Theorem sdrgdrng 20930

Description: A sub-division-ring is a division ring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgdrng.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sdrgdrng	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem sdrgdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdrng.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		issdrg 20928	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	2	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
4	1, 3	eqeltrid 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_s cress 17315  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  SubDRingcsdrg 20926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-sdrg 20927

This theorem is used by:  sdrgunit  20936  subsdrg  33650  fldextrspunlsplem  34094  fldextrspunlem1  34096  fldextrspunfld  34097  fldextrspundgdvdslem  34101  fldextrspundgdvds  34102  extdgfialglem1  34113  minplymindeg  34129  minplyann  34130  minplyirredlem  34131  minplyirred  34132  irngnminplynz  34133  minplym1p  34134  minplynzm1p  34135  irredminply  34137  algextdeglem4  34141  algextdeglem8  34145