Theorem setsidvaldOLD 16804

Description: Obsolete version of setsidvald 16803 as of 17-Oct-2024. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidvaldOLD.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvaldOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
setsidvaldOLD.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidvaldOLD.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvaldOLD.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
setsidvaldOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvaldOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsidvaldOLD.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		fvex 6766	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ∈ V
3		setsval 16771	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
4	1, 2, 3	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
5		setsidvaldOLD.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		setsidvaldOLD.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 16801	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	7, 1	strfvnd 16789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	opeq2d 4808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
10	9	sneqd 4570	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
11	10	uneq2d 4094	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12		setsidvaldOLD.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
13		setsidvaldOLD.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14		funresdfunsn 7040	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
15	12, 13, 14	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
16	4, 11, 15	3eqtrrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3423   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882  {csn 4558  ⟨cop 4564  dom cdm 5579   ↾ cres 5581  Fun wfun 6409  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  ℕcn 11878   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-1cn 10835  ax-addcl 10837

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-nn 11879  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798

This theorem is referenced by:  ressval3dOLD  16858