Theorem strfvnd 17343

Description: Deduction version of strfvn 17344. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
strfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvnd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		elex 3472	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
3		fveq1 6876	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
4		strfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
5		df-slot 17340	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
6	4, 5	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
7		fvex 6890	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
8	3, 6, 7	fvmpt 6985	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
9	1, 2, 8	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  Slot cslot 17339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-slot 17340

This theorem is used by:  strfvn  17344  strfvss  17345  strndxid  17356  setsidvald  17357  strfvd  17358  strfv2d  17359  setsid  17365  setsnid  17366  estrreslem1  18291  edgfndxid  29553  bj-endbase  38205  bj-endcomp  38206