Theorem qshash 15800

Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qshash.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
qshash.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
qshash	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥, ∼

Proof of Theorem qshash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qshash.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		qshash.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		erex 8698	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∼ ∈ V))
4	1, 2, 3	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
5	1, 4	uniqs2 8753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / ∼ ) = 𝐴)
6	5	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = (♯‘𝐴))
7		pwfi 9275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9	1	qsss 8752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10	8, 9	ssfid 9219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
11		elpwi 4573	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		ssfi 9143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
14	2, 11, 13	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
15	14	ssrdv 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
16	9, 15	sstrd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ Fin)
17		qsdisj2 8771	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
19	10, 16, 18	hashuni 15799	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))
20	6, 19	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  Disj wdisj 5077  ‘cfv 6514   Er wer 8671   / cqs 8673  Fincfn 8921  ♯chash 14302  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  lagsubg2  19133  sylow1lem3  19537  sylow2a  19556  hashclwwlkn0  30010