Theorem strfv 17264

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18370) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17271). By virtue of ndxid 17258, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17211	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17216	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5447	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4751	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17263	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538   Struct cstr 17207  Slot cslot 17242  ndxcnx 17254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243

This theorem is referenced by:  strfv3  17265  1strbas  17285  2strbas  17289  2strop  17290  rngbase  17353  rngplusg  17354  rngmulr  17355  srngbase  17364  srngplusg  17365  srngmulr  17366  srnginvl  17367  lmodbase  17380  lmodplusg  17381  lmodsca  17382  lmodvsca  17383  ipsbase  17391  ipsaddg  17392  ipsmulr  17393  ipssca  17394  ipsvsca  17395  ipsip  17396  phlbase  17401  phlplusg  17402  phlsca  17403  phlvsca  17404  phlip  17405  topgrpbas  17416  topgrpplusg  17417  topgrptset  17418  otpsbas  17431  otpstset  17432  otpsle  17433  odrngbas  17458  odrngplusg  17459  odrngmulr  17460  odrngtset  17461  odrngle  17462  odrngds  17463  imassca  17574  imastset  17577  fuccofval  18020  setcbas  18136  catchomfval  18160  catccofval  18162  estrcbas  18182  ipobas  18588  ipolerval  18589  ipotset  18590  cnfldbas  21507  mpocnfldadd  21508  mpocnfldmul  21510  cnfldcj  21512  cnfldtset  21513  cnfldle  21514  cnfldds  21515  cnfldunif  21516  psrbas  22065  psrplusg  22068  psrmulr  22073  psrsca  22078  psrvscafval  22079  trkgbas  28695  trkgdist  28696  trkgitv  28697  idlsrgbas  33775  idlsrgplusg  33776  idlsrgmulr  33778  idlsrgtset  33779  algbase  43884  algaddg  43885  algmulr  43886  algsca  43887  algvsca  43888  rngchomfvalALTV  49015  rngccofvalALTV  49018  ringchomfvalALTV  49049  ringccofvalALTV  49052  catbas  49987  cathomfval  49988  catcofval  49989  mndtcbasval  50341