Theorem strfv 17413

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18519) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17420). By virtue of ndxid 17407, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17360	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17365	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5437	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4745	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17412	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561   Struct cstr 17356  Slot cslot 17391  ndxcnx 17403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392

This theorem is used by:  strfv3  17414  1strbas  17434  2strbas  17438  2strop  17439  rngbase  17502  rngplusg  17503  rngmulr  17504  srngbase  17513  srngplusg  17514  srngmulr  17515  srnginvl  17516  lmodbase  17529  lmodplusg  17530  lmodsca  17531  lmodvsca  17532  ipsbase  17540  ipsaddg  17541  ipsmulr  17542  ipssca  17543  ipsvsca  17544  ipsip  17545  phlbase  17550  phlplusg  17551  phlsca  17552  phlvsca  17553  phlip  17554  topgrpbas  17565  topgrpplusg  17566  topgrptset  17567  otpsbas  17580  otpstset  17581  otpsle  17582  odrngbas  17607  odrngplusg  17608  odrngmulr  17609  odrngtset  17610  odrngle  17611  odrngds  17612  imassca  17723  imastset  17726  fuccofval  18169  setcbas  18285  catchomfval  18309  catccofval  18311  estrcbas  18331  ipobas  18737  ipolerval  18738  ipotset  18739  cnfldbas  21715  mpocnfldadd  21716  mpocnfldmul  21718  cnfldcj  21720  cnfldtset  21721  cnfldle  21722  cnfldds  21723  cnfldunif  21724  psrbas  22275  psrplusg  22278  psrmulr  22283  psrsca  22288  psrvscafval  22289  trkgbas  28940  trkgdist  28941  trkgitv  28942  angmgmlem  29428  angmgmbas  29431  idlsrgbas  34120  idlsrgplusg  34121  idlsrgmulr  34123  idlsrgtset  34124  algbase  44379  algaddg  44380  algmulr  44381  algsca  44382  algvsca  44383  rngchomfvalALTV  49579  rngccofvalALTV  49582  ringchomfvalALTV  49613  ringccofvalALTV  49616  catbas  50563  cathomfval  50564  catcofval  50565  mndtcbasval  50933