| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | weso 5675 | . . 3
⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴) | 
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1133 | . 2
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴) | 
| 3 |  | simp1 1136 | . . . 4
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴) | 
| 4 |  | simp2 1137 | . . . 4
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴) | 
| 5 |  | ssidd 4006 | . . . 4
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴) | 
| 6 |  | simp3 1138 | . . . 4
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅) | 
| 7 |  | tz6.26 6367 | . . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅) | 
| 8 | 3, 4, 5, 6, 7 | syl22anc 838 | . . 3
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅) | 
| 9 |  | vex 3483 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑦 ∈ V | 
| 10 | 9 | elpred 6337 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))) | 
| 11 | 10 | elv 3484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 12 | 11 | notbii 320 | . . . . . . . . . 10
⊢ (¬
𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 13 |  | imnan 399 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 14 | 12, 13 | bitr4i 278 | . . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 15 |  | pm2.27 42 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 16 | 15 | ad2antll 729 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) | 
| 17 |  | breq1 5145 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦)) | 
| 18 | 17 | rspcev 3621 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦) | 
| 19 | 18 | ex 412 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) | 
| 20 | 19 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) | 
| 21 | 16, 20 | jctird 526 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 22 | 14, 21 | biimtrid 242 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 23 | 22 | expr 456 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))) | 
| 24 | 23 | com23 86 | . . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))) | 
| 25 | 24 | alimdv 1915 | . . . . 5
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))) | 
| 26 |  | eq0 4349 | . . . . 5
⊢
(Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥)) | 
| 27 |  | r19.26 3110 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))) | 
| 28 |  | df-ral 3061 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 29 | 27, 28 | bitr3i 277 | . . . . 5
⊢
((∀𝑦 ∈
𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 30 | 25, 26, 29 | 3imtr4g 296 | . . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 31 | 30 | reximdva 3167 | . . 3
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))) | 
| 32 | 8, 31 | mpd 15 | . 2
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))) | 
| 33 | 2, 32 | infcl 9529 | 1
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) |