MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvaldOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsidvaldOLD 17077
Description: Obsolete version of setsidvald 17076 as of 17-Oct-2024. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvaldOLD.e 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvaldOLD.n 𝑁 ∈ β„•
setsidvaldOLD.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidvaldOLD.f (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
setsidvaldOLD.d (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
setsidvaldOLD (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩))

Proof of Theorem setsidvaldOLD
StepHypRef Expression
1 setsidvaldOLD.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
2 fvex 6856 . . 3 (πΈβ€˜π‘†) ∈ V
3 setsval 17044 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (πΈβ€˜π‘†) ∈ V) β†’ (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}))
41, 2, 3sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}))
5 setsidvaldOLD.e . . . . . . 7 𝐸 = Slot 𝑁
6 setsidvaldOLD.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
75, 6ndxid 17074 . . . . . 6 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
87, 1strfvnd 17062 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
98opeq2d 4838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩)
109sneqd 4599 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩} = {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩})
1110uneq2d 4124 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}))
12 setsidvaldOLD.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
13 setsidvaldOLD.d . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
14 funresdfunsn 7136 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆) β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}) = 𝑆)
1512, 13, 14syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}) = 𝑆)
164, 11, 153eqtrrd 2778 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„•cn 12158   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071
This theorem is referenced by:  ressval3dOLD  17133
  Copyright terms: Public domain W3C validator