Theorem strfv 17382

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18488) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17389). By virtue of ndxid 17376, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17329	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17334	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5432	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4745	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17381	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3914  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539   Struct cstr 17325  Slot cslot 17360  ndxcnx 17372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-slot 17361

This theorem is used by:  strfv3  17383  1strbas  17403  2strbas  17407  2strop  17408  rngbase  17471  rngplusg  17472  rngmulr  17473  srngbase  17482  srngplusg  17483  srngmulr  17484  srnginvl  17485  lmodbase  17498  lmodplusg  17499  lmodsca  17500  lmodvsca  17501  ipsbase  17509  ipsaddg  17510  ipsmulr  17511  ipssca  17512  ipsvsca  17513  ipsip  17514  phlbase  17519  phlplusg  17520  phlsca  17521  phlvsca  17522  phlip  17523  topgrpbas  17534  topgrpplusg  17535  topgrptset  17536  otpsbas  17549  otpstset  17550  otpsle  17551  odrngbas  17576  odrngplusg  17577  odrngmulr  17578  odrngtset  17579  odrngle  17580  odrngds  17581  imassca  17692  imastset  17695  fuccofval  18138  setcbas  18254  catchomfval  18278  catccofval  18280  estrcbas  18300  ipobas  18706  ipolerval  18707  ipotset  18708  cnfldbas  21683  mpocnfldadd  21684  mpocnfldmul  21686  cnfldcj  21688  cnfldtset  21689  cnfldle  21690  cnfldds  21691  cnfldunif  21692  psrbas  22243  psrplusg  22246  psrmulr  22251  psrsca  22256  psrvscafval  22257  trkgbas  28908  trkgdist  28909  trkgitv  28910  angmgmlem  29396  angmgmbas  29399  idlsrgbas  34037  idlsrgplusg  34038  idlsrgmulr  34040  idlsrgtset  34041  algbase  44177  algaddg  44178  algmulr  44179  algsca  44180  algvsca  44181  rngchomfvalALTV  49365  rngccofvalALTV  49368  ringchomfvalALTV  49399  ringccofvalALTV  49402  catbas  50335  cathomfval  50336  catcofval  50337  mndtcbasval  50689