Theorem strfv 17288

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18394) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17295). By virtue of ndxid 17282, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17235	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17240	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5450	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4755	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17287	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543   Struct cstr 17231  Slot cslot 17266  ndxcnx 17278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267

This theorem is used by:  strfv3  17289  1strbas  17309  2strbas  17313  2strop  17314  rngbase  17377  rngplusg  17378  rngmulr  17379  srngbase  17388  srngplusg  17389  srngmulr  17390  srnginvl  17391  lmodbase  17404  lmodplusg  17405  lmodsca  17406  lmodvsca  17407  ipsbase  17415  ipsaddg  17416  ipsmulr  17417  ipssca  17418  ipsvsca  17419  ipsip  17420  phlbase  17425  phlplusg  17426  phlsca  17427  phlvsca  17428  phlip  17429  topgrpbas  17440  topgrpplusg  17441  topgrptset  17442  otpsbas  17455  otpstset  17456  otpsle  17457  odrngbas  17482  odrngplusg  17483  odrngmulr  17484  odrngtset  17485  odrngle  17486  odrngds  17487  imassca  17598  imastset  17601  fuccofval  18044  setcbas  18160  catchomfval  18184  catccofval  18186  estrcbas  18206  ipobas  18612  ipolerval  18613  ipotset  18614  cnfldbas  21563  mpocnfldadd  21564  mpocnfldmul  21566  cnfldcj  21568  cnfldtset  21569  cnfldle  21570  cnfldds  21571  cnfldunif  21572  psrbas  22121  psrplusg  22124  psrmulr  22129  psrsca  22134  psrvscafval  22135  trkgbas  28751  trkgdist  28752  trkgitv  28753  idlsrgbas  33825  idlsrgplusg  33826  idlsrgmulr  33828  idlsrgtset  33829  algbase  43942  algaddg  43943  algmulr  43944  algsca  43945  algvsca  43946  rngchomfvalALTV  49073  rngccofvalALTV  49076  ringchomfvalALTV  49107  ringccofvalALTV  49110  catbas  50045  cathomfval  50046  catcofval  50047  mndtcbasval  50399