Theorem subsdrg 33650

Description: A subring of a sub-division-ring is a sub-division-ring. See also subsubrg 20734. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsdrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subsdrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2	1	sdrgss 20933	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4		subsdrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
5		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	sdrgss 20933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
7		subsdrg.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7, 5	ressbas2 17323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	4, 6, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
11	3, 10	sseqtrrd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	pm4.71d 571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
14	7	sdrgdrng 20930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
15	4, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
16		sdrgrcl 20929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
18	15, 17	2thd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
20		sdrgsubrg 20931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
21	7	subsubrg 20734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
22	4, 20, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
23	22	rbaibd 550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
24	7	oveq1i 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
25		ressabs 17333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
26	4, 25	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
27	24, 26	eqtrid 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
28	27	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing ↔ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
29	19, 23, 28	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing)))
30		issdrg 20928	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
31		issdrg 20928	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅)))
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅))))
34	33	pm5.32rd 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
35	13, 34	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  SubDRingcsdrg 20926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-subg 19220  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrg 20706  df-sdrg 20927

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34171