Theorem ssltsepcd 27735

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of ssltsepc 27734. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltsepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ssltsepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ssltsepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssltsepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem ssltsepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltsepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ssltsepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ssltsepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ssltsepc 27734	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089   <s cslt 27579   <<s csslt 27720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-sslt 27721

This theorem is referenced by:  sslttr  27748  eqscut3  27765  cofsslt  27862  coinitsslt  27863  cofcutrtime  27871  addsproplem2  27913  addsproplem4  27915  addsproplem5  27916  addsproplem6  27917  addsuniflem  27944  negsproplem2  27971  negsproplem4  27973  negsproplem5  27974  negsproplem6  27975  negsunif  27997  mulsproplem5  28059  mulsproplem6  28060  mulsproplem7  28061  mulsproplem8  28062  mulsproplem12  28066  ssltmul1  28086  ssltmul2  28087  mulsuniflem  28088  precsexlem11  28155  twocut  28346  pw2cut2  28382