MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv 16277
Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17306) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16235). By virtue of ndxid 16255, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strfv (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3 𝑆 Struct 𝑋
2 structex 16240 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑆 ∈ V
41structfun 16245 . 2 Fun 𝑆
5 strfv.e . 2 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 strfv.n . . 3 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7 opex 5155 . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
87snss 4537 . . 3 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
96, 8mpbir 223 . 2 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
103, 4, 5, 9strfv2 16276 1 (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  wss 3798  {csn 4399  cop 4405   class class class wbr 4875  cfv 6127   Struct cstr 16225  ndxcnx 16226  Slot cslot 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-slot 16233
This theorem is referenced by:  strfv3  16278  1strbas  16346  2strbas  16350  2strop  16351  2strbas1  16353  2strop1  16354  rngbase  16367  rngplusg  16368  rngmulr  16369  srngbase  16375  srngplusg  16376  srngmulr  16377  srnginvl  16378  lmodbase  16384  lmodplusg  16385  lmodsca  16386  lmodvsca  16387  ipsbase  16391  ipsaddg  16392  ipsmulr  16393  ipssca  16394  ipsvsca  16395  ipsip  16396  phlbase  16401  phlplusg  16402  phlsca  16403  phlvsca  16404  phlip  16405  topgrpbas  16409  topgrpplusg  16410  topgrptset  16411  otpsbas  16416  otpstset  16417  otpsle  16418  odrngbas  16427  odrngplusg  16428  odrngmulr  16429  odrngtset  16430  odrngle  16431  odrngds  16432  imassca  16539  imastset  16542  fuccofval  16978  setcbas  17087  catchomfval  17107  catccofval  17109  estrcbas  17124  ipobas  17515  ipolerval  17516  ipotset  17517  psrbas  19746  psrplusg  19749  psrmulr  19752  psrsca  19757  psrvscafval  19758  cnfldbas  20117  cnfldadd  20118  cnfldmul  20119  cnfldcj  20120  cnfldtset  20121  cnfldle  20122  cnfldds  20123  cnfldunif  20124  trkgbas  25764  trkgdist  25765  trkgitv  25766  algbase  38586  algaddg  38587  algmulr  38588  algsca  38589  algvsca  38590  rngchomfvalALTV  42845  rngccofvalALTV  42848  ringchomfvalALTV  42908  ringccofvalALTV  42911
  Copyright terms: Public domain W3C validator