Theorem wzel 35797

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wzel	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzel

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5614	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
5		ssidd 3961	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
6		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
7		tz6.26 6299	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
9		vex 3442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	elpred 6270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	elv 3443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
13		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16	15	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
18	17	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
21	16, 20	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
22	14, 21	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
23	22	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
24	23	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
25	24	alimdv 1916	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
26		eq0 4303	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
27		r19.26 3089	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
28		df-ral 3045	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
29	27, 28	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
30	25, 26, 29	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
31	30	reximdva 3142	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
32	8, 31	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
33	2, 32	infcl 9398	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5095   Or wor 5530   Se wse 5574   We wwe 5575  Predcpred 6252  infcinf 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-riota 7310  df-sup 9351  df-inf 9352

This theorem is referenced by: (None)