MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofsslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofsslt 27788
Description: If every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ and ðĩ precedes ðķ, then ðī precedes ðķ. Note - we will often use the term "cofinal" to denote that every element of ðī is bounded above by some element of ðĩ. Similarly, we will use the term "coinitial" to denote that every element of ðī is bounded below by some element of ðĩ. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofsslt ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī   ð‘Ĩ,ðĩ,ð‘Ķ
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ)   ðķ(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem cofsslt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
2 ssltex2 27670 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ∈ V)
323ad2ant3 1132 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ∈ V)
41elpwid 4606 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī ⊆ No )
5 ssltss2 27672 . . 3 (ðĩ <<s ðķ → ðķ ⊆ No )
653ad2ant3 1132 . 2 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðķ ⊆ No )
7 breq1 5144 . . . . . 6 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
87rexbidv 3172 . . . . 5 (ð‘Ĩ = 𝑎 → (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ))
9 simp12 1201 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
10 simp2 1134 . . . . 5 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 ∈ ðī)
118, 9, 10rspcdva 3607 . . . 4 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ)
12 breq2 5145 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑏 → (𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑎 â‰Īs 𝑏))
1312cbvrexvw 3229 . . . 4 (∃ð‘Ķ ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
1411, 13sylib 217 . . 3 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
15 simpl11 1245 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ∈ ð’Ŧ No )
1615elpwid 4606 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðī ⊆ No )
17 simpl2 1189 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ ðī)
1816, 17sseldd 3978 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 ∈ No )
19 simpl13 1247 . . . . . 6 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ <<s ðķ)
20 ssltss1 27671 . . . . . 6 (ðĩ <<s ðķ → ðĩ ⊆ No )
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðĩ ⊆ No )
22 simprl 768 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ ðĩ)
2321, 22sseldd 3978 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 ∈ No )
2419, 5syl 17 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → ðķ ⊆ No )
25 simpl3 1190 . . . . 5 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ ðķ)
2624, 25sseldd 3978 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑐 ∈ No )
27 simprr 770 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 â‰Īs 𝑏)
2819, 22, 25ssltsepcd 27677 . . . 4 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑏 <s 𝑐)
2918, 23, 26, 27, 28slelttrd 27644 . . 3 ((((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) ∧ (𝑏 ∈ ðĩ ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
3014, 29rexlimddv 3155 . 2 (((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑎 <s 𝑐)
311, 3, 4, 6, 30ssltd 27674 1 ((ðī ∈ ð’Ŧ No ∧ ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ðĩ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ðĩ <<s ðķ) → ðī <<s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3055  âˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ð’Ŧ cpw 4597   class class class wbr 5141   No csur 27523   <s cslt 27524   â‰Īs csle 27627   <<s csslt 27663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27526  df-slt 27527  df-sle 27628  df-sslt 27664
This theorem is referenced by:  cofcut1  27790  cofcut2  27792
  Copyright terms: Public domain W3C validator