Theorem strfv 17361

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18467) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17368). By virtue of ndxid 17355, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17308	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17313	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5432	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4745	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17360	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531   Struct cstr 17304  Slot cslot 17339  ndxcnx 17351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340

This theorem is used by:  strfv3  17362  1strbas  17382  2strbas  17386  2strop  17387  rngbase  17450  rngplusg  17451  rngmulr  17452  srngbase  17461  srngplusg  17462  srngmulr  17463  srnginvl  17464  lmodbase  17477  lmodplusg  17478  lmodsca  17479  lmodvsca  17480  ipsbase  17488  ipsaddg  17489  ipsmulr  17490  ipssca  17491  ipsvsca  17492  ipsip  17493  phlbase  17498  phlplusg  17499  phlsca  17500  phlvsca  17501  phlip  17502  topgrpbas  17513  topgrpplusg  17514  topgrptset  17515  otpsbas  17528  otpstset  17529  otpsle  17530  odrngbas  17555  odrngplusg  17556  odrngmulr  17557  odrngtset  17558  odrngle  17559  odrngds  17560  imassca  17671  imastset  17674  fuccofval  18117  setcbas  18233  catchomfval  18257  catccofval  18259  estrcbas  18279  ipobas  18685  ipolerval  18686  ipotset  18687  cnfldbas  21662  mpocnfldadd  21663  mpocnfldmul  21665  cnfldcj  21667  cnfldtset  21668  cnfldle  21669  cnfldds  21670  cnfldunif  21671  psrbas  22222  psrplusg  22225  psrmulr  22230  psrsca  22235  psrvscafval  22236  trkgbas  28889  trkgdist  28890  trkgitv  28891  angmgmlem  29377  angmgmbas  29380  idlsrgbas  34018  idlsrgplusg  34019  idlsrgmulr  34021  idlsrgtset  34022  algbase  44134  algaddg  44135  algmulr  44136  algsca  44137  algvsca  44138  rngchomfvalALTV  49308  rngccofvalALTV  49311  ringchomfvalALTV  49342  ringccofvalALTV  49345  catbas  50278  cathomfval  50279  catcofval  50280  mndtcbasval  50632