Theorem strfvnd 17093

Description: Deduction version of strfvn 17094. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
strfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvnd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		elex 3457	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
3		fveq1 6821	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
4		strfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
5		df-slot 17090	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
6	4, 5	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
7		fvex 6835	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
8	3, 6, 7	fvmpt 6929	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
9	1, 2, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  Slot cslot 17089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-slot 17090

This theorem is referenced by:  strfvn  17094  strfvss  17095  strndxid  17106  setsidvald  17107  strfvd  17108  strfv2d  17109  setsid  17115  setsnid  17116  estrreslem1  18040  edgfndxid  28969  bj-endbase  37349  bj-endcomp  37350