Theorem sn0cld 23256

Description: The closed sets of the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		discld 23255	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅
4		pw0 4778	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
5	4	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = (Clsd‘{∅})
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2794	1 ⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ‘cfv 6536  Clsdccld 23182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-top 23060  df-cld 23185

This theorem is used by: (None)