Theorem tfindsd 44174

Description: Deduction associated with tfinds 7897. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsd.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
tfindsd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
tfindsd.3	⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
tfindsd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
tfindsd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
tfindsd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
tfindsd.7	⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
tfindsd.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
tfindsd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑦   𝜃,𝑥   𝜂,𝑥   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfindsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfindsd.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		tfindsd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
3		tfindsd.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4		tfindsd.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
5		tfindsd.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
6		tfindsd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
7		tfindsd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
8	7	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ On → (𝜃 → 𝜏)))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
10		tfindsd.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
11	10	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
12	11	com12 32	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 9, 12	tfinds3 7902	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝜑 → 𝜂))
14	1, 13	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∅c0 4352  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  suc csuc 6397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401

This theorem is referenced by:  grur1cld  44201