Theorem ringrz 20505

Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringrz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		ringz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringz.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		ringz.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	2, 3, 4	rngrz 20368	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Rngcrng 20354  Ringcrg 20439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441

This theorem is used by:  ringrzd  20507  ringsrg  20508  ringinvnz1ne0  20511  ringinvnzdiv  20512  ringnegr  20514  gsummgp0  20527  gsumdixp  20528  dvdsr02  20582  cntzsubr  20838  rrgeq0  20932  unitrrg  20935  domneq0  20940  isdomn4  20947  cntzsdrg  21039  isabvd  21049  lmodvs0  21151  rngqiprngimf1  21576  ocvlss  21958  frlmphl  22067  uvcresum  22079  psrridm  22250  mpllsslem  22287  mplsubrglem  22291  mplcoe1  22326  mplmon2  22350  evlslem4  22365  coe1tmmul2  22575  cply1mul  22594  mamurid  22737  matsc  22745  dmatmul  22792  dmatscmcl  22798  scmatscmide  22802  mulmarep1el  22867  mdetdiaglem  22893  mdetero  22905  mdetunilem8  22914  mdetunilem9  22915  mdetuni0  22916  maducoeval2  22935  madugsum  22938  smadiadetlem1a  22958  smadiadetglem2  22967  matunitlindflem1  22974  chpdmatlem2  23137  chfacfpmmul0  23160  cayhamlem4  23186  mdegvscale  26373  mdegmullem  26376  coe1mul3  26397  deg1mul3le  26415  ply1divex  26435  ply1rem  26464  fta1blem  26469  kerunit  33868  dvdsruasso  33922  irngnzply1lem  34304  lfl0f  40094  lfl0sc  40107  lkrlss  40120  lcfrlem33  42600  hdmapinvlem3  42945  hdmapglem7b  42953  ringexp0nn  43152  mnringmulrcld  45185  mgpsumz  49418  domnmsuppn0  49425  rmsuppss  49426  ply1mulgsumlem2  49443  lincresunit2  49534