Theorem strfvnd 17146

Description: Deduction version of strfvn 17147. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
strfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvnd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		elex 3451	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
3		fveq1 6833	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
4		strfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
5		df-slot 17143	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
6	4, 5	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
7		fvex 6847	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
8	3, 6, 7	fvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
9	1, 2, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  Slot cslot 17142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-slot 17143

This theorem is referenced by:  strfvn  17147  strfvss  17148  strndxid  17159  setsidvald  17160  strfvd  17161  strfv2d  17162  setsid  17168  setsnid  17169  estrreslem1  18094  edgfndxid  29076  bj-endbase  37646  bj-endcomp  37647