MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2evtxel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2evtxel 28299
Description: A vertex in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evtxel ((𝑉𝑊𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem umgr2v2evtxel
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . 3 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
21umgr2v2evtx 28298 . 2 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3 eqcom 2745 . . . . 5 ((Vtx‘𝐺) = 𝑉𝑉 = (Vtx‘𝐺))
43biimpi 215 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) = 𝑉𝑉 = (Vtx‘𝐺))
54eleq2d 2824 . . 3 ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐴𝑉𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
65biimpcd 249 . 2 (𝐴𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
72, 6mpan9 508 1 ((𝑉𝑊𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cpr 4587  cop 4591  cfv 6494  0cc0 11010  1c1 11011  Vtxcvtx 27776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fv 6502  df-1st 7914  df-vtx 27778
This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  28303  umgr2v2evd2  28304
  Copyright terms: Public domain W3C validator