MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uspgrloopvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgrloopvd2 28468
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop (see uspgr1v1eop 28197), the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 21-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uspgrloopvtx.g 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝑁}⟩}⟩
Assertion
Ref Expression
uspgrloopvd2 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem uspgrloopvd2
StepHypRef Expression
1 uspgrloopvtx.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝑁}⟩}⟩
21uspgrloopvtx 28463 . . 3 (𝑉𝑊 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
323ad2ant1 1133 . 2 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
4 simp2 1137 . 2 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → 𝐴𝑋)
5 simp3 1138 . 2 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
61uspgrloopiedg 28465 . . 3 ((𝑉𝑊𝐴𝑋) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
763adant3 1132 . 2 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
83, 4, 5, 71loopgrvd2 28451 1 ((𝑉𝑊𝐴𝑋𝑁𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586  cop 4592  cfv 6496  2c2 12208  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  VtxDegcvtxdg 28413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-xadd 13034  df-fz 13425  df-hash 14231  df-vtx 27949  df-iedg 27950  df-edg 27999  df-uhgr 28009  df-ushgr 28010  df-uspgr 28101  df-vtxdg 28414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator