Theorem umgr2v2enb1 27796

Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has one neighbor. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2enb1	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Proof of Theorem umgr2v2enb1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2e 27795	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1	umgr2v2evtxel 27792	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4	3	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	nbumgrvtx 27616	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
9	2, 5, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)})
10	1	umgr2v2eedg 27794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = {{𝐴, 𝐵}})
11	10	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
14		prex 5350	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝑥} ∈ V
15	14	elsn 4573	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝑥} ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵})
16	13, 15	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵}))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))
18		simpll3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
19	17, 18	preq2b 4775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} = {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵))
20	16, 19	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑥 = 𝐵))
21	20	pm5.32da 578	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
22	1	umgr2v2evtx 27791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
23	22	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
24		eleq12 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝐵 ∧ (Vtx‘𝐺) = 𝑉) → (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
25	24	exbiri 807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
26	25	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
27	26	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))))
28	23, 27	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)))
30	29	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 = 𝐵)))
31	21, 30	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
32	31	alrimiv 1931	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
33		rabeqsn 4599	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
34	32, 33	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺) ∣ {𝐴, 𝑥} ∈ (Edg‘𝐺)} = {𝐵})
35	9, 34	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  UMGraphcumgr 27354   NeighbVtx cnbgr 27602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-vtx 27271  df-iedg 27272  df-edg 27321  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-nbgr 27603

This theorem is referenced by: (None)