Theorem strfv 17229

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18335) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17236). By virtue of ndxid 17223, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17176	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17181	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5428	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4740	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 233	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17228	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515   Struct cstr 17172  Slot cslot 17207  ndxcnx 17219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208

This theorem is referenced by:  strfv3  17230  1strbas  17250  2strbas  17254  2strop  17255  rngbase  17318  rngplusg  17319  rngmulr  17320  srngbase  17329  srngplusg  17330  srngmulr  17331  srnginvl  17332  lmodbase  17345  lmodplusg  17346  lmodsca  17347  lmodvsca  17348  ipsbase  17356  ipsaddg  17357  ipsmulr  17358  ipssca  17359  ipsvsca  17360  ipsip  17361  phlbase  17366  phlplusg  17367  phlsca  17368  phlvsca  17369  phlip  17370  topgrpbas  17381  topgrpplusg  17382  topgrptset  17383  otpsbas  17396  otpstset  17397  otpsle  17398  odrngbas  17423  odrngplusg  17424  odrngmulr  17425  odrngtset  17426  odrngle  17427  odrngds  17428  imassca  17539  imastset  17542  fuccofval  17985  setcbas  18101  catchomfval  18125  catccofval  18127  estrcbas  18147  ipobas  18553  ipolerval  18554  ipotset  18555  cnfldbas  21415  mpocnfldadd  21416  mpocnfldmul  21418  cnfldcj  21420  cnfldtset  21421  cnfldle  21422  cnfldds  21423  cnfldunif  21424  psrbas  21973  psrplusg  21976  psrmulr  21981  psrsca  21986  psrvscafval  21987  trkgbas  28601  trkgdist  28602  trkgitv  28603  idlsrgbas  33660  idlsrgplusg  33661  idlsrgmulr  33663  idlsrgtset  33664  algbase  43711  algaddg  43712  algmulr  43713  algsca  43714  algvsca  43715  rngchomfvalALTV  48849  rngccofvalALTV  48852  ringchomfvalALTV  48883  ringccofvalALTV  48886  catbas  49807  cathomfval  49808  catcofval  49809  mndtcbasval  50161