Theorem qshash 15467

Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qshash.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
qshash.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
qshash	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥, ∼

Proof of Theorem qshash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qshash.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		qshash.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		erex 8480	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∼ ∈ V))
4	1, 2, 3	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
5	1, 4	uniqs2 8526	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / ∼ ) = 𝐴)
6	5	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = (♯‘𝐴))
7		pwfi 8923	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9	1	qsss 8525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10	8, 9	ssfid 8971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
11		elpwi 4539	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		ssfi 8918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
14	2, 11, 13	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
15	14	ssrdv 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
16	9, 15	sstrd 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ Fin)
17		qsdisj2 8542	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
19	10, 16, 18	hashuni 15466	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))
20	6, 19	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  Disj wdisj 5035  ‘cfv 6418   Er wer 8453   / cqs 8455  Fincfn 8691  ♯chash 13972  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  lagsubg2  18732  sylow1lem3  19120  sylow2a  19139  hashclwwlkn0  28339