Theorem umgr2v2e 29558

Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2e	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgr2v2e

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11253	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11255	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		prex 5443	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
5	4, 4	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6		0ne1 12335	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ≠ 1)
8		fprg 7175	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
9	3, 5, 7, 8	mp3an12i 1464	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10		dfsn2 4644	. . . . . 6 ⊢ {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11		fveqeq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
12		prelpwi 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13	12	3adant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
14		umgr2v2evtx.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
15	14	umgr2v2evtx 29554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16	15	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
17	16	pweqd 4622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
18	13, 17	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
20		hashprg 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
21	20	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
22	21	3adant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
23	22	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
24	11, 19, 23	elrabd 3697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
25	24	snssd 4814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
26	10, 25	eqsstrrid 4045	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
27	9, 26	fssd 6754	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
28	27	ffdmd 6767	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
29	14	umgr2v2eiedg 29556	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
31	30	dmeqd 5919	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
32	30, 31	feq12d 6725	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
33	28, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
34		opex 5475	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
35	14, 34	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
36		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
37		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
38	36, 37	isumgrs 29128	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
39	35, 38	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
40	33, 39	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UMGraphcumgr 29113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-umgr 29115

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  29559  umgr2v2evd2  29560