Theorem strfv 17171

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18277) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17178). By virtue of ndxid 17165, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17118	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17123	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5410	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4723	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 232	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17170	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492   Struct cstr 17114  Slot cslot 17149  ndxcnx 17161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150

This theorem is referenced by:  strfv3  17172  1strbas  17192  2strbas  17196  2strop  17197  rngbase  17260  rngplusg  17261  rngmulr  17262  srngbase  17271  srngplusg  17272  srngmulr  17273  srnginvl  17274  lmodbase  17287  lmodplusg  17288  lmodsca  17289  lmodvsca  17290  ipsbase  17298  ipsaddg  17299  ipsmulr  17300  ipssca  17301  ipsvsca  17302  ipsip  17303  phlbase  17308  phlplusg  17309  phlsca  17310  phlvsca  17311  phlip  17312  topgrpbas  17323  topgrpplusg  17324  topgrptset  17325  otpsbas  17338  otpstset  17339  otpsle  17340  odrngbas  17365  odrngplusg  17366  odrngmulr  17367  odrngtset  17368  odrngle  17369  odrngds  17370  imassca  17481  imastset  17484  fuccofval  17927  setcbas  18043  catchomfval  18067  catccofval  18069  estrcbas  18089  ipobas  18495  ipolerval  18496  ipotset  18497  cnfldbas  21358  mpocnfldadd  21359  mpocnfldmul  21361  cnfldcj  21363  cnfldtset  21364  cnfldle  21365  cnfldds  21366  cnfldunif  21367  psrbas  21916  psrplusg  21919  psrmulr  21924  psrsca  21929  psrvscafval  21930  trkgbas  28538  trkgdist  28539  trkgitv  28540  idlsrgbas  33594  idlsrgplusg  33595  idlsrgmulr  33597  idlsrgtset  33598  algbase  43626  algaddg  43627  algmulr  43628  algsca  43629  algvsca  43630  rngchomfvalALTV  48765  rngccofvalALTV  48768  ringchomfvalALTV  48799  ringccofvalALTV  48802  catbas  49723  cathomfval  49724  catcofval  49725  mndtcbasval  50077