Nearby theorems
|
|
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringrz | Structured version Visualization version GIF version | ||
| Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| ringz.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
| ringz.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
| ringz.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| ringrz | โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | ringgrp 20060 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
| 2 | ringz.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
| 3 | ringz.z | . . . . . . 7 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
| 4 | 2, 3 | grpidcl 18849 | . . . . . 6 โข (๐ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
| 5 | eqid 2732 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
| 6 | 2, 5, 3 | grplid 18851 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 7 | 1, 4, 6 | syl2anc2 585 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 8 | 7 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 9 | 8 | oveq2d 7424 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 10 | simpr 485 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
| 11 | 1, 4 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ 0 โ ๐ต) |
| 12 | 11 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐ต) |
| 13 | 10, 12, 12 | 3jca 1128 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) |
| 14 | ringz.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
| 15 | 2, 5, 14 | ringdi 20080 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 16 | 13, 15 | syldan 591 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 17 | 1 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
| 18 | 2, 14 | ringcl 20072 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 19 | 12, 18 | mpd3an3 1462 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 20 | 2, 5, 3 | grplid 18851 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 21 | 20 | eqcomd 2738 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 22 | 17, 19, 21 | syl2anc 584 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 23 | 9, 16, 22 | 3eqtr3d 2780 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 24 | 2, 5 | grprcan 18857 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ((๐ ยท 0 ) โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต)) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 25 | 17, 19, 12, 19, 24 | syl13anc 1372 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 26 | 23, 25 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Basecbs 17143 +gcplusg 17196 .rcmulr 17197 0gc0g 17384 Grpcgrp 18818 Ringcrg 20055 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-plusg 17209 df-0g 17386 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-grp 18821 df-mgp 19987 df-ring 20057 |
| This theorem is referenced by: ringsrg 20108 ringinvnz1ne0 20111 ringinvnzdiv 20112 ringnegr 20114 gsummgp0 20129 gsumdixp 20130 dvdsr02 20185 cntzsubr 20352 isdrng2 20370 drngmul0or 20385 cntzsdrg 20417 isabvd 20427 lmodvs0 20505 rrgeq0 20905 unitrrg 20908 domneq0 20912 isdomn4 20917 ocvlss 21224 frlmphl 21335 uvcresum 21347 psrridm 21523 mpllsslem 21558 mplsubrglem 21562 mplcoe1 21591 mplmon2 21621 evlslem4 21636 mhpmulcl 21691 mhpvscacl 21696 coe1tmmul2 21797 cply1mul 21817 mamurid 21943 matsc 21951 dmatmul 21998 dmatscmcl 22004 scmatscmide 22008 mulmarep1el 22073 mdetdiaglem 22099 mdetero 22111 mdetunilem8 22120 mdetunilem9 22121 mdetuni0 22122 maducoeval2 22141 madugsum 22144 smadiadetlem1a 22164 smadiadetglem2 22173 chpdmatlem2 22340 chfacfpmmul0 22363 cayhamlem4 22389 mdegvscale 25592 mdegmullem 25595 coe1mul3 25616 deg1mul3le 25633 ply1divex 25653 ply1rem 25680 fta1blem 25685 kerunit 32432 dvdsruasso 32485 mxidlirredi 32582 irngnzply1lem 32749 matunitlindflem1 36479 lfl0f 37934 lfl0sc 37947 lkrlss 37960 lcfrlem33 40441 hdmapinvlem3 40786 hdmapglem7b 40794 ringrzd 41088 mnringmulrcld 42977 rngqiprngimf1 46775 mgpsumz 47028 domnmsuppn0 47035 rmsuppss 47036 ply1mulgsumlem2 47058 lincresunit2 47149 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |