Theorem strfv 17164

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18270) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17171). By virtue of ndxid 17158, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17111	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17116	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5411	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4729	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17163	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492   Struct cstr 17107  Slot cslot 17142  ndxcnx 17154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143

This theorem is referenced by:  strfv3  17165  1strbas  17185  2strbas  17189  2strop  17190  rngbase  17253  rngplusg  17254  rngmulr  17255  srngbase  17264  srngplusg  17265  srngmulr  17266  srnginvl  17267  lmodbase  17280  lmodplusg  17281  lmodsca  17282  lmodvsca  17283  ipsbase  17291  ipsaddg  17292  ipsmulr  17293  ipssca  17294  ipsvsca  17295  ipsip  17296  phlbase  17301  phlplusg  17302  phlsca  17303  phlvsca  17304  phlip  17305  topgrpbas  17316  topgrpplusg  17317  topgrptset  17318  otpsbas  17331  otpstset  17332  otpsle  17333  odrngbas  17358  odrngplusg  17359  odrngmulr  17360  odrngtset  17361  odrngle  17362  odrngds  17363  imassca  17474  imastset  17477  fuccofval  17920  setcbas  18036  catchomfval  18060  catccofval  18062  estrcbas  18082  ipobas  18488  ipolerval  18489  ipotset  18490  cnfldbas  21348  mpocnfldadd  21349  mpocnfldmul  21351  cnfldcj  21353  cnfldtset  21354  cnfldle  21355  cnfldds  21356  cnfldunif  21357  cnfldbasOLD  21363  cnfldaddOLD  21364  cnfldmulOLD  21365  cnfldcjOLD  21366  cnfldtsetOLD  21367  cnfldleOLD  21368  cnflddsOLD  21369  cnfldunifOLD  21370  psrbas  21923  psrplusg  21926  psrmulr  21931  psrsca  21936  psrvscafval  21937  trkgbas  28527  trkgdist  28528  trkgitv  28529  idlsrgbas  33579  idlsrgplusg  33580  idlsrgmulr  33582  idlsrgtset  33583  algbase  43620  algaddg  43621  algmulr  43622  algsca  43623  algvsca  43624  rngchomfvalALTV  48755  rngccofvalALTV  48758  ringchomfvalALTV  48789  ringccofvalALTV  48792  catbas  49713  cathomfval  49714  catcofval  49715  mndtcbasval  50067