Theorem ssltsepcd 27762

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of ssltsepc 27761. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltsepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ssltsepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ssltsepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssltsepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem ssltsepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltsepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ssltsepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ssltsepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ssltsepc 27761	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096   <s cslt 27606   <<s csslt 27747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-sslt 27748

This theorem is referenced by:  sslttr  27775  eqscut3  27792  cofsslt  27889  coinitsslt  27890  cofcutrtime  27898  addsproplem2  27940  addsproplem4  27942  addsproplem5  27943  addsproplem6  27944  addsuniflem  27971  negsproplem2  27998  negsproplem4  28000  negsproplem5  28001  negsproplem6  28002  negsunif  28024  mulsproplem5  28089  mulsproplem6  28090  mulsproplem7  28091  mulsproplem8  28092  mulsproplem12  28096  ssltmul1  28116  ssltmul2  28117  mulsuniflem  28118  precsexlem11  28185  twocut  28381  pw2cut2  28419