MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrz 20108
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ringz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringz.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 20061 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2 ringz.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
42, 3grpidcl 18850 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
62, 5, 3grplid 18852 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 586 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
87adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
98oveq2d 7425 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 )) = (๐‘‹ ยท 0 ))
10 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
111, 4syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1211adantr 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1310, 12, 123jca 1129 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต))
14 ringz.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
152, 5, 14ringdi 20081 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 )) = ((๐‘‹ ยท 0 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )))
1613, 15syldan 592 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 )) = ((๐‘‹ ยท 0 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )))
171adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
182, 14ringcl 20073 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต)
1912, 18mpd3an3 1463 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต)
202, 5, 3grplid 18852 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) = (๐‘‹ ยท 0 ))
2120eqcomd 2739 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )))
2217, 19, 21syl2anc 585 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )))
239, 16, 223eqtr3d 2781 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 0 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )))
242, 5grprcan 18858 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ((๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท 0 ) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘‹ ยท 0 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) โ†” (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 ))
2517, 19, 12, 19, 24syl13anc 1373 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘‹ ยท 0 )(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท 0 )) โ†” (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 ))
2623, 25mpbid 231 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  Ringcrg 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ring 20058
This theorem is referenced by:  ringsrg  20109  ringinvnz1ne0  20112  ringinvnzdiv  20113  ringnegr  20115  gsummgp0  20130  gsumdixp  20131  dvdsr02  20186  cntzsubr  20353  isdrng2  20371  drngmul0or  20386  cntzsdrg  20418  isabvd  20428  lmodvs0  20506  rrgeq0  20906  unitrrg  20909  domneq0  20913  isdomn4  20918  ocvlss  21225  frlmphl  21336  uvcresum  21348  psrridm  21524  mpllsslem  21559  mplsubrglem  21563  mplcoe1  21592  mplmon2  21622  evlslem4  21637  mhpmulcl  21692  mhpvscacl  21697  coe1tmmul2  21798  cply1mul  21818  mamurid  21944  matsc  21952  dmatmul  21999  dmatscmcl  22005  scmatscmide  22009  mulmarep1el  22074  mdetdiaglem  22100  mdetero  22112  mdetunilem8  22121  mdetunilem9  22122  mdetuni0  22123  maducoeval2  22142  madugsum  22145  smadiadetlem1a  22165  smadiadetglem2  22174  chpdmatlem2  22341  chfacfpmmul0  22364  cayhamlem4  22390  mdegvscale  25593  mdegmullem  25596  coe1mul3  25617  deg1mul3le  25634  ply1divex  25654  ply1rem  25681  fta1blem  25686  kerunit  32437  dvdsruasso  32490  mxidlirredi  32587  irngnzply1lem  32754  matunitlindflem1  36484  lfl0f  37939  lfl0sc  37952  lkrlss  37965  lcfrlem33  40446  hdmapinvlem3  40791  hdmapglem7b  40799  ringrzd  41086  mnringmulrcld  42987  rngqiprngimf1  46785  mgpsumz  47038  domnmsuppn0  47045  rmsuppss  47046  ply1mulgsumlem2  47068  lincresunit2  47159
  Copyright terms: Public domain W3C validator