MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2v2e 29367
Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
umgr2v2e (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgr2v2e
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11248 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 11250 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 469 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 prex 5438 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ V
54, 4pm3.2i 469 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6 0ne1 12323 . . . . . . 7 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≠ 1)
8 fprg 7170 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
93, 5, 7, 8mp3an12i 1461 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
10 dfsn2 4645 . . . . . 6 {{𝐴, 𝐵}} = {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
11 fveqeq2 6911 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
12 prelpwi 5453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
13123adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑉)
14 umgr2v2evtx.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩
1514umgr2v2evtx 29363 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1716pweqd 4623 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
1813, 17eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
20 hashprg 14396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2120biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
22213adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
2322imp 405 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
2411, 19, 23elrabd 3686 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2524snssd 4817 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2610, 25eqsstrrid 4031 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {{𝐴, 𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
279, 26fssd 6745 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:{0, 1}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2827ffdmd 6759 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
2914umgr2v2eiedg 29365 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3029adantr 479 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺) = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3130dmeqd 5912 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩})
3230, 31feq12d 6715 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}:dom {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
3328, 32mpbird 256 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
34 opex 5470 . . . 4 𝑉, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩, ⟨1, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ V
3514, 34eqeltri 2825 . . 3 𝐺 ∈ V
36 eqid 2728 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
37 eqid 2728 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3836, 37isumgrs 28937 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
3935, 38mp1i 13 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
4033, 39mpbird 256 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4606  {csn 4632  {cpr 4634  cop 4638  dom cdm 5682  wf 6549  cfv 6553  0cc0 11148  1c1 11149  2c2 12307  chash 14331  Vtxcvtx 28837  iEdgciedg 28838  UMGraphcumgr 28922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332  df-vtx 28839  df-iedg 28840  df-umgr 28924
This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  29368  umgr2v2evd2  29369
  Copyright terms: Public domain W3C validator