Theorem strfv 17240

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18359) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17248). By virtue of ndxid 17234, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17187	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17192	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5469	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4785	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17239	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   Struct cstr 17183  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219

This theorem is referenced by:  strfv3  17241  1strbas  17263  1strbasOLD  17264  2strbas  17268  2strop  17269  2strbas1  17272  2strop1  17273  rngbase  17343  rngplusg  17344  rngmulr  17345  srngbase  17354  srngplusg  17355  srngmulr  17356  srnginvl  17357  lmodbase  17370  lmodplusg  17371  lmodsca  17372  lmodvsca  17373  ipsbase  17381  ipsaddg  17382  ipsmulr  17383  ipssca  17384  ipsvsca  17385  ipsip  17386  phlbase  17391  phlplusg  17392  phlsca  17393  phlvsca  17394  phlip  17395  topgrpbas  17406  topgrpplusg  17407  topgrptset  17408  otpsbas  17421  otpstset  17422  otpsle  17423  odrngbas  17448  odrngplusg  17449  odrngmulr  17450  odrngtset  17451  odrngle  17452  odrngds  17453  imassca  17564  imastset  17567  fuccofval  18007  setcbas  18123  catchomfval  18147  catccofval  18149  estrcbas  18169  ipobas  18576  ipolerval  18577  ipotset  18578  cnfldbas  21368  mpocnfldadd  21369  mpocnfldmul  21371  cnfldcj  21373  cnfldtset  21374  cnfldle  21375  cnfldds  21376  cnfldunif  21377  cnfldbasOLD  21383  cnfldaddOLD  21384  cnfldmulOLD  21385  cnfldcjOLD  21386  cnfldtsetOLD  21387  cnfldleOLD  21388  cnflddsOLD  21389  cnfldunifOLD  21390  psrbas  21953  psrplusg  21956  psrmulr  21962  psrsca  21967  psrvscafval  21968  trkgbas  28453  trkgdist  28454  trkgitv  28455  idlsrgbas  33532  idlsrgplusg  33533  idlsrgmulr  33535  idlsrgtset  33536  algbase  43186  algaddg  43187  algmulr  43188  algsca  43189  algvsca  43190  rngchomfvalALTV  48183  rngccofvalALTV  48186  ringchomfvalALTV  48217  ringccofvalALTV  48220  mndtcbasval  49177