MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofsslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofsslt 27240
Description: If every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ and ðĩ precedes ðķ, then ðī precedes ðķ. Note - we will often use the term "cofinal" to denote that every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ. Similarly, we will use the term "coinitial" to denote that every element of ðī is bounded below by some element of ðĩ. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofsslt ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī   ð‘Ĩ,ðĩ,ð‘Ķ
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ)   ðķ(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem cofsslt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
2 ssltex2 27130 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ∈ V)
323ad2ant3 1136 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ∈ V)
41elpwid 4570 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ⊆ No )
5 ssltss2 27132 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ⊆ No )
653ad2ant3 1136 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ⊆ No )
7 breq1 5109 . . . . . 6 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
87rexbidv 3176 . . . . 5 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
9 simp12 1205 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
10 simp2 1138 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 ∈ ðī)
118, 9, 10rspcdva 3583 . . . 4 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ)
12 breq2 5110 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑏 → (𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs 𝑏))
1312cbvrexvw 3227 . . . 4 (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
1411, 13sylib 217 . . 3 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
15 simpl11 1249 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
1615elpwid 4570 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ⊆ No )
17 simpl2 1193 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ ðī)
1816, 17sseldd 3946 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ No )
19 simpl13 1251 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ <<s ðķ)
20 ssltss1 27131 . . . . . 6 (ðĩ <<s ðķ → ðĩ ⊆ No )
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ ⊆ No )
22 simprl 770 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ ðĩ)
2321, 22sseldd 3946 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ No )
2419, 5syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðķ ⊆ No )
25 simpl3 1194 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ ðķ)
2624, 25sseldd 3946 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ No )
27 simprr 772 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 â‰Īs 𝑏)
2819, 22, 25ssltsepcd 27136 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 <s 𝑐)
2918, 23, 26, 27, 28slelttrd 27112 . . 3 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
3014, 29rexlimddv 3159 . 2 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 <s 𝑐)
311, 3, 4, 6, 30ssltd 27134 1 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  âˆ€wral 3065  âˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   ⊆ wss 3911  ð’Ŧ cpw 4561   class class class wbr 5106   No csur 26991   <s cslt 26992   â‰Īs csle 27095   <<s csslt 27123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 26994  df-slt 26995  df-sle 27096  df-sslt 27124
This theorem is referenced by:  cofcut1  27242  cofcut2  27244
  Copyright terms: Public domain W3C validator