MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfv 16523
Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17548) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 16481). By virtue of ndxid 16501, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strfv (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3 𝑆 Struct 𝑋
2 structex 16486 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑆 ∈ V
41structfun 16491 . 2 Fun 𝑆
5 strfv.e . 2 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 strfv.n . . 3 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7 opex 5321 . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
87snss 4679 . . 3 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
96, 8mpbir 234 . 2 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
103, 4, 5, 9strfv2 16522 1 (𝐶𝑉𝐶 = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  wss 3881  {csn 4525  cop 4531   class class class wbr 5030  cfv 6324   Struct cstr 16471  ndxcnx 16472  Slot cslot 16474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-slot 16479
This theorem is referenced by:  strfv3  16524  1strbas  16591  2strbas  16595  2strop  16596  2strbas1  16598  2strop1  16599  rngbase  16612  rngplusg  16613  rngmulr  16614  srngbase  16620  srngplusg  16621  srngmulr  16622  srnginvl  16623  lmodbase  16629  lmodplusg  16630  lmodsca  16631  lmodvsca  16632  ipsbase  16636  ipsaddg  16637  ipsmulr  16638  ipssca  16639  ipsvsca  16640  ipsip  16641  phlbase  16646  phlplusg  16647  phlsca  16648  phlvsca  16649  phlip  16650  topgrpbas  16654  topgrpplusg  16655  topgrptset  16656  otpsbas  16661  otpstset  16662  otpsle  16663  odrngbas  16672  odrngplusg  16673  odrngmulr  16674  odrngtset  16675  odrngle  16676  odrngds  16677  imassca  16784  imastset  16787  fuccofval  17221  setcbas  17330  catchomfval  17350  catccofval  17352  estrcbas  17367  ipobas  17757  ipolerval  17758  ipotset  17759  cnfldbas  20095  cnfldadd  20096  cnfldmul  20097  cnfldcj  20098  cnfldtset  20099  cnfldle  20100  cnfldds  20101  cnfldunif  20102  psrbas  20616  psrplusg  20619  psrmulr  20622  psrsca  20627  psrvscafval  20628  trkgbas  26239  trkgdist  26240  trkgitv  26241  idlsrgbas  31057  idlsrgplusg  31058  idlsrgmulr  31060  idlsrgtset  31061  algbase  40122  algaddg  40123  algmulr  40124  algsca  40125  algvsca  40126  rngchomfvalALTV  44608  rngccofvalALTV  44611  ringchomfvalALTV  44671  ringccofvalALTV  44674
  Copyright terms: Public domain W3C validator