MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfvnd 17161
Description: Deduction version of strfvn 17162. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
strfvnd.c 𝐸 = Slot 𝑁
strfvnd.f (𝜑𝑆𝑉)
Assertion
Ref Expression
strfvnd (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆𝑁))

Proof of Theorem strfvnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strfvnd.f . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 elex 3492 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
3 fveq1 6901 . . 3 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥𝑁) = (𝑆𝑁))
4 strfvnd.c . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
5 df-slot 17158 . . . 4 Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥𝑁))
64, 5eqtri 2756 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥𝑁))
7 fvex 6915 . . 3 (𝑆𝑁) ∈ V
83, 6, 7fvmpt 7010 . 2 (𝑆 ∈ V → (𝐸𝑆) = (𝑆𝑁))
91, 2, 83syl 18 1 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cmpt 5235  cfv 6553  Slot cslot 17157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-slot 17158
This theorem is referenced by:  strfvn  17162  strfvss  17163  strndxid  17174  setsidvald  17175  setsidvaldOLD  17176  strfvd  17177  strfv2d  17178  setsid  17184  setsnid  17185  setsnidOLD  17186  estrreslem1  18134  edgfndxid  28824  bj-endbase  36828  bj-endcomp  36829
  Copyright terms: Public domain W3C validator