Theorem strfv 17238

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18371) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17246). By virtue of ndxid 17231, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17184	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17189	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5475	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4790	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17237	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563   Struct cstr 17180  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216

This theorem is referenced by:  strfv3  17239  1strbas  17262  1strbasOLD  17263  2strbas  17268  2strop  17269  2strbas1  17272  2strop1  17273  rngbase  17345  rngplusg  17346  rngmulr  17347  srngbase  17356  srngplusg  17357  srngmulr  17358  srnginvl  17359  lmodbase  17372  lmodplusg  17373  lmodsca  17374  lmodvsca  17375  ipsbase  17383  ipsaddg  17384  ipsmulr  17385  ipssca  17386  ipsvsca  17387  ipsip  17388  phlbase  17393  phlplusg  17394  phlsca  17395  phlvsca  17396  phlip  17397  topgrpbas  17408  topgrpplusg  17409  topgrptset  17410  otpsbas  17423  otpstset  17424  otpsle  17425  odrngbas  17450  odrngplusg  17451  odrngmulr  17452  odrngtset  17453  odrngle  17454  odrngds  17455  imassca  17566  imastset  17569  fuccofval  18015  setcbas  18132  catchomfval  18156  catccofval  18158  estrcbas  18180  ipobas  18589  ipolerval  18590  ipotset  18591  cnfldbas  21386  mpocnfldadd  21387  mpocnfldmul  21389  cnfldcj  21391  cnfldtset  21392  cnfldle  21393  cnfldds  21394  cnfldunif  21395  cnfldbasOLD  21401  cnfldaddOLD  21402  cnfldmulOLD  21403  cnfldcjOLD  21404  cnfldtsetOLD  21405  cnfldleOLD  21406  cnflddsOLD  21407  cnfldunifOLD  21408  psrbas  21971  psrplusg  21974  psrmulr  21980  psrsca  21985  psrvscafval  21986  trkgbas  28468  trkgdist  28469  trkgitv  28470  idlsrgbas  33512  idlsrgplusg  33513  idlsrgmulr  33515  idlsrgtset  33516  algbase  43163  algaddg  43164  algmulr  43165  algsca  43166  algvsca  43167  rngchomfvalALTV  48111  rngccofvalALTV  48114  ringchomfvalALTV  48145  ringccofvalALTV  48148  mndtcbasval  48889