Theorem umgr2v2evtxel 27306

Description: A vertex in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evtxel	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem umgr2v2evtxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2evtx 27305	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		eqcom 2830	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
4	3	biimpi 218	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
5	4	eleq2d 2900	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	biimpcd 251	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	2, 6	mpan9 509	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cpr 4571  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357  0cc0 10539  1c1 10540  Vtxcvtx 26783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-1st 7691  df-vtx 26785

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  27310  umgr2v2evd2  27311