Theorem umgr2v2evtxel 30136

Description: A vertex in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2evtxel	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem umgr2v2evtxel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2v2evtx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
2	1	umgr2v2evtx 30135	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
4	3	biimpi 219	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
5	4	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	biimpcd 252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	2, 6	mpan9 516	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6561  0cc0 11230  1c1 11231  Vtxcvtx 29607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-1st 8028  df-vtx 29609

This theorem is used by:  umgr2v2enb1  30140  umgr2v2evd2  30141