Theorem umgr2v2enb1 29544

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has one neighbor. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2enb1	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Proof of Theorem umgr2v2enb1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 29543	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 29540	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	nbumgrvtx 29363	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
9	2, 5, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
10	1	umgr2v2eedg 29542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})
11	10	eleq2d 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
14		prex 5437	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝑥} ∈ V
15	14	elsn 4641	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵})
16	13, 15	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵}))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))
18		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preq2b 4847	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵))
20	16, 19	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 = 𝐵))
21	20	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
22	1	umgr2v2evtx 29539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
24		eleq12 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ (Vtx‘𝐺) = 𝑉) → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
25	24	exbiri 811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
26	25	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
27	26	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
30	29	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
31	21, 30	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
32	31	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
33		rabeqsn 4667	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
34	32, 33	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵})
35	9, 34	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  {csn 4626  {cpr 4628  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UMGraphcumgr 29098   NeighbVtx cnbgr 29349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-nbgr 29350

This theorem is referenced by: (None)