MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv 17081
Description: Extract a structure component 𝐢 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18207) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17089). By virtue of ndxid 17074, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strfv.n {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† 𝑆
Assertion
Ref Expression
strfv (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3 𝑆 Struct 𝑋
2 structex 17027 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋 β†’ 𝑆 ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑆 ∈ V
41structfun 17032 . 2 Fun ◑◑𝑆
5 strfv.e . 2 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
6 strfv.n . . 3 {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† 𝑆
7 opex 5422 . . . 4 ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ V
87snss 4747 . . 3 (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† 𝑆)
96, 8mpbir 230 . 2 ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆
103, 4, 5, 9strfv2 17080 1 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497   Struct cstr 17023  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059
This theorem is referenced by:  strfv3  17082  1strbas  17105  1strbasOLD  17106  2strbas  17111  2strop  17112  2strbas1  17115  2strop1  17116  rngbase  17185  rngplusg  17186  rngmulr  17187  srngbase  17196  srngplusg  17197  srngmulr  17198  srnginvl  17199  lmodbase  17212  lmodplusg  17213  lmodsca  17214  lmodvsca  17215  ipsbase  17223  ipsaddg  17224  ipsmulr  17225  ipssca  17226  ipsvsca  17227  ipsip  17228  phlbase  17233  phlplusg  17234  phlsca  17235  phlvsca  17236  phlip  17237  topgrpbas  17248  topgrpplusg  17249  topgrptset  17250  otpsbas  17263  otpstset  17264  otpsle  17265  odrngbas  17290  odrngplusg  17291  odrngmulr  17292  odrngtset  17293  odrngle  17294  odrngds  17295  imassca  17406  imastset  17409  fuccofval  17852  setcbas  17969  catchomfval  17993  catccofval  17995  estrcbas  18017  ipobas  18425  ipolerval  18426  ipotset  18427  cnfldbas  20816  cnfldadd  20817  cnfldmul  20818  cnfldcj  20819  cnfldtset  20820  cnfldle  20821  cnfldds  20822  cnfldunif  20823  psrbas  21362  psrplusg  21365  psrmulr  21368  psrsca  21373  psrvscafval  21374  trkgbas  27429  trkgdist  27430  trkgitv  27431  idlsrgbas  32294  idlsrgplusg  32295  idlsrgmulr  32297  idlsrgtset  32298  algbase  41548  algaddg  41549  algmulr  41550  algsca  41551  algvsca  41552  rngchomfvalALTV  46368  rngccofvalALTV  46371  ringchomfvalALTV  46431  ringccofvalALTV  46434  mndtcbasval  47192
  Copyright terms: Public domain W3C validator