Theorem sdrgrcl 21079

Description: Reverse closure for a sub-division-ring predicate. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sdrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 21078	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↾_s cress 17440  SubRingcsubrg 20854  DivRingcdr 21013  SubDRingcsdrg 21076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-sdrg 21077

This theorem is used by:  imadrhmcl  21087  subsdrg  33944