Theorem strfv 17227

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18330) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17234). By virtue of ndxid 17221, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17174	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17179	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5444	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4766	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17226	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536   Struct cstr 17170  Slot cslot 17205  ndxcnx 17217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206

This theorem is referenced by:  strfv3  17228  1strbas  17249  1strbasOLD  17250  2strbas  17254  2strop  17255  rngbase  17318  rngplusg  17319  rngmulr  17320  srngbase  17329  srngplusg  17330  srngmulr  17331  srnginvl  17332  lmodbase  17345  lmodplusg  17346  lmodsca  17347  lmodvsca  17348  ipsbase  17356  ipsaddg  17357  ipsmulr  17358  ipssca  17359  ipsvsca  17360  ipsip  17361  phlbase  17366  phlplusg  17367  phlsca  17368  phlvsca  17369  phlip  17370  topgrpbas  17381  topgrpplusg  17382  topgrptset  17383  otpsbas  17396  otpstset  17397  otpsle  17398  odrngbas  17423  odrngplusg  17424  odrngmulr  17425  odrngtset  17426  odrngle  17427  odrngds  17428  imassca  17538  imastset  17541  fuccofval  17980  setcbas  18096  catchomfval  18120  catccofval  18122  estrcbas  18142  ipobas  18546  ipolerval  18547  ipotset  18548  cnfldbas  21324  mpocnfldadd  21325  mpocnfldmul  21327  cnfldcj  21329  cnfldtset  21330  cnfldle  21331  cnfldds  21332  cnfldunif  21333  cnfldbasOLD  21339  cnfldaddOLD  21340  cnfldmulOLD  21341  cnfldcjOLD  21342  cnfldtsetOLD  21343  cnfldleOLD  21344  cnflddsOLD  21345  cnfldunifOLD  21346  psrbas  21898  psrplusg  21901  psrmulr  21907  psrsca  21912  psrvscafval  21913  trkgbas  28429  trkgdist  28430  trkgitv  28431  idlsrgbas  33524  idlsrgplusg  33525  idlsrgmulr  33527  idlsrgtset  33528  algbase  43165  algaddg  43166  algmulr  43167  algsca  43168  algvsca  43169  rngchomfvalALTV  48209  rngccofvalALTV  48212  ringchomfvalALTV  48243  ringccofvalALTV  48246  catbas  49113  cathomfval  49114  catcofval  49115  mndtcbasval  49424