Theorem strfv 17111

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18216) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17118). By virtue of ndxid 17105, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17058	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17063	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5404	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4737	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17110	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481   Struct cstr 17054  Slot cslot 17089  ndxcnx 17101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090

This theorem is referenced by:  strfv3  17112  1strbas  17132  2strbas  17136  2strop  17137  rngbase  17200  rngplusg  17201  rngmulr  17202  srngbase  17211  srngplusg  17212  srngmulr  17213  srnginvl  17214  lmodbase  17227  lmodplusg  17228  lmodsca  17229  lmodvsca  17230  ipsbase  17238  ipsaddg  17239  ipsmulr  17240  ipssca  17241  ipsvsca  17242  ipsip  17243  phlbase  17248  phlplusg  17249  phlsca  17250  phlvsca  17251  phlip  17252  topgrpbas  17263  topgrpplusg  17264  topgrptset  17265  otpsbas  17278  otpstset  17279  otpsle  17280  odrngbas  17305  odrngplusg  17306  odrngmulr  17307  odrngtset  17308  odrngle  17309  odrngds  17310  imassca  17420  imastset  17423  fuccofval  17866  setcbas  17982  catchomfval  18006  catccofval  18008  estrcbas  18028  ipobas  18434  ipolerval  18435  ipotset  18436  cnfldbas  21293  mpocnfldadd  21294  mpocnfldmul  21296  cnfldcj  21298  cnfldtset  21299  cnfldle  21300  cnfldds  21301  cnfldunif  21302  cnfldbasOLD  21308  cnfldaddOLD  21309  cnfldmulOLD  21310  cnfldcjOLD  21311  cnfldtsetOLD  21312  cnfldleOLD  21313  cnflddsOLD  21314  cnfldunifOLD  21315  psrbas  21868  psrplusg  21871  psrmulr  21877  psrsca  21882  psrvscafval  21883  trkgbas  28421  trkgdist  28422  trkgitv  28423  idlsrgbas  33464  idlsrgplusg  33465  idlsrgmulr  33467  idlsrgtset  33468  algbase  43206  algaddg  43207  algmulr  43208  algsca  43209  algvsca  43210  rngchomfvalALTV  48297  rngccofvalALTV  48300  ringchomfvalALTV  48331  ringccofvalALTV  48334  catbas  49257  cathomfval  49258  catcofval  49259  mndtcbasval  49611