Theorem ncolne1 27914

Description: Non-colinear points are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ncolne.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ncolne.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ncolne.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ncolne.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
ncolne1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem ncolne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncolne.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
2		tglineelsb2.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ncolne.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ncolne.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		ncolne.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14	2, 13, 4, 6, 12, 10	tgbtwntriv1 27780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
15		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
16	15	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋𝐼𝑍) = (𝑌𝐼𝑍))
17	14, 16	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
18	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 17	btwncolg1 27844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
19	1, 18	mtand 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
20	19	neqned 2947	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722  LineGclng 27723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-trkgc 27737  df-trkgb 27738  df-trkgcb 27739  df-trkg 27742

This theorem is referenced by:  ncolne2  27915  tglineneq  27933  midexlem  27981  mideulem2  28023  outpasch  28044  hlpasch  28045  trgcopy  28093  trgcopyeulem  28094  acopy  28122  acopyeu  28123  cgrg3col4  28142  tgasa1  28147