MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv2d 17135
Description: Deduction version of strfv2 17136. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv2d.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strfv2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
strfv2d.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strfv2d (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strfv2d
StepHypRef Expression
1 strfv2d.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strfv2d.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
31, 2strfvnd 17118 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 cnvcnv2 6193 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 β†Ύ V)
54fveq1i 6893 . . . 4 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 fvex 6905 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
7 fvres 6911 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) ∈ V β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
95, 8eqtri 2761 . . 3 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
10 strfv2d.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
11 strfv2d.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
12 strfv2d.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1312elexd 3495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
14 opelxpi 5714 . . . . . . 7 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
156, 13, 14sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
1611, 15elind 4195 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V Γ— V)))
17 cnvcnv 6192 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 ∩ (V Γ— V))
1816, 17eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆)
19 funopfv 6944 . . . 4 (Fun ◑◑𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆 β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
2010, 18, 19sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
219, 20eqtr3id 2787 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
223, 21eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-slot 17115
This theorem is referenced by:  strfv2  17136  opelstrbas  17158  ebtwntg  28271  ecgrtg  28272  elntg  28273  edgfiedgval  28308
  Copyright terms: Public domain W3C validator