MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv2d 17239
Description: Deduction version of strfv2 17240. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv2d.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv2d.s (𝜑𝑆𝑉)
strfv2d.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strfv2d.n (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (𝜑𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
strfv2d (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strfv2d
StepHypRef Expression
1 strfv2d.e . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2 strfv2d.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
31, 2strfvnd 17223 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4 cnvcnv2 6212 . . . . 5 𝑆 = (𝑆 ↾ V)
54fveq1i 6906 . . . 4 (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
6 fvex 6918 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ∈ V
7 fvres 6924 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
95, 8eqtri 2764 . . 3 (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
10 strfv2d.f . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑆)
11 strfv2d.n . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
12 strfv2d.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑊)
1312elexd 3503 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 opelxpi 5721 . . . . . . 7 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
156, 13, 14sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
1611, 15elind 4199 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
17 cnvcnv 6211 . . . . 5 𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
1816, 17eleqtrrdi 2851 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
19 funopfv 6957 . . . 4 (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
2010, 18, 19sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
219, 20eqtr3id 2790 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
223, 21eqtr2d 2777 1 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  cop 4631   × cxp 5682  ccnv 5683  cres 5686  Fun wfun 6554  cfv 6560  Slot cslot 17219  ndxcnx 17231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-res 5696  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-slot 17220
This theorem is referenced by:  strfv2  17240  opelstrbas  17261  ebtwntg  28998  ecgrtg  28999  elntg  29000  edgfiedgval  29035
  Copyright terms: Public domain W3C validator