MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofsslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofsslt 27858
Description: If every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ and ðĩ precedes ðķ, then ðī precedes ðķ. Note - we will often use the term "cofinal" to denote that every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ. Similarly, we will use the term "coinitial" to denote that every element of ðī is bounded below by some element of ðĩ. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofsslt ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī   ð‘Ĩ,ðĩ,ð‘Ķ
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ)   ðķ(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem cofsslt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
2 ssltex2 27740 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ∈ V)
323ad2ant3 1132 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ∈ V)
41elpwid 4615 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ⊆ No )
5 ssltss2 27742 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ⊆ No )
653ad2ant3 1132 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ⊆ No )
7 breq1 5155 . . . . . 6 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
87rexbidv 3176 . . . . 5 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
9 simp12 1201 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
10 simp2 1134 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 ∈ ðī)
118, 9, 10rspcdva 3612 . . . 4 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ)
12 breq2 5156 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑏 → (𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs 𝑏))
1312cbvrexvw 3233 . . . 4 (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
1411, 13sylib 217 . . 3 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
15 simpl11 1245 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
1615elpwid 4615 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ⊆ No )
17 simpl2 1189 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ ðī)
1816, 17sseldd 3983 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ No )
19 simpl13 1247 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ <<s ðķ)
20 ssltss1 27741 . . . . . 6 (ðĩ <<s ðķ → ðĩ ⊆ No )
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ ⊆ No )
22 simprl 769 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ ðĩ)
2321, 22sseldd 3983 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ No )
2419, 5syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðķ ⊆ No )
25 simpl3 1190 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ ðķ)
2624, 25sseldd 3983 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ No )
27 simprr 771 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 â‰Īs 𝑏)
2819, 22, 25ssltsepcd 27747 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 <s 𝑐)
2918, 23, 26, 27, 28slelttrd 27714 . . 3 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
3014, 29rexlimddv 3158 . 2 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 <s 𝑐)
311, 3, 4, 6, 30ssltd 27744 1 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3058  âˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ð’Ŧ cpw 4606   class class class wbr 5152   No csur 27593   <s cslt 27594   â‰Īs csle 27697   <<s csslt 27733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596  df-slt 27597  df-sle 27698  df-sslt 27734
This theorem is referenced by:  cofcut1  27860  cofcut2  27862
  Copyright terms: Public domain W3C validator