Theorem umgr2v2evtx 29485

Description: The set of vertices in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evtx	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem umgr2v2evtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
3		prex 5379	. . 3 ⊢ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} ∈ V
4		opvtxfv 28967	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩) = 𝑉)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩) = 𝑉)
6	2, 5	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {cpr 4581  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  Vtxcvtx 28959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-1st 7931  df-vtx 28961

This theorem is referenced by:  umgr2v2evtxel  29486  umgr2v2e  29489  umgr2v2enb1  29490