Theorem ssltsepcd 27292

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of ssltsepc 27291. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltsepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
ssltsepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
ssltsepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssltsepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem ssltsepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltsepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		ssltsepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ssltsepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ssltsepc 27291	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   <s cslt 27141   <<s csslt 27279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-sslt 27280

This theorem is referenced by:  sslttr  27305  cofsslt  27402  coinitsslt  27403  cofcutrtime  27411  addsproplem2  27451  addsproplem4  27453  addsproplem5  27454  addsproplem6  27455  addsuniflem  27481  negsproplem2  27500  negsproplem4  27502  negsproplem5  27503  negsproplem6  27504  negsunif  27526  mulsproplem5  27573  mulsproplem6  27574  mulsproplem7  27575  mulsproplem8  27576  mulsproplem12  27580  ssltmul1  27599  ssltmul2  27600  mulsuniflem  27601  precsexlem11  27660