Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv 16510
 Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17535) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16468). By virtue of ndxid 16488, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strfv (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3 𝑆 Struct 𝑋
2 structex 16473 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑆 ∈ V
41structfun 16478 . 2 Fun 𝑆
5 strfv.e . 2 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 strfv.n . . 3 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7 opex 5332 . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
87snss 4694 . . 3 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
96, 8mpbir 233 . 2 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
103, 4, 5, 9strfv2 16509 1 (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   ⊆ wss 3913  {csn 4543  ⟨cop 4549   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331   Struct cstr 16458  ndxcnx 16459  Slot cslot 16461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-slot 16466 This theorem is referenced by:  strfv3  16511  1strbas  16578  2strbas  16582  2strop  16583  2strbas1  16585  2strop1  16586  rngbase  16599  rngplusg  16600  rngmulr  16601  srngbase  16607  srngplusg  16608  srngmulr  16609  srnginvl  16610  lmodbase  16616  lmodplusg  16617  lmodsca  16618  lmodvsca  16619  ipsbase  16623  ipsaddg  16624  ipsmulr  16625  ipssca  16626  ipsvsca  16627  ipsip  16628  phlbase  16633  phlplusg  16634  phlsca  16635  phlvsca  16636  phlip  16637  topgrpbas  16641  topgrpplusg  16642  topgrptset  16643  otpsbas  16648  otpstset  16649  otpsle  16650  odrngbas  16659  odrngplusg  16660  odrngmulr  16661  odrngtset  16662  odrngle  16663  odrngds  16664  imassca  16771  imastset  16774  fuccofval  17208  setcbas  17317  catchomfval  17337  catccofval  17339  estrcbas  17354  ipobas  17744  ipolerval  17745  ipotset  17746  psrbas  20134  psrplusg  20137  psrmulr  20140  psrsca  20145  psrvscafval  20146  cnfldbas  20525  cnfldadd  20526  cnfldmul  20527  cnfldcj  20528  cnfldtset  20529  cnfldle  20530  cnfldds  20531  cnfldunif  20532  trkgbas  26218  trkgdist  26219  trkgitv  26220  algbase  39915  algaddg  39916  algmulr  39917  algsca  39918  algvsca  39919  rngchomfvalALTV  44400  rngccofvalALTV  44403  ringchomfvalALTV  44463  ringccofvalALTV  44466
 Copyright terms: Public domain W3C validator