Nearby theorems
|
|
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringrz | Structured version Visualization version GIF version | ||
| Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| ringz.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
| ringz.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
| ringz.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| ringrz | โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | ringgrp 20061 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
| 2 | ringz.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
| 3 | ringz.z | . . . . . . 7 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
| 4 | 2, 3 | grpidcl 18850 | . . . . . 6 โข (๐ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
| 5 | eqid 2733 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
| 6 | 2, 5, 3 | grplid 18852 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 7 | 1, 4, 6 | syl2anc2 586 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 8 | 7 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 9 | 8 | oveq2d 7425 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 10 | simpr 486 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
| 11 | 1, 4 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ 0 โ ๐ต) |
| 12 | 11 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐ต) |
| 13 | 10, 12, 12 | 3jca 1129 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) |
| 14 | ringz.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
| 15 | 2, 5, 14 | ringdi 20081 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 16 | 13, 15 | syldan 592 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 17 | 1 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
| 18 | 2, 14 | ringcl 20073 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 19 | 12, 18 | mpd3an3 1463 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 20 | 2, 5, 3 | grplid 18852 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 21 | 20 | eqcomd 2739 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 22 | 17, 19, 21 | syl2anc 585 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 23 | 9, 16, 22 | 3eqtr3d 2781 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 24 | 2, 5 | grprcan 18858 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ((๐ ยท 0 ) โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต)) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 25 | 17, 19, 12, 19, 24 | syl13anc 1373 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 26 | 23, 25 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6544 (class class class)co 7409 Basecbs 17144 +gcplusg 17197 .rcmulr 17198 0gc0g 17385 Grpcgrp 18819 Ringcrg 20056 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-nn 12213 df-2 12275 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-plusg 17210 df-0g 17387 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-grp 18822 df-mgp 19988 df-ring 20058 |
| This theorem is referenced by: ringsrg 20109 ringinvnz1ne0 20112 ringinvnzdiv 20113 ringnegr 20115 gsummgp0 20130 gsumdixp 20131 dvdsr02 20186 cntzsubr 20353 isdrng2 20371 drngmul0or 20386 cntzsdrg 20418 isabvd 20428 lmodvs0 20506 rrgeq0 20906 unitrrg 20909 domneq0 20913 isdomn4 20918 ocvlss 21225 frlmphl 21336 uvcresum 21348 psrridm 21524 mpllsslem 21559 mplsubrglem 21563 mplcoe1 21592 mplmon2 21622 evlslem4 21637 mhpmulcl 21692 mhpvscacl 21697 coe1tmmul2 21798 cply1mul 21818 mamurid 21944 matsc 21952 dmatmul 21999 dmatscmcl 22005 scmatscmide 22009 mulmarep1el 22074 mdetdiaglem 22100 mdetero 22112 mdetunilem8 22121 mdetunilem9 22122 mdetuni0 22123 maducoeval2 22142 madugsum 22145 smadiadetlem1a 22165 smadiadetglem2 22174 chpdmatlem2 22341 chfacfpmmul0 22364 cayhamlem4 22390 mdegvscale 25593 mdegmullem 25596 coe1mul3 25617 deg1mul3le 25634 ply1divex 25654 ply1rem 25681 fta1blem 25686 kerunit 32468 dvdsruasso 32521 mxidlirredi 32618 irngnzply1lem 32785 matunitlindflem1 36532 lfl0f 37987 lfl0sc 38000 lkrlss 38013 lcfrlem33 40494 hdmapinvlem3 40839 hdmapglem7b 40847 ringrzd 41134 mnringmulrcld 43035 rngqiprngimf1 46833 mgpsumz 47086 domnmsuppn0 47093 rmsuppss 47094 ply1mulgsumlem2 47116 lincresunit2 47207 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |