Theorem strfv 16113

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17153) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16069). By virtue of ndxid 16089, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 16074	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 16079	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5061	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4452	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 221	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 16112	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  {csn 4317  ⟨cop 4323   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030   Struct cstr 16059  ndxcnx 16060  Slot cslot 16062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-fz 12533  df-struct 16065  df-slot 16067

This theorem is referenced by:  strfv3  16114  1strbas  16187  2strbas  16191  2strop  16192  2strbas1  16194  2strop1  16195  rngbase  16208  rngplusg  16209  rngmulr  16210  srngbase  16216  srngplusg  16217  srngmulr  16218  srnginvl  16219  lmodbase  16225  lmodplusg  16226  lmodsca  16227  lmodvsca  16228  ipsbase  16232  ipsaddg  16233  ipsmulr  16234  ipssca  16235  ipsvsca  16236  ipsip  16237  phlbase  16242  phlplusg  16243  phlsca  16244  phlvsca  16245  phlip  16246  topgrpbas  16250  topgrpplusg  16251  topgrptset  16252  otpsbas  16259  otpstset  16260  otpsle  16261  otpsbasOLD  16263  otpstsetOLD  16264  otpsleOLD  16265  odrngbas  16274  odrngplusg  16275  odrngmulr  16276  odrngtset  16277  odrngle  16278  odrngds  16279  imassca  16386  imastset  16389  fuccofval  16825  setcbas  16934  catchomfval  16954  catccofval  16956  estrcbas  16971  ipobas  17362  ipolerval  17363  ipotset  17364  psrbas  19592  psrplusg  19595  psrmulr  19598  psrsca  19603  psrvscafval  19604  cnfldbas  19964  cnfldadd  19965  cnfldmul  19966  cnfldcj  19967  cnfldtset  19968  cnfldle  19969  cnfldds  19970  cnfldunif  19971  trkgbas  25564  trkgdist  25565  trkgitv  25566  algbase  38274  algaddg  38275  algmulr  38276  algsca  38277  algvsca  38278  rngchomfvalALTV  42509  rngccofvalALTV  42512  ringchomfvalALTV  42572  ringccofvalALTV  42575