Theorem pi1buni 25180

Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1buni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Proof of Theorem pi1buni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1val.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1val.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1val.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		pi1val.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
5		pi1bas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		pi1bas.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1bas 25178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	pi1blem 25179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))
9	8	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
10		qsinxp 8792	. . . . 5 ⊢ ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / ( ≃ph‘𝐽)) = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
12	7, 11	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
13	12	unieqd 4886	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))))
14		phtpcer 25135	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
16	8	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
17	15, 16	erinxp 8790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) Er 𝐾)
18		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
19	18	inex1 5287	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾)) ∈ V)
21	17, 20	uniqs2 8775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐾 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (𝐾 × 𝐾))) = 𝐾)
22	13, 21	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873   × cxp 5661   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   Er wer 8692   / cqs 8694  Basecbs 17270  TopOnctopon 23048   Cn ccn 23362  IIcii 25015   ≃_phcphtpc 25109   Ω₁ comi 25141   π₁ cpi1 25143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-qus 17564  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-ii 25017  df-htpy 25110  df-phtpy 25111  df-phtpc 25132  df-om1 25146  df-pi1 25148

This theorem is referenced by:  pi1bas2  25181  pi1eluni  25182  pi1bas3  25183  pi1cpbl  25184  pi1addf  25187  pi1addval  25188  pi1grplem  25189