Theorem subsdrg 33529

Description: A subring of a sub-division-ring is a sub-division-ring. See also subsubrg 20671. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsdrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subsdrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2	1	sdrgss 20862	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3	2	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4		subsdrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	sdrgss 20862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
7		subsdrg.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7, 5	ressbas2 17286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	4, 6, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
11	3, 10	sseqtrrd 3976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
12	11	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	pm4.71d 570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
14	7	sdrgdrng 20859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
15	4, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
16		sdrgrcl 20858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
18	15, 17	2thd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
20		sdrgsubrg 20860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
21	7	subsubrg 20671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
22	4, 20, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
23	22	rbaibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
24	7	oveq1i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
25		ressabs 17296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
26	4, 25	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
27	24, 26	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
28	27	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing ↔ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
29	19, 23, 28	3anbi123d 1460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing)))
30		issdrg 20857	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
31		issdrg 20857	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅)))
33	32	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅))))
34	33	pm5.32rd 588	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
35	13, 34	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  SubRingcsubrg 20642  DivRingcdr 20801  SubDRingcsdrg 20855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-subg 19177  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-subrg 20643  df-sdrg 20856

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  34052