Theorem strfv 17251

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18383) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17259). By virtue of ndxid 17244, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17197	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17202	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5484	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4810	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17250	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573   Struct cstr 17193  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229

This theorem is referenced by:  strfv3  17252  1strbas  17275  1strbasOLD  17276  2strbas  17281  2strop  17282  2strbas1  17285  2strop1  17286  rngbase  17358  rngplusg  17359  rngmulr  17360  srngbase  17369  srngplusg  17370  srngmulr  17371  srnginvl  17372  lmodbase  17385  lmodplusg  17386  lmodsca  17387  lmodvsca  17388  ipsbase  17396  ipsaddg  17397  ipsmulr  17398  ipssca  17399  ipsvsca  17400  ipsip  17401  phlbase  17406  phlplusg  17407  phlsca  17408  phlvsca  17409  phlip  17410  topgrpbas  17421  topgrpplusg  17422  topgrptset  17423  otpsbas  17436  otpstset  17437  otpsle  17438  odrngbas  17463  odrngplusg  17464  odrngmulr  17465  odrngtset  17466  odrngle  17467  odrngds  17468  imassca  17579  imastset  17582  fuccofval  18028  setcbas  18145  catchomfval  18169  catccofval  18171  estrcbas  18193  ipobas  18601  ipolerval  18602  ipotset  18603  cnfldbas  21391  mpocnfldadd  21392  mpocnfldmul  21394  cnfldcj  21396  cnfldtset  21397  cnfldle  21398  cnfldds  21399  cnfldunif  21400  cnfldbasOLD  21406  cnfldaddOLD  21407  cnfldmulOLD  21408  cnfldcjOLD  21409  cnfldtsetOLD  21410  cnfldleOLD  21411  cnflddsOLD  21412  cnfldunifOLD  21413  psrbas  21976  psrplusg  21979  psrmulr  21985  psrsca  21990  psrvscafval  21991  trkgbas  28471  trkgdist  28472  trkgitv  28473  idlsrgbas  33497  idlsrgplusg  33498  idlsrgmulr  33500  idlsrgtset  33501  algbase  43135  algaddg  43136  algmulr  43137  algsca  43138  algvsca  43139  rngchomfvalALTV  47990  rngccofvalALTV  47993  ringchomfvalALTV  48024  ringccofvalALTV  48027  mndtcbasval  48753