Theorem strfv 17142

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18248) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17149). By virtue of ndxid 17136, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17089	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17094	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5419	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4743	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17141	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500   Struct cstr 17085  Slot cslot 17120  ndxcnx 17132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121

This theorem is referenced by:  strfv3  17143  1strbas  17163  2strbas  17167  2strop  17168  rngbase  17231  rngplusg  17232  rngmulr  17233  srngbase  17242  srngplusg  17243  srngmulr  17244  srnginvl  17245  lmodbase  17258  lmodplusg  17259  lmodsca  17260  lmodvsca  17261  ipsbase  17269  ipsaddg  17270  ipsmulr  17271  ipssca  17272  ipsvsca  17273  ipsip  17274  phlbase  17279  phlplusg  17280  phlsca  17281  phlvsca  17282  phlip  17283  topgrpbas  17294  topgrpplusg  17295  topgrptset  17296  otpsbas  17309  otpstset  17310  otpsle  17311  odrngbas  17336  odrngplusg  17337  odrngmulr  17338  odrngtset  17339  odrngle  17340  odrngds  17341  imassca  17452  imastset  17455  fuccofval  17898  setcbas  18014  catchomfval  18038  catccofval  18040  estrcbas  18060  ipobas  18466  ipolerval  18467  ipotset  18468  cnfldbas  21325  mpocnfldadd  21326  mpocnfldmul  21328  cnfldcj  21330  cnfldtset  21331  cnfldle  21332  cnfldds  21333  cnfldunif  21334  cnfldbasOLD  21340  cnfldaddOLD  21341  cnfldmulOLD  21342  cnfldcjOLD  21343  cnfldtsetOLD  21344  cnfldleOLD  21345  cnflddsOLD  21346  cnfldunifOLD  21347  psrbas  21901  psrplusg  21904  psrmulr  21910  psrsca  21915  psrvscafval  21916  trkgbas  28529  trkgdist  28530  trkgitv  28531  idlsrgbas  33596  idlsrgplusg  33597  idlsrgmulr  33599  idlsrgtset  33600  algbase  43525  algaddg  43526  algmulr  43527  algsca  43528  algvsca  43529  rngchomfvalALTV  48621  rngccofvalALTV  48624  ringchomfvalALTV  48655  ringccofvalALTV  48658  catbas  49579  cathomfval  49580  catcofval  49581  mndtcbasval  49933