Theorem strfv 17116

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 18221) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 17123). By virtue of ndxid 17110, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 17063	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 17068	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5407	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4736	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 17115	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486   Struct cstr 17059  Slot cslot 17094  ndxcnx 17106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095

This theorem is referenced by:  strfv3  17117  1strbas  17137  2strbas  17141  2strop  17142  rngbase  17205  rngplusg  17206  rngmulr  17207  srngbase  17216  srngplusg  17217  srngmulr  17218  srnginvl  17219  lmodbase  17232  lmodplusg  17233  lmodsca  17234  lmodvsca  17235  ipsbase  17243  ipsaddg  17244  ipsmulr  17245  ipssca  17246  ipsvsca  17247  ipsip  17248  phlbase  17253  phlplusg  17254  phlsca  17255  phlvsca  17256  phlip  17257  topgrpbas  17268  topgrpplusg  17269  topgrptset  17270  otpsbas  17283  otpstset  17284  otpsle  17285  odrngbas  17310  odrngplusg  17311  odrngmulr  17312  odrngtset  17313  odrngle  17314  odrngds  17315  imassca  17425  imastset  17428  fuccofval  17871  setcbas  17987  catchomfval  18011  catccofval  18013  estrcbas  18033  ipobas  18439  ipolerval  18440  ipotset  18441  cnfldbas  21297  mpocnfldadd  21298  mpocnfldmul  21300  cnfldcj  21302  cnfldtset  21303  cnfldle  21304  cnfldds  21305  cnfldunif  21306  cnfldbasOLD  21312  cnfldaddOLD  21313  cnfldmulOLD  21314  cnfldcjOLD  21315  cnfldtsetOLD  21316  cnfldleOLD  21317  cnflddsOLD  21318  cnfldunifOLD  21319  psrbas  21872  psrplusg  21875  psrmulr  21881  psrsca  21886  psrvscafval  21887  trkgbas  28424  trkgdist  28425  trkgitv  28426  idlsrgbas  33476  idlsrgplusg  33477  idlsrgmulr  33479  idlsrgtset  33480  algbase  43291  algaddg  43292  algmulr  43293  algsca  43294  algvsca  43295  rngchomfvalALTV  48391  rngccofvalALTV  48394  ringchomfvalALTV  48425  ringccofvalALTV  48428  catbas  49351  cathomfval  49352  catcofval  49353  mndtcbasval  49705