Theorem strfv 17141

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18270) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17149). By virtue of ndxid 17134, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17087	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17092	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5464	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4789	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17140	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543   Struct cstr 17083  Slot cslot 17118  ndxcnx 17130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119

This theorem is referenced by:  strfv3  17142  1strbas  17165  1strbasOLD  17166  2strbas  17171  2strop  17172  2strbas1  17175  2strop1  17176  rngbase  17248  rngplusg  17249  rngmulr  17250  srngbase  17259  srngplusg  17260  srngmulr  17261  srnginvl  17262  lmodbase  17275  lmodplusg  17276  lmodsca  17277  lmodvsca  17278  ipsbase  17286  ipsaddg  17287  ipsmulr  17288  ipssca  17289  ipsvsca  17290  ipsip  17291  phlbase  17296  phlplusg  17297  phlsca  17298  phlvsca  17299  phlip  17300  topgrpbas  17311  topgrpplusg  17312  topgrptset  17313  otpsbas  17326  otpstset  17327  otpsle  17328  odrngbas  17353  odrngplusg  17354  odrngmulr  17355  odrngtset  17356  odrngle  17357  odrngds  17358  imassca  17469  imastset  17472  fuccofval  17915  setcbas  18032  catchomfval  18056  catccofval  18058  estrcbas  18080  ipobas  18488  ipolerval  18489  ipotset  18490  cnfldbas  21148  cnfldadd  21149  cnfldmul  21150  cnfldcj  21151  cnfldtset  21152  cnfldle  21153  cnfldds  21154  cnfldunif  21155  psrbas  21716  psrplusg  21719  psrmulr  21722  psrsca  21727  psrvscafval  21728  trkgbas  27951  trkgdist  27952  trkgitv  27953  idlsrgbas  32880  idlsrgplusg  32881  idlsrgmulr  32883  idlsrgtset  32884  gg-cnfldbas  35475  mpocnfldadd  35476  mpocnfldmul  35477  gg-cnfldcj  35478  gg-cnfldtset  35479  gg-cnfldle  35480  gg-cnfldds  35481  gg-cnfldunif  35482  algbase  42222  algaddg  42223  algmulr  42224  algsca  42225  algvsca  42226  rngchomfvalALTV  46971  rngccofvalALTV  46974  ringchomfvalALTV  47034  ringccofvalALTV  47037  mndtcbasval  47794