Theorem umgr2v2evtxel 29616

Description: A vertex in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evtxel	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem umgr2v2evtxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2evtx 29615	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
4	3	biimpi 217	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
5	4	eleq2d 2826	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	biimpcd 250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	2, 6	mpan9 511	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cpr 4564  ⟨cop 4568  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037  Vtxcvtx 29090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-1st 7938  df-vtx 29092

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  29620  umgr2v2evd2  29621