MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2e 29291
Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2e (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgr2v2e
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11212 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 11214 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 prex 5425 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ V
54, 4pm3.2i 470 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6 0ne1 12287 . . . . . . 7 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≠ 1)
8 fprg 7149 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
93, 5, 7, 8mp3an12i 1461 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10 dfsn2 4636 . . . . . 6 {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11 fveqeq2 6894 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
12 prelpwi 5440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13123adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
14 umgr2v2evtx.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
1514umgr2v2evtx 29287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1716pweqd 4614 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
1813, 17eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
20 hashprg 14360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2120biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
22213adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2322imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
2411, 19, 23elrabd 3680 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2524snssd 4807 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2610, 25eqsstrrid 4026 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
279, 26fssd 6729 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2827ffdmd 6742 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2914umgr2v2eiedg 29289 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3029adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3130dmeqd 5899 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3230, 31feq12d 6699 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
3328, 32mpbird 257 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
34 opex 5457 . . . 4 𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
3514, 34eqeltri 2823 . . 3 𝐺 ∈ V
36 eqid 2726 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
37 eqid 2726 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3836, 37isumgrs 28864 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
3935, 38mp1i 13 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
4033, 39mpbird 257 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  cop 4629  dom cdm 5669  wf 6533  cfv 6537  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UMGraphcumgr 28849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-umgr 28851
This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  29292  umgr2v2evd2  29293
  Copyright terms: Public domain W3C validator