Theorem tfindsd 44954

Description: Deduction associated with tfinds 7852. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsd.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
tfindsd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
tfindsd.3	⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
tfindsd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
tfindsd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
tfindsd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
tfindsd.7	⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
tfindsd.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
tfindsd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑦   𝜃,𝑥   𝜂,𝑥   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfindsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfindsd.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		tfindsd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
3		tfindsd.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4		tfindsd.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
5		tfindsd.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
6		tfindsd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
7		tfindsd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
8	7	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ On → (𝜃 → 𝜏)))
9	8	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
10		tfindsd.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
11	10	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
12	11	com12 33	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 9, 12	tfinds3 7857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝜑 → 𝜂))
14	1, 13	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286  Oncon0 6360  Lim wlim 6361  suc csuc 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366

This theorem is referenced by:  grur1cld  44976