Theorem tz6.26OLD 6349

Description: Obsolete proof of tz6.26 6348 as of 17-Nov-2024. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.26OLD	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Proof of Theorem tz6.26OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wereu2 5673	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
2		reurex 3380	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
4		rabeq0 4384	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥𝑅𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
5		dfrab3 4309	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥𝑅𝑦} = (𝐵 ∩ {𝑥 ∣ 𝑥𝑅𝑦})
6		vex 3478	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
7	6	dfpred2 6310	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = (𝐵 ∩ {𝑥 ∣ 𝑥𝑅𝑦})
8	5, 7	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥𝑅𝑦} = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦)
9	8	eqeq1i 2737	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥𝑅𝑦} = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
10	4, 9	bitr3i 276	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
11	10	rexbii 3094	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
12	3, 11	sylib 217	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  {cab 2709   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  {crab 3432   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   Se wse 5629   We wwe 5630  Predcpred 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300

This theorem is referenced by: (None)