Theorem subsdrg 33842

Description: A subring of a sub-division-ring is a sub-division-ring. See also subsubrg 20830. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsdrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subsdrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2	1	sdrgss 21030	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4		subsdrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	sdrgss 21030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
7		subsdrg.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7, 5	ressbas2 17396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	4, 6, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
11	3, 10	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	pm4.71d 571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
14	7	sdrgdrng 21027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
15	4, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
16		sdrgrcl 21026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
18	15, 17	2thd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
20		sdrgsubrg 21028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
21	7	subsubrg 20830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
22	4, 20, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
23	22	rbaibd 550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
24	7	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
25		ressabs 17406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
26	4, 25	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
27	24, 26	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
28	27	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing ↔ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
29	19, 23, 28	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing)))
30		issdrg 21025	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
31		issdrg 21025	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅)))
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅))))
34	33	pm5.32rd 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
35	13, 34	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  SubRingcsubrg 20801  DivRingcdr 20960  SubDRingcsdrg 21023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-subg 19313  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-subrg 20802  df-sdrg 21024

This theorem is used by:  constrext2chnlem  34364