Theorem tgacne 33075

Description: Non-collinearity of triangle 𝐴𝐵𝐶 implies distinct vertices 𝐴 and 𝐶. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgacne.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgacne.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgacne.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgacne.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgacne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgacne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgacne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgacne.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tgacne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem tgacne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgacne.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgacne.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgacne.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tgacne.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgacne.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tgacne.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		tgacne.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgacne.ncol	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9	1, 3, 2, 4, 5, 7, 6, 8	ncolrot1 29055	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
10	1, 3, 2, 4, 7, 6, 5, 9	ncolcom 29054	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	ncolne1 29123	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945

This theorem is used by:  tgmircgra  33096  tgaascgra  33113