Theorem pi1buni 24191

Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1buni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Proof of Theorem pi1buni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5		pi1bas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		pi1bas.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1bas 24189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1blem 24190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))
9	8	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
10		qsinxp 8570	. . . . 5 ⊢ ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
12	7, 11	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
13	12	unieqd 4854	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
14		phtpcer 24146	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
16	8	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
17	15, 16	erinxp 8568	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) Er 𝐾)
18		fvex 6780	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
19	18	inex1 5240	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V)
21	17, 20	uniqs2 8556	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))) = 𝐾)
22	13, 21	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3430   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4840   × cxp 5583   “ cima 5588  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   Er wer 8483   / cqs 8485  Basecbs 16900  TopOnctopon 22047   Cn ccn 22363  IIcii 24026   ≃_phcphtpc 24120   Ω₁ comi 24152   π₁ cpi1 24154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-ec 8488  df-qs 8492  df-map 8605  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-qus 17208  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-ii 24028  df-htpy 24121  df-phtpy 24122  df-phtpc 24143  df-om1 24157  df-pi1 24159

This theorem is referenced by:  pi1bas2  24192  pi1eluni  24193  pi1bas3  24194  pi1cpbl  24195  pi1addf  24198  pi1addval  24199  pi1grplem  24200