Theorem strfv2d 17162

Description: Deduction version of strfv2 17163. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv2d.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv2d.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		cnvcnv2 6191	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
5	4	fveq1i 6892	. . . 4 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
6		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
7		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
9	5, 8	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
10		strfv2d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
11		strfv2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
12		strfv2d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
13	12	elexd 3490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		opelxpi 5709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15	6, 13, 14	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16	11, 15	elind 4190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
17		cnvcnv 6190	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
18	16, 17	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
19		funopfv 6943	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
20	10, 18, 19	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
21	9, 20	eqtr3id 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
22	3, 21	eqtr2d 2768	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  ⟨cop 4630   × cxp 5670  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542  Slot cslot 17141  ndxcnx 17153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-res 5684  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-slot 17142

This theorem is referenced by:  strfv2  17163  opelstrbas  17185  ebtwntg  28780  ecgrtg  28781  elntg  28782  edgfiedgval  28817