Theorem uhgredgrnv 29713

Description: An edge of a hypergraph contains only vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgrnv	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem uhgredgrnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edguhgr 29712	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
2		elelpwi 4566	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
3	2	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5	4	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6538  Vtxcvtx 29579  Edgcedg 29630  UHGraphcuhgr 29639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-edg 29631  df-uhgr 29641

This theorem is used by:  clnbgredg  49031  usgrgrtrirex  49141  grlimedgclnbgr  49186  grlimprclnbgr  49187