Theorem uniqs2 8568

Description: The union of a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsss.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝐴)
qsss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
uniqs2	⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = 𝐴)

Proof of Theorem uniqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uniqs 8566	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
4		qsss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝐴)
5		erdm 8508	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → dom 𝑅 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 5969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ dom 𝑅) = (𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = (𝑅 “ dom 𝑅))
9		imadmrn 5979	. . 3 ⊢ (𝑅 “ dom 𝑅) = ran 𝑅
10	8, 9	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = ran 𝑅)
11		errn 8520	. . 3 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 → ran 𝑅 = 𝐴)
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = 𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / 𝑅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592   Er wer 8495   / cqs 8497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504

This theorem is referenced by:  qshash  15539  cldsubg  23262  pi1buni  24203  qustrivr  31561