Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2e 26873
 Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2e (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgr2v2e
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10370 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 10372 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 464 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 prex 5141 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ V
54, 4pm3.2i 464 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6 0ne1 11446 . . . . . . 7 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≠ 1)
8 fprg 6688 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
93, 5, 7, 8mp3an12i 1538 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10 dfsn2 4410 . . . . . 6 {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11 prelpwi 5147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
12113adant1 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13 umgr2v2evtx.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
1413umgr2v2evtx 26869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
15143ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1615pweqd 4383 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
1712, 16eleqtrrd 2861 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1817adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
19 hashprg 13497 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2019biimpd 221 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
21203adant1 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2221imp 397 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
23 fveqeq2 6455 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2423elrab 3571 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2518, 22, 24sylanbrc 578 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2625snssd 4571 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2710, 26syl5eqssr 3868 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
289, 27fssd 6305 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2928ffdmd 6313 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
3013umgr2v2eiedg 26871 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3130adantr 474 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3231dmeqd 5571 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3331, 32feq12d 6279 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
3429, 33mpbird 249 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
35 opex 5164 . . . 4 𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
3613, 35eqeltri 2854 . . 3 𝐺 ∈ V
37 eqid 2777 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
38 eqid 2777 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3937, 38isumgrs 26444 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
4036, 39mp1i 13 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
4134, 40mpbird 249 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  {crab 3093  Vcvv 3397  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  {cpr 4399  ⟨cop 4403  dom cdm 5355  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273  2c2 11430  ♯chash 13435  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  UMGraphcumgr 26429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-vtx 26346  df-iedg 26347  df-umgr 26431 This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  26874  umgr2v2evd2  26875
 Copyright terms: Public domain W3C validator