Theorem pi1buni 25055

Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1buni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Proof of Theorem pi1buni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5		pi1bas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		pi1bas.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1bas 25053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1blem 25054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))
9	8	simpld 493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
10		qsinxp 8814	. . . . 5 ⊢ ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
12	7, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
13	12	unieqd 4918	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
14		phtpcer 25009	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
16	8	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
17	15, 16	erinxp 8812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) Er 𝐾)
18		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
19	18	inex1 5314	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V)
21	17, 20	uniqs2 8800	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))) = 𝐾)
22	13, 21	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946  ∪ cuni 4905   × cxp 5672   “ cima 5677  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   Er wer 8723   / cqs 8725  Basecbs 17208  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23216  IIcii 24883   ≃_phcphtpc 24983   Ω₁ comi 25016   π₁ cpi1 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-qus 17519  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-ii 24885  df-htpy 24984  df-phtpy 24985  df-phtpc 25006  df-om1 25021  df-pi1 25023

This theorem is referenced by:  pi1bas2  25056  pi1eluni  25057  pi1bas3  25058  pi1cpbl  25059  pi1addf  25062  pi1addval  25063  pi1grplem  25064