Theorem subsdrg 33271

Description: A subring of a sub-division-ring is a sub-division-ring. See also subsubrg 20515. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsdrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subsdrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2	1	sdrgss 20710	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4		subsdrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	sdrgss 20710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
7		subsdrg.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7, 5	ressbas2 17151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	4, 6, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
11	3, 10	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	pm4.71d 561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
14	7	sdrgdrng 20707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
16		sdrgrcl 20706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
18	15, 17	2thd 265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
20		sdrgsubrg 20708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
21	7	subsubrg 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
22	4, 20, 21	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
23	22	rbaibd 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
24	7	oveq1i 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
25		ressabs 17161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
26	4, 25	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
27	24, 26	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
28	27	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing ↔ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
29	19, 23, 28	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing)))
30		issdrg 20705	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
31		issdrg 20705	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
32	29, 30, 31	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅)))
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅))))
34	33	pm5.32rd 578	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
35	13, 34	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  SubRingcsubrg 20486  DivRingcdr 20646  SubDRingcsdrg 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-subg 19038  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20487  df-sdrg 20704

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33784