Theorem ringrz 18942

Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringrz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18906	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngz.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 17804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 17806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	4, 6	mpdan 680	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	oveq2d 6921	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
11		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
14	11, 13, 13	3jca 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
15		rngz.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	2, 5, 15	ringdi 18920	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
17	14, 16	syldan 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
18	1	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
19	2, 15	ringcl 18915	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
20	13, 19	mpd3an3 1592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
21	2, 5, 3	grplid 17806	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
22	21	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
23	18, 20, 22	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
24	10, 17, 23	3eqtr3d 2869	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
25	2, 5	grprcan 17809	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
26	18, 20, 13, 20, 25	syl13anc 1497	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
27	24, 26	mpbid 224	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  ._rcmulr 16306  0_gc0g 16453  Grpcgrp 17776  Ringcrg 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-mgp 18844  df-ring 18903

This theorem is referenced by:  ringsrg  18943  ringinvnz1ne0  18946  ringinvnzdiv  18947  rngnegr  18949  gsummgp0  18962  gsumdixp  18963  dvdsr02  19010  isdrng2  19113  drngmul0or  19124  cntzsubr  19168  isabvd  19176  lmodvs0  19253  rrgeq0  19651  unitrrg  19654  domneq0  19658  psrridm  19765  mpllsslem  19796  mplsubrglem  19800  mplcoe1  19826  mplmon2  19853  evlslem4  19868  coe1tmmul2  20006  cply1mul  20024  ocvlss  20379  frlmphl  20487  uvcresum  20499  mamurid  20615  matsc  20624  dmatmul  20671  dmatscmcl  20677  scmatscmide  20681  mulmarep1el  20746  mdetdiaglem  20772  mdetero  20784  mdetunilem8  20793  mdetunilem9  20794  mdetuni0  20795  maducoeval2  20814  madugsum  20817  smadiadetlem1a  20838  smadiadetglem2  20847  chpdmatlem2  21014  chfacfpmmul0  21037  cayhamlem4  21063  mdegvscale  24234  mdegmullem  24237  coe1mul3  24258  deg1mul3le  24275  ply1divex  24295  ply1rem  24322  fta1blem  24327  kerunit  30368  matunitlindflem1  33949  lfl0f  35144  lfl0sc  35157  lkrlss  35170  lcfrlem33  37650  hdmapinvlem3  37995  hdmapglem7b  38003  cntzsdrg  38615  mgpsumz  42988  domnmsuppn0  42997  rmsuppss  42998  ply1mulgsumlem2  43022  lincresunit2  43114