MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv2d 17134
Description: Deduction version of strfv2 17135. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv2d.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strfv2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
strfv2d.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strfv2d (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strfv2d
StepHypRef Expression
1 strfv2d.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strfv2d.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
31, 2strfvnd 17117 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 cnvcnv2 6192 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 β†Ύ V)
54fveq1i 6892 . . . 4 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 fvex 6904 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
7 fvres 6910 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) ∈ V β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
95, 8eqtri 2760 . . 3 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))
10 strfv2d.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
11 strfv2d.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
12 strfv2d.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1312elexd 3494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
14 opelxpi 5713 . . . . . . 7 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
156, 13, 14sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
1611, 15elind 4194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V Γ— V)))
17 cnvcnv 6191 . . . . 5 ◑◑𝑆 = (𝑆 ∩ (V Γ— V))
1816, 17eleqtrrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆)
19 funopfv 6943 . . . 4 (Fun ◑◑𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆 β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
2010, 18, 19sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
219, 20eqtr3id 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
223, 21eqtr2d 2773 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  Slot cslot 17113  ndxcnx 17125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-slot 17114
This theorem is referenced by:  strfv2  17135  opelstrbas  17157  ebtwntg  28237  ecgrtg  28238  elntg  28239  edgfiedgval  28274
  Copyright terms: Public domain W3C validator