madugsum  21168  smadiadetlem1a  21188  smadiadetglem2  21197  chpdmatlem2  21363  chfacfpmmul0  21386  cayhamlem4  21412  mdegvscale  24584  mdegmullem  24587  coe1mul3  24608  deg1mul3le  24625  ply1divex  24645  ply1rem  24672  fta1blem  24677  kerunit  30810  matunitlindflem1  34755  lfl0f  36072  lfl0sc  36085  lkrlss  36098  lcfrlem33  38578  hdmapinvlem3  38923  hdmapglem7b  38931  mgpsumz  44242  domnmsuppn0  44249  rmsuppss  44250  ply1mulgsumlem2  44273  lincresunit2  44365
  Copyright terms: Public domain W3C validator