Theorem strfv 17136

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18265) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17144). By virtue of ndxid 17129, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17082	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17087	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5464	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4789	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17135	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543   Struct cstr 17078  Slot cslot 17113  ndxcnx 17125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114

This theorem is referenced by:  strfv3  17137  1strbas  17160  1strbasOLD  17161  2strbas  17166  2strop  17167  2strbas1  17170  2strop1  17171  rngbase  17243  rngplusg  17244  rngmulr  17245  srngbase  17254  srngplusg  17255  srngmulr  17256  srnginvl  17257  lmodbase  17270  lmodplusg  17271  lmodsca  17272  lmodvsca  17273  ipsbase  17281  ipsaddg  17282  ipsmulr  17283  ipssca  17284  ipsvsca  17285  ipsip  17286  phlbase  17291  phlplusg  17292  phlsca  17293  phlvsca  17294  phlip  17295  topgrpbas  17306  topgrpplusg  17307  topgrptset  17308  otpsbas  17321  otpstset  17322  otpsle  17323  odrngbas  17348  odrngplusg  17349  odrngmulr  17350  odrngtset  17351  odrngle  17352  odrngds  17353  imassca  17464  imastset  17467  fuccofval  17910  setcbas  18027  catchomfval  18051  catccofval  18053  estrcbas  18075  ipobas  18483  ipolerval  18484  ipotset  18485  cnfldbas  20947  cnfldadd  20948  cnfldmul  20949  cnfldcj  20950  cnfldtset  20951  cnfldle  20952  cnfldds  20953  cnfldunif  20954  psrbas  21496  psrplusg  21499  psrmulr  21502  psrsca  21507  psrvscafval  21508  trkgbas  27693  trkgdist  27694  trkgitv  27695  idlsrgbas  32613  idlsrgplusg  32614  idlsrgmulr  32616  idlsrgtset  32617  algbase  41910  algaddg  41911  algmulr  41912  algsca  41913  algvsca  41914  rngchomfvalALTV  46872  rngccofvalALTV  46875  ringchomfvalALTV  46935  ringccofvalALTV  46938  mndtcbasval  47696