Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wzel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wzel 33555
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
wzel ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzel
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 5542 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
213ad2ant1 1135 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
3 simp1 1138 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
4 simp2 1139 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
5 ssidd 3924 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
6 simp3 1140 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
7 tz6.26 6201 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 839 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
9 vex 3412 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
109elpred 6176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
1110elv 3414 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
1211notbii 323 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
13 imnan 403 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
1412, 13bitr4i 281 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15 pm2.27 42 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1615ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
1817rspcev 3537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)
1918ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))
2019ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))
2116, 20jctird 530 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
2214, 21syl5bi 245 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
2322expr 460 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
2423com23 86 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
2524alimdv 1924 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
26 eq0 4258 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
27 r19.26 3092 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
28 df-ral 3066 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
2927, 28bitr3i 280 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
3025, 26, 293imtr4g 299 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
3130reximdva 3193 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
328, 31mpd 15 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
332, 32infcl 9104 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wal 1541   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053   Or wor 5467   Se wse 5507   We wwe 5508  Predcpred 6159  infcinf 9057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-cnv 5559  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-iota 6338  df-riota 7170  df-sup 9058  df-inf 9059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator