Theorem umgr2v2evtxel 29503

Description: A vertex in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evtxel	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem umgr2v2evtxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2evtx 29502	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
5	4	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	biimpcd 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	2, 6	mpan9 506	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ‘cfv 6486  0cc0 11013  1c1 11014  Vtxcvtx 28976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-1st 7927  df-vtx 28978

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  29507  umgr2v2evd2  29508