MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncolne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncolne1 27876
Description: Non-colinear points are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineelsb2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ncolne.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ncolne.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ncolne.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ncolne.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
ncolne1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)

Proof of Theorem ncolne1
StepHypRef Expression
1 ncolne.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
2 tglineelsb2.p . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 tglineelsb2.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 ncolne.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
87adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 ncolne.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
11 ncolne.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
142, 13, 4, 6, 12, 10tgbtwntriv1 27742 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
15 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
1615oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑋𝐼𝑍) = (π‘ŒπΌπ‘))
1714, 16eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΌπ‘))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 17btwncolg1 27806 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
191, 18mtand 815 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
2019neqned 2948 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704
This theorem is referenced by:  ncolne2  27877  tglineneq  27895  midexlem  27943  mideulem2  27985  outpasch  28006  hlpasch  28007  trgcopy  28055  trgcopyeulem  28056  acopy  28084  acopyeu  28085  cgrg3col4  28104  tgasa1  28109
  Copyright terms: Public domain W3C validator