Theorem wzel 36016

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wzel	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzel

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5615	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
5		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
6		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
7		tz6.26 6305	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
9		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	elpred 6276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	elv 3445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
13		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16	15	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
18	17	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
21	16, 20	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
22	14, 21	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
23	22	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
24	23	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
25	24	alimdv 1917	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))))
26		eq0 4302	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
27		r19.26 3096	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
28		df-ral 3052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
29	27, 28	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
30	25, 26, 29	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
31	30	reximdva 3149	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
32	8, 31	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
33	2, 32	infcl 9392	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   Or wor 5531   Se wse 5575   We wwe 5576  Predcpred 6258  infcinf 9344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-riota 7315  df-sup 9345  df-inf 9346

This theorem is referenced by: (None)