Theorem sdrgrcl 21052

Description: Reverse closure for a sub-division-ring predicate. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sdrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 21051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_s cress 17414  SubRingcsubrg 20827  DivRingcdr 20986  SubDRingcsdrg 21049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-sdrg 21050

This theorem is used by:  imadrhmcl  21060  subsdrg  33907