Theorem wzel 33745

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wzel	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzel

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5571	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
3		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
4		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
5		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
6		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
7		tz6.26 6235	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 835	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
9		vex 3426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	elpred 6208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	elv 3428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	notbii 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
13		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	bitr4i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16	15	ad2antll 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
18	17	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
20	19	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
21	16, 20	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
22	14, 21	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
23	22	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
24	23	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
25	24	alimdv 1920	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
26		eq0 4274	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
27		r19.26 3094	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
28		df-ral 3068	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
29	27, 28	bitr3i 276	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
30	25, 26, 29	3imtr4g 295	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
31	30	reximdva 3202	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
32	8, 31	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
33	2, 32	infcl 9177	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   Or wor 5493   Se wse 5533   We wwe 5534  Predcpred 6190  infcinf 9130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-iota 6376  df-riota 7212  df-sup 9131  df-inf 9132

This theorem is referenced by: (None)