Theorem tfindsd 44451

Description: Deduction associated with tfinds 7802. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsd.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
tfindsd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
tfindsd.3	⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
tfindsd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
tfindsd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
tfindsd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
tfindsd.7	⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
tfindsd.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
tfindsd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑦   𝜃,𝑥   𝜂,𝑥   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfindsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfindsd.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		tfindsd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
3		tfindsd.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4		tfindsd.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜏))
5		tfindsd.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
6		tfindsd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
7		tfindsd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝜃) → 𝜏)
8	7	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ On → (𝜃 → 𝜏)))
9	8	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
10		tfindsd.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃) → 𝜓)
11	10	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
12	11	com12 32	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜃 → 𝜓)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 9, 12	tfinds3 7807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝜑 → 𝜂))
14	1, 13	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∅c0 4285  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  grur1cld  44473