Theorem subsdrg 33600

Description: A subring of a sub-division-ring is a sub-division-ring. See also subsubrg 20684. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsdrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subsdrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
subsdrg	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2	1	sdrgss 20877	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3	2	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4		subsdrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	sdrgss 20877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
7		subsdrg.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7, 5	ressbas2 17299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	4, 6, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
11	3, 10	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
12	11	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	pm4.71d 570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
14	7	sdrgdrng 20874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
15	4, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
16		sdrgrcl 20873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
18	15, 17	2thd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
20		sdrgsubrg 20875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
21	7	subsubrg 20684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
22	4, 20, 21	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
23	22	rbaibd 549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
24	7	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
25		ressabs 17309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
26	4, 25	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
27	24, 26	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
28	27	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing ↔ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
29	19, 23, 28	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing)))
30		issdrg 20872	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
31		issdrg 20872	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ DivRing))
32	29, 30, 31	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅)))
33	32	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅))))
34	33	pm5.32rd 588	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
35	13, 34	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  SubRingcsubrg 20655  DivRingcdr 20814  SubDRingcsdrg 20870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-subg 19190  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrg 20656  df-sdrg 20871

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  34121