Theorem strfv 17387

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18493) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17394). By virtue of ndxid 17381, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17334	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17339	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5431	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4741	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17386	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539   Struct cstr 17330  Slot cslot 17365  ndxcnx 17377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366

This theorem is used by:  strfv3  17388  1strbas  17408  2strbas  17412  2strop  17413  rngbase  17476  rngplusg  17477  rngmulr  17478  srngbase  17487  srngplusg  17488  srngmulr  17489  srnginvl  17490  lmodbase  17503  lmodplusg  17504  lmodsca  17505  lmodvsca  17506  ipsbase  17514  ipsaddg  17515  ipsmulr  17516  ipssca  17517  ipsvsca  17518  ipsip  17519  phlbase  17524  phlplusg  17525  phlsca  17526  phlvsca  17527  phlip  17528  topgrpbas  17539  topgrpplusg  17540  topgrptset  17541  otpsbas  17554  otpstset  17555  otpsle  17556  odrngbas  17581  odrngplusg  17582  odrngmulr  17583  odrngtset  17584  odrngle  17585  odrngds  17586  imassca  17697  imastset  17700  fuccofval  18143  setcbas  18259  catchomfval  18283  catccofval  18285  estrcbas  18305  ipobas  18711  ipolerval  18712  ipotset  18713  cnfldbas  21688  mpocnfldadd  21689  mpocnfldmul  21691  cnfldcj  21693  cnfldtset  21694  cnfldle  21695  cnfldds  21696  cnfldunif  21697  psrbas  22248  psrplusg  22251  psrmulr  22256  psrsca  22261  psrvscafval  22262  trkgbas  28913  trkgdist  28914  trkgitv  28915  angmgmlem  29401  angmgmbas  29404  idlsrgbas  34083  idlsrgplusg  34084  idlsrgmulr  34086  idlsrgtset  34087  algbase  44270  algaddg  44271  algmulr  44272  algsca  44273  algvsca  44274  rngchomfvalALTV  49458  rngccofvalALTV  49461  ringchomfvalALTV  49492  ringccofvalALTV  49495  catbas  50442  cathomfval  50443  catcofval  50444  mndtcbasval  50812