Theorem strfv 17251

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18357) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17258). By virtue of ndxid 17245, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17198	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17203	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5435	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4746	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17250	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525   Struct cstr 17194  Slot cslot 17229  ndxcnx 17241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230

This theorem is referenced by:  strfv3  17252  1strbas  17272  2strbas  17276  2strop  17277  rngbase  17340  rngplusg  17341  rngmulr  17342  srngbase  17351  srngplusg  17352  srngmulr  17353  srnginvl  17354  lmodbase  17367  lmodplusg  17368  lmodsca  17369  lmodvsca  17370  ipsbase  17378  ipsaddg  17379  ipsmulr  17380  ipssca  17381  ipsvsca  17382  ipsip  17383  phlbase  17388  phlplusg  17389  phlsca  17390  phlvsca  17391  phlip  17392  topgrpbas  17403  topgrpplusg  17404  topgrptset  17405  otpsbas  17418  otpstset  17419  otpsle  17420  odrngbas  17445  odrngplusg  17446  odrngmulr  17447  odrngtset  17448  odrngle  17449  odrngds  17450  imassca  17561  imastset  17564  fuccofval  18007  setcbas  18123  catchomfval  18147  catccofval  18149  estrcbas  18169  ipobas  18575  ipolerval  18576  ipotset  18577  cnfldbas  21483  mpocnfldadd  21484  mpocnfldmul  21486  cnfldcj  21488  cnfldtset  21489  cnfldle  21490  cnfldds  21491  cnfldunif  21492  psrbas  22041  psrplusg  22044  psrmulr  22049  psrsca  22054  psrvscafval  22055  trkgbas  28668  trkgdist  28669  trkgitv  28670  idlsrgbas  33706  idlsrgplusg  33707  idlsrgmulr  33709  idlsrgtset  33710  algbase  43758  algaddg  43759  algmulr  43760  algsca  43761  algvsca  43762  rngchomfvalALTV  48888  rngccofvalALTV  48891  ringchomfvalALTV  48922  ringccofvalALTV  48925  catbas  49856  cathomfval  49857  catcofval  49858  mndtcbasval  50210