Theorem strfv 17180

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18281) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17187). By virtue of ndxid 17174, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17127	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17132	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5427	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4752	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17179	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514   Struct cstr 17123  Slot cslot 17158  ndxcnx 17170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159

This theorem is referenced by:  strfv3  17181  1strbas  17201  2strbas  17205  2strop  17206  rngbase  17269  rngplusg  17270  rngmulr  17271  srngbase  17280  srngplusg  17281  srngmulr  17282  srnginvl  17283  lmodbase  17296  lmodplusg  17297  lmodsca  17298  lmodvsca  17299  ipsbase  17307  ipsaddg  17308  ipsmulr  17309  ipssca  17310  ipsvsca  17311  ipsip  17312  phlbase  17317  phlplusg  17318  phlsca  17319  phlvsca  17320  phlip  17321  topgrpbas  17332  topgrpplusg  17333  topgrptset  17334  otpsbas  17347  otpstset  17348  otpsle  17349  odrngbas  17374  odrngplusg  17375  odrngmulr  17376  odrngtset  17377  odrngle  17378  odrngds  17379  imassca  17489  imastset  17492  fuccofval  17931  setcbas  18047  catchomfval  18071  catccofval  18073  estrcbas  18093  ipobas  18497  ipolerval  18498  ipotset  18499  cnfldbas  21275  mpocnfldadd  21276  mpocnfldmul  21278  cnfldcj  21280  cnfldtset  21281  cnfldle  21282  cnfldds  21283  cnfldunif  21284  cnfldbasOLD  21290  cnfldaddOLD  21291  cnfldmulOLD  21292  cnfldcjOLD  21293  cnfldtsetOLD  21294  cnfldleOLD  21295  cnflddsOLD  21296  cnfldunifOLD  21297  psrbas  21849  psrplusg  21852  psrmulr  21858  psrsca  21863  psrvscafval  21864  trkgbas  28379  trkgdist  28380  trkgitv  28381  idlsrgbas  33482  idlsrgplusg  33483  idlsrgmulr  33485  idlsrgtset  33486  algbase  43170  algaddg  43171  algmulr  43172  algsca  43173  algvsca  43174  rngchomfvalALTV  48259  rngccofvalALTV  48262  ringchomfvalALTV  48293  ringccofvalALTV  48296  catbas  49219  cathomfval  49220  catcofval  49221  mndtcbasval  49573