Theorem strfv2d 17225

Description: Deduction version of strfv2 17226. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv2d.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv2d.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		cnvcnv2 6187	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
5	4	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
6		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
7		fvres 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
9	5, 8	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
10		strfv2d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
11		strfv2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
12		strfv2d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
13	12	elexd 3488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		opelxpi 5696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15	6, 13, 14	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16	11, 15	elind 4180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
17		cnvcnv 6186	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
18	16, 17	eleqtrrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
19		funopfv 6933	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
20	10, 18, 19	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
21	9, 20	eqtr3id 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
22	3, 21	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∩ cin 3930  ⟨cop 4612   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  Slot cslot 17205  ndxcnx 17217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-slot 17206

This theorem is referenced by:  strfv2  17226  opelstrbas  17246  ebtwntg  28966  ecgrtg  28967  elntg  28968  edgfiedgval  29001