Theorem uhgredgrnv 29218

Description: An edge of a hypergraph contains only vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgrnv	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem uhgredgrnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edguhgr 29217	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
2		elelpwi 4552	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
3	2	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5	4	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6490  Vtxcvtx 29084  Edgcedg 29135  UHGraphcuhgr 29144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-edg 29136  df-uhgr 29146

This theorem is referenced by:  clnbgredg  48313  usgrgrtrirex  48423  grlimedgclnbgr  48468  grlimprclnbgr  48469