Theorem ssltsepcd 27743

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of ssltsepc 27742. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltsepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ssltsepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ssltsepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssltsepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem ssltsepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltsepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ssltsepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ssltsepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ssltsepc 27742	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   <s cslt 27590   <<s csslt 27729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5421

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5676  df-sslt 27730

This theorem is referenced by:  sslttr  27756  cofsslt  27854  coinitsslt  27855  cofcutrtime  27863  addsproplem2  27903  addsproplem4  27905  addsproplem5  27906  addsproplem6  27907  addsuniflem  27934  negsproplem2  27957  negsproplem4  27959  negsproplem5  27960  negsproplem6  27961  negsunif  27983  mulsproplem5  28036  mulsproplem6  28037  mulsproplem7  28038  mulsproplem8  28039  mulsproplem12  28043  ssltmul1  28063  ssltmul2  28064  mulsuniflem  28065  precsexlem11  28131