MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv2d 17079
Description: Deduction version of strfv2 17080. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv2d.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strfv2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
strfv2d.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strfv2d (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strfv2d
StepHypRef Expression
1 strfv2d.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strfv2d.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
31, 2strfvnd 17062 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 cnvcnv2 6146 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 β†Ύ V)
54fveq1i 6844 . . . 4 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 fvex 6856 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
7 fvres 6862 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) ∈ V β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
95, 8eqtri 2761 . . 3 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
10 strfv2d.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
11 strfv2d.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
12 strfv2d.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1312elexd 3464 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
14 opelxpi 5671 . . . . . . 7 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
156, 13, 14sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
1611, 15elind 4155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V Γ— V)))
17 cnvcnv 6145 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 ∩ (V Γ— V))
1816, 17eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆)
19 funopfv 6895 . . . 4 (Fun ◑◑𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆 β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
2010, 18, 19sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
219, 20eqtr3id 2787 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
223, 21eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-slot 17059
This theorem is referenced by:  strfv2  17080  opelstrbas  17102  ebtwntg  27973  ecgrtg  27974  elntg  27975  edgfiedgval  28010
  Copyright terms: Public domain W3C validator