Theorem setsidvaldOLD 16998

Description: Obsolete version of setsidvald 16997 as of 17-Oct-2024. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidvaldOLD.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvaldOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
setsidvaldOLD.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidvaldOLD.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvaldOLD.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
setsidvaldOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvaldOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsidvaldOLD.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		fvex 6842	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ∈ V
3		setsval 16965	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
4	1, 2, 3	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
5		setsidvaldOLD.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		setsidvaldOLD.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 16995	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	7, 1	strfvnd 16983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	opeq2d 4828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
10	9	sneqd 4589	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
11	10	uneq2d 4114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12		setsidvaldOLD.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
13		setsidvaldOLD.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14		funresdfunsn 7121	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
16	4, 11, 15	3eqtrrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3442   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899  {csn 4577  ⟨cop 4583  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6477  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℕcn 12078   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-1cn 11034  ax-addcl 11036

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-nn 12079  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992

This theorem is referenced by:  ressval3dOLD  17054