Theorem strfv2d 16831

Description: Deduction version of strfv2 16832. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv2d.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv2d.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 16814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		cnvcnv2 6085	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
5	4	fveq1i 6757	. . . 4 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
6		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
7		fvres 6775	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
9	5, 8	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
10		strfv2d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
11		strfv2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
12		strfv2d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
13	12	elexd 3442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		opelxpi 5617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15	6, 13, 14	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16	11, 15	elind 4124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
17		cnvcnv 6084	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
18	16, 17	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
19		funopfv 6803	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
20	10, 18, 19	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
21	9, 20	eqtr3id 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
22	3, 21	eqtr2d 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ⟨cop 4564   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  Slot cslot 16810  ndxcnx 16822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-slot 16811

This theorem is referenced by:  strfv2  16832  opelstrbas  16854  ebtwntg  27253  ecgrtg  27254  elntg  27255  edgfiedgval  27290