Theorem strfv 16833

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17946) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16841). By virtue of ndxid 16826, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 16779	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 16784	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5373	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4716	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 16832	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   Struct cstr 16775  Slot cslot 16810  ndxcnx 16822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811

This theorem is referenced by:  strfv3  16834  1strbas  16856  2strbas  16861  2strop  16862  2strbas1  16865  2strop1  16866  rngbase  16935  rngplusg  16936  rngmulr  16937  srngbase  16946  srngplusg  16947  srngmulr  16948  srnginvl  16949  lmodbase  16962  lmodplusg  16963  lmodsca  16964  lmodvsca  16965  ipsbase  16972  ipsaddg  16973  ipsmulr  16974  ipssca  16975  ipsvsca  16976  ipsip  16977  phlbase  16982  phlplusg  16983  phlsca  16984  phlvsca  16985  phlip  16986  topgrpbas  16996  topgrpplusg  16997  topgrptset  16998  otpsbas  17010  otpstset  17011  otpsle  17012  odrngbas  17033  odrngplusg  17034  odrngmulr  17035  odrngtset  17036  odrngle  17037  odrngds  17038  imassca  17147  imastset  17150  fuccofval  17592  setcbas  17709  catchomfval  17733  catccofval  17735  estrcbas  17757  ipobas  18164  ipolerval  18165  ipotset  18166  cnfldbas  20514  cnfldadd  20515  cnfldmul  20516  cnfldcj  20517  cnfldtset  20518  cnfldle  20519  cnfldds  20520  cnfldunif  20521  psrbas  21057  psrplusg  21060  psrmulr  21063  psrsca  21068  psrvscafval  21069  trkgbas  26710  trkgdist  26711  trkgitv  26712  idlsrgbas  31551  idlsrgplusg  31552  idlsrgmulr  31554  idlsrgtset  31555  algbase  40919  algaddg  40920  algmulr  40921  algsca  40922  algvsca  40923  rngchomfvalALTV  45430  rngccofvalALTV  45433  ringchomfvalALTV  45493  ringccofvalALTV  45496  mndtcbasval  46253