MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imadrhmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imadrhmcl 20687
Description: The image of a (nontrivial) division ring homomorphism is a division ring. (Contributed by SN, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imadrhmcl.r 𝑅 = (𝑁 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝑆))
imadrhmcl.0 0 = (0gβ€˜π‘)
imadrhmcl.h (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
imadrhmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€))
imadrhmcl.1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 β‰  { 0 })
Assertion
Ref Expression
imadrhmcl (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem imadrhmcl
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imadrhmcl.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
2 imadrhmcl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€))
3 sdrgsubrg 20681 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€))
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€))
5 rhmima 20545 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘))
61, 4, 5syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘))
7 imadrhmcl.r . . . 4 𝑅 = (𝑁 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝑆))
87subrgring 20515 . . 3 ((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2725 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
1210, 11unitss 20317 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
14 imadrhmcl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 β‰  { 0 })
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
1715, 16rhmf 20426 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
1918adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
20 rhmrcl2 20418 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Ring)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Ring)
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
247, 23subrg1 20523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘) β†’ (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘…))
256, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘…))
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘…))
27 imadrhmcl.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜π‘)
287, 27subrg0 20520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
296, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
3122, 26, 303eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 = (1rβ€˜π‘))
3216, 27, 2301eq0ring 20469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Ring ∧ 0 = (1rβ€˜π‘)) β†’ (Baseβ€˜π‘) = { 0 })
3321, 31, 32syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘) = { 0 })
3433feq3d 6703 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘) ↔ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢{ 0 }))
3519, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢{ 0 })
3627fvexi 6905 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3736fconst2 7212 . . . . . . . 8 (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢{ 0 } ↔ 𝐹 = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— { 0 }))
3835, 37sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— { 0 }))
3918ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€))
40 sdrgrcl 20679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ DivRing)
412, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ DivRing)
4241drngringd 20634 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Ring)
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
4415, 43ring0cl 20205 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4645ne0d 4331 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘€) β‰  βˆ…)
47 fconst5 7213 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ (Baseβ€˜π‘€) β‰  βˆ…) β†’ (𝐹 = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— { 0 }) ↔ ran 𝐹 = { 0 }))
4839, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— { 0 }) ↔ ran 𝐹 = { 0 }))
4948adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹 = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— { 0 }) ↔ ran 𝐹 = { 0 }))
5038, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ran 𝐹 = { 0 })
5114, 50mteqand 3023 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
52 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
53 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
5411, 52, 530unit 20337 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
559, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
5655necon3bbid 2968 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5751, 56mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
58 ssdifsn 4787 . . . 4 ((Unitβ€˜π‘…) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5913, 57, 58sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
6039fnfund 6649 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
617ressbasss2 17218 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑆)
62 eldifi 4119 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6361, 62sselid 3970 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))
64 fvelima 6958 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
6560, 63, 64syl2an 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
66 simprr 771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
67 simprl 769 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
6867fvresd 6911 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘Ž))
69 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 β†Ύs 𝑆) = (𝑀 β†Ύs 𝑆)
7069resrhm 20542 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑁))
711, 4, 70syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑁))
72 df-ima 5685 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ 𝑆) = ran (𝐹 β†Ύ 𝑆)
73 eqimss2 4032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ 𝑆) = ran (𝐹 β†Ύ 𝑆) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑆))
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑆))
757resrhm2b 20543 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑁) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅)))
766, 74, 75syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑁) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅)))
7771, 76mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅))
7877ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅))
79 eldifsni 4789 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
8079ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
8168adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘Ž))
82 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€))
8382fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) = ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜π‘€)))
8469, 43subrg0 20520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€) β†’ (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)))
854, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)))
8685fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜π‘€)) = ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))))
87 rhmghm 20425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) GrpHom 𝑅))
88 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))
8988, 52ghmid 19178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) GrpHom 𝑅) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))) = (0gβ€˜π‘…))
9077, 87, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))) = (0gβ€˜π‘…))
9186, 90eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘…))
9291ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘…))
9383, 92eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
94 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
9581, 93, 943eqtr3rd 2774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ π‘Ž = (0gβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ = (0gβ€˜π‘…))
9680, 95mteqand 3023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ π‘Ž β‰  (0gβ€˜π‘€))
972ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€))
98 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)) = (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))
9969, 43, 98sdrgunit 20686 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ π‘Ž β‰  (0gβ€˜π‘€))))
10097, 99syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ (π‘Ž ∈ (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ π‘Ž β‰  (0gβ€˜π‘€))))
10167, 96, 100mpbir2and 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆)))
102 elrhmunit 20451 . . . . . . 7 (((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑀 β†Ύs 𝑆) RingHom 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (Unitβ€˜(𝑀 β†Ύs 𝑆))) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10378, 101, 102syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10468, 103eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10566, 104eqeltrrd 2826 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10665, 105rexlimddv 3151 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10759, 106eqelssd 3994 . 2 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
10810, 11, 52isdrng 20630 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1099, 107, 108sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  {csn 4624   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418   GrpHom cghm 19169  1rcur 20123  Ringcrg 20175  Unitcui 20296   RingHom crh 20410  SubRingcsubrg 20508  DivRingcdr 20626  SubDRingcsdrg 20676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-sdrg 20677
This theorem is referenced by:  rndrhmcl  33031  ricdrng1  41819
  Copyright terms: Public domain W3C validator