Theorem umgr2v2enb1 29461

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has one neighbor. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2enb1	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Proof of Theorem umgr2v2enb1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 29460	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 29457	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	nbumgrvtx 29280	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
9	2, 5, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
10	1	umgr2v2eedg 29459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})
11	10	eleq2d 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
14		prex 5395	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝑥} ∈ V
15	14	elsn 4607	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵})
16	13, 15	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵}))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))
18		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preq2b 4814	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵))
20	16, 19	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 = 𝐵))
21	20	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
22	1	umgr2v2evtx 29456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
24		eleq12 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ (Vtx‘𝐺) = 𝑉) → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
25	24	exbiri 810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
26	25	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
30	29	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
31	21, 30	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
32	31	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
33		rabeqsn 4634	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
34	32, 33	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵})
35	9, 34	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  UMGraphcumgr 29015   NeighbVtx cnbgr 29266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-nbgr 29267

This theorem is referenced by: (None)