MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncolne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncolne1 27275
Description: Non-colinear points are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineelsb2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ncolne.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ncolne.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ncolne.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ncolne.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
ncolne1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)

Proof of Theorem ncolne1
StepHypRef Expression
1 ncolne.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
2 tglineelsb2.p . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 tglineelsb2.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 ncolne.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
87adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 ncolne.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
109adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
11 ncolne.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1211adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
142, 13, 4, 6, 12, 10tgbtwntriv1 27141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
15 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
1615oveq1d 7352 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑋𝐼𝑍) = (π‘ŒπΌπ‘))
1714, 16eleqtrd 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 17btwncolg1 27205 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
191, 18mtand 813 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
2019neqned 2947 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  LineGclng 27084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-trkgc 27098  df-trkgb 27099  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103
This theorem is referenced by:  ncolne2  27276  tglineneq  27294  midexlem  27342  mideulem2  27384  outpasch  27405  hlpasch  27406  trgcopy  27454  trgcopyeulem  27455  acopy  27483  acopyeu  27484  cgrg3col4  27503  tgasa1  27508
  Copyright terms: Public domain W3C validator