MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qshash 15178
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1 (𝜑 Er 𝐴)
qshash.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
qshash (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4 (𝜑 Er 𝐴)
2 qshash.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 erex 8303 . . . . 5 ( Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∈ V))
41, 2, 3sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
51, 4uniqs2 8349 . . 3 (𝜑 (𝐴 / ) = 𝐴)
65fveq2d 6662 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = (♯‘𝐴))
7 pwfi 8810 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
82, 7sylib 221 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
91qsss 8348 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴)
108, 9ssfid 8732 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ∈ Fin)
11 elpwi 4530 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
12 ssfi 8729 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
1312ex 416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
142, 11, 13syl2im 40 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
1514ssrdv 3958 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
169, 15sstrd 3962 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ Fin)
17 qsdisj2 8365 . . . 4 ( Er 𝐴Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
1910, 16, 18hashuni 15177 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
206, 19eqtr3d 2861 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  𝒫 cpw 4521   cuni 4824  Disj wdisj 5017  cfv 6343   Er wer 8276   / cqs 8278  Fincfn 8499  chash 13691  Σcsu 15038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039
This theorem is referenced by:  lagsubg2  18337  sylow1lem3  18721  sylow2a  18740  hashclwwlkn0  27855
  Copyright terms: Public domain W3C validator