Theorem strfv 17173

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18274) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17180). By virtue of ndxid 17167, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17120	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17125	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5424	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4749	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17172	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   Struct cstr 17116  Slot cslot 17151  ndxcnx 17163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152

This theorem is referenced by:  strfv3  17174  1strbas  17194  2strbas  17198  2strop  17199  rngbase  17262  rngplusg  17263  rngmulr  17264  srngbase  17273  srngplusg  17274  srngmulr  17275  srnginvl  17276  lmodbase  17289  lmodplusg  17290  lmodsca  17291  lmodvsca  17292  ipsbase  17300  ipsaddg  17301  ipsmulr  17302  ipssca  17303  ipsvsca  17304  ipsip  17305  phlbase  17310  phlplusg  17311  phlsca  17312  phlvsca  17313  phlip  17314  topgrpbas  17325  topgrpplusg  17326  topgrptset  17327  otpsbas  17340  otpstset  17341  otpsle  17342  odrngbas  17367  odrngplusg  17368  odrngmulr  17369  odrngtset  17370  odrngle  17371  odrngds  17372  imassca  17482  imastset  17485  fuccofval  17924  setcbas  18040  catchomfval  18064  catccofval  18066  estrcbas  18086  ipobas  18490  ipolerval  18491  ipotset  18492  cnfldbas  21268  mpocnfldadd  21269  mpocnfldmul  21271  cnfldcj  21273  cnfldtset  21274  cnfldle  21275  cnfldds  21276  cnfldunif  21277  cnfldbasOLD  21283  cnfldaddOLD  21284  cnfldmulOLD  21285  cnfldcjOLD  21286  cnfldtsetOLD  21287  cnfldleOLD  21288  cnflddsOLD  21289  cnfldunifOLD  21290  psrbas  21842  psrplusg  21845  psrmulr  21851  psrsca  21856  psrvscafval  21857  trkgbas  28372  trkgdist  28373  trkgitv  28374  idlsrgbas  33475  idlsrgplusg  33476  idlsrgmulr  33478  idlsrgtset  33479  algbase  43163  algaddg  43164  algmulr  43165  algsca  43166  algvsca  43167  rngchomfvalALTV  48255  rngccofvalALTV  48258  ringchomfvalALTV  48289  ringccofvalALTV  48292  catbas  49215  cathomfval  49216  catcofval  49217  mndtcbasval  49569