MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrz 18904
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 18868 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 17766 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2799 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 17768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
74, 6mpdan 679 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98adantr 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
109oveq2d 6894 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
11 simpr 478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
121, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1312adantr 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1411, 13, 133jca 1159 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
15 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 5, 15ringdi 18882 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1714, 16syldan 586 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
181adantr 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
192, 15ringcl 18877 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
2013, 19mpd3an3 1587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
212, 5, 3grplid 17768 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2221eqcomd 2805 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2318, 20, 22syl2anc 580 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2410, 17, 233eqtr3d 2841 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
252, 5grprcan 17771 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1492 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2724, 26mpbid 224 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  0gc0g 16415  Grpcgrp 17738  Ringcrg 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-mgp 18806  df-ring 18865
This theorem is referenced by:  ringsrg  18905  ringinvnz1ne0  18908  ringinvnzdiv  18909  rngnegr  18911  gsummgp0  18924  gsumdixp  18925  dvdsr02  18972  isdrng2  19075  drngmul0or  19086  cntzsubr  19130  isabvd  19138  lmodvs0  19215  rrgeq0  19613  unitrrg  19616  domneq0  19620  psrridm  19727  mpllsslem  19758  mplsubrglem  19762  mplcoe1  19788  mplmon2  19815  evlslem4  19830  coe1tmmul2  19968  cply1mul  19986  ocvlss  20341  frlmphl  20445  uvcresum  20457  mamurid  20573  matsc  20582  dmatmul  20629  dmatscmcl  20635  scmatscmide  20639  mulmarep1el  20704  mdetdiaglem  20730  mdetero  20742  mdetunilem8  20751  mdetunilem9  20752  mdetuni0  20753  maducoeval2  20772  madugsum  20775  smadiadetlem1a  20796  smadiadetglem2  20805  chpdmatlem2  20972  chfacfpmmul0  20995  cayhamlem4  21021  mdegvscale  24176  mdegmullem  24179  coe1mul3  24200  deg1mul3le  24217  ply1divex  24237  ply1rem  24264  fta1blem  24269  kerunit  30339  matunitlindflem1  33894  lfl0f  35090  lfl0sc  35103  lkrlss  35116  lcfrlem33  37596  hdmapinvlem3  37941  hdmapglem7b  37949  cntzsdrg  38557  mgpsumz  42940  domnmsuppn0  42949  rmsuppss  42950  ply1mulgsumlem2  42974  lincresunit2  43066
  Copyright terms: Public domain W3C validator