MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qshash 15777
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1 (𝜑 Er 𝐴)
qshash.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
qshash (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4 (𝜑 Er 𝐴)
2 qshash.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 erex 8726 . . . . 5 ( Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∈ V))
41, 2, 3sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
51, 4uniqs2 8772 . . 3 (𝜑 (𝐴 / ) = 𝐴)
65fveq2d 6888 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = (♯‘𝐴))
7 pwfi 9177 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
82, 7sylib 217 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
91qsss 8771 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴)
108, 9ssfid 9266 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ∈ Fin)
11 elpwi 4604 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
12 ssfi 9172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
1312ex 412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
142, 11, 13syl2im 40 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
1514ssrdv 3983 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
169, 15sstrd 3987 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ Fin)
17 qsdisj2 8788 . . . 4 ( Er 𝐴Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
1910, 16, 18hashuni 15776 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
206, 19eqtr3d 2768 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  𝒫 cpw 4597   cuni 4902  Disj wdisj 5106  cfv 6536   Er wer 8699   / cqs 8701  Fincfn 8938  chash 14293  Σcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  lagsubg2  19118  sylow1lem3  19518  sylow2a  19537  hashclwwlkn0  29832
  Copyright terms: Public domain W3C validator