Theorem strfvnd 17161

Description: Deduction version of strfvn 17162. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
strfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvnd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		elex 3492	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
3		fveq1 6901	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
4		strfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
5		df-slot 17158	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
6	4, 5	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
7		fvex 6915	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
8	3, 6, 7	fvmpt 7010	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
9	1, 2, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  Slot cslot 17157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-slot 17158

This theorem is referenced by:  strfvn  17162  strfvss  17163  strndxid  17174  setsidvald  17175  setsidvaldOLD  17176  strfvd  17177  strfv2d  17178  setsid  17184  setsnid  17185  setsnidOLD  17186  estrreslem1  18134  edgfndxid  28824  bj-endbase  36828  bj-endcomp  36829