Theorem strfv 16903

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18029) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16911). By virtue of ndxid 16896, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 16849	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 16854	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5383	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4725	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 16902	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432   Struct cstr 16845  Slot cslot 16880  ndxcnx 16892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-slot 16881

This theorem is referenced by:  strfv3  16904  1strbas  16927  1strbasOLD  16928  2strbas  16933  2strop  16934  2strbas1  16937  2strop1  16938  rngbase  17007  rngplusg  17008  rngmulr  17009  srngbase  17018  srngplusg  17019  srngmulr  17020  srnginvl  17021  lmodbase  17034  lmodplusg  17035  lmodsca  17036  lmodvsca  17037  ipsbase  17045  ipsaddg  17046  ipsmulr  17047  ipssca  17048  ipsvsca  17049  ipsip  17050  phlbase  17055  phlplusg  17056  phlsca  17057  phlvsca  17058  phlip  17059  topgrpbas  17070  topgrpplusg  17071  topgrptset  17072  otpsbas  17085  otpstset  17086  otpsle  17087  odrngbas  17112  odrngplusg  17113  odrngmulr  17114  odrngtset  17115  odrngle  17116  odrngds  17117  imassca  17228  imastset  17231  fuccofval  17674  setcbas  17791  catchomfval  17815  catccofval  17817  estrcbas  17839  ipobas  18247  ipolerval  18248  ipotset  18249  cnfldbas  20599  cnfldadd  20600  cnfldmul  20601  cnfldcj  20602  cnfldtset  20603  cnfldle  20604  cnfldds  20605  cnfldunif  20606  psrbas  21145  psrplusg  21148  psrmulr  21151  psrsca  21156  psrvscafval  21157  trkgbas  26804  trkgdist  26805  trkgitv  26806  idlsrgbas  31645  idlsrgplusg  31646  idlsrgmulr  31648  idlsrgtset  31649  algbase  41000  algaddg  41001  algmulr  41002  algsca  41003  algvsca  41004  rngchomfvalALTV  45511  rngccofvalALTV  45514  ringchomfvalALTV  45574  ringccofvalALTV  45577  mndtcbasval  46336