Theorem strfv 17132

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18237) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17139). By virtue of ndxid 17126, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17079	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17084	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5411	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4739	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17131	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486   Struct cstr 17075  Slot cslot 17110  ndxcnx 17122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111

This theorem is referenced by:  strfv3  17133  1strbas  17153  2strbas  17157  2strop  17158  rngbase  17221  rngplusg  17222  rngmulr  17223  srngbase  17232  srngplusg  17233  srngmulr  17234  srnginvl  17235  lmodbase  17248  lmodplusg  17249  lmodsca  17250  lmodvsca  17251  ipsbase  17259  ipsaddg  17260  ipsmulr  17261  ipssca  17262  ipsvsca  17263  ipsip  17264  phlbase  17269  phlplusg  17270  phlsca  17271  phlvsca  17272  phlip  17273  topgrpbas  17284  topgrpplusg  17285  topgrptset  17286  otpsbas  17299  otpstset  17300  otpsle  17301  odrngbas  17326  odrngplusg  17327  odrngmulr  17328  odrngtset  17329  odrngle  17330  odrngds  17331  imassca  17441  imastset  17444  fuccofval  17887  setcbas  18003  catchomfval  18027  catccofval  18029  estrcbas  18049  ipobas  18455  ipolerval  18456  ipotset  18457  cnfldbas  21283  mpocnfldadd  21284  mpocnfldmul  21286  cnfldcj  21288  cnfldtset  21289  cnfldle  21290  cnfldds  21291  cnfldunif  21292  cnfldbasOLD  21298  cnfldaddOLD  21299  cnfldmulOLD  21300  cnfldcjOLD  21301  cnfldtsetOLD  21302  cnfldleOLD  21303  cnflddsOLD  21304  cnfldunifOLD  21305  psrbas  21858  psrplusg  21861  psrmulr  21867  psrsca  21872  psrvscafval  21873  trkgbas  28408  trkgdist  28409  trkgitv  28410  idlsrgbas  33451  idlsrgplusg  33452  idlsrgmulr  33454  idlsrgtset  33455  algbase  43147  algaddg  43148  algmulr  43149  algsca  43150  algvsca  43151  rngchomfvalALTV  48252  rngccofvalALTV  48255  ringchomfvalALTV  48286  ringccofvalALTV  48289  catbas  49212  cathomfval  49213  catcofval  49214  mndtcbasval  49566