Theorem strfv2d 17236

Description: Deduction version of strfv2 17237. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv2d.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv2d.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		cnvcnv2 6215	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
5	4	fveq1i 6908	. . . 4 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
6		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
7		fvres 6926	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
9	5, 8	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx))
10		strfv2d.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
11		strfv2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
12		strfv2d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
13	12	elexd 3502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		opelxpi 5726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15	6, 13, 14	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
16	11, 15	elind 4210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
17		cnvcnv 6214	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
18	16, 17	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
19		funopfv 6959	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
20	10, 18, 19	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
21	9, 20	eqtr3id 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
22	3, 21	eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ⟨cop 4637   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691  Fun wfun 6557  ‘cfv 6563  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-slot 17216

This theorem is referenced by:  strfv2  17237  opelstrbas  17259  ebtwntg  29012  ecgrtg  29013  elntg  29014  edgfiedgval  29049