Theorem strfv 17130

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18236) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17137). By virtue of ndxid 17124, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17077	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17082	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5412	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4741	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17129	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492   Struct cstr 17073  Slot cslot 17108  ndxcnx 17120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109

This theorem is referenced by:  strfv3  17131  1strbas  17151  2strbas  17155  2strop  17156  rngbase  17219  rngplusg  17220  rngmulr  17221  srngbase  17230  srngplusg  17231  srngmulr  17232  srnginvl  17233  lmodbase  17246  lmodplusg  17247  lmodsca  17248  lmodvsca  17249  ipsbase  17257  ipsaddg  17258  ipsmulr  17259  ipssca  17260  ipsvsca  17261  ipsip  17262  phlbase  17267  phlplusg  17268  phlsca  17269  phlvsca  17270  phlip  17271  topgrpbas  17282  topgrpplusg  17283  topgrptset  17284  otpsbas  17297  otpstset  17298  otpsle  17299  odrngbas  17324  odrngplusg  17325  odrngmulr  17326  odrngtset  17327  odrngle  17328  odrngds  17329  imassca  17440  imastset  17443  fuccofval  17886  setcbas  18002  catchomfval  18026  catccofval  18028  estrcbas  18048  ipobas  18454  ipolerval  18455  ipotset  18456  cnfldbas  21313  mpocnfldadd  21314  mpocnfldmul  21316  cnfldcj  21318  cnfldtset  21319  cnfldle  21320  cnfldds  21321  cnfldunif  21322  cnfldbasOLD  21328  cnfldaddOLD  21329  cnfldmulOLD  21330  cnfldcjOLD  21331  cnfldtsetOLD  21332  cnfldleOLD  21333  cnflddsOLD  21334  cnfldunifOLD  21335  psrbas  21889  psrplusg  21892  psrmulr  21898  psrsca  21903  psrvscafval  21904  trkgbas  28517  trkgdist  28518  trkgitv  28519  idlsrgbas  33585  idlsrgplusg  33586  idlsrgmulr  33588  idlsrgtset  33589  algbase  43412  algaddg  43413  algmulr  43414  algsca  43415  algvsca  43416  rngchomfvalALTV  48509  rngccofvalALTV  48512  ringchomfvalALTV  48543  ringccofvalALTV  48546  catbas  49467  cathomfval  49468  catcofval  49469  mndtcbasval  49821