Theorem tgbcne 33046

Description: Non-collinearity of triangle 𝐴𝐵𝐶 implies distinct vertices 𝐵 and 𝐶. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbcne.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbcne.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbcne.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbcne.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbcne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbcne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbcne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbcne.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tgbcne	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem tgbcne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbcne.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbcne.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgbcne.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tgbcne.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbcne.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbcne.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		tgbcne.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbcne.ncol	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9	1, 3, 2, 4, 7, 5, 6, 8	ncolrot2 29026	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	ncolne1 29093	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915

This theorem is used by:  tgmircgra  33066  tgaascgra  33083  tgaas1  33085