Theorem qshash 15754

Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qshash.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
qshash.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
qshash	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥, ∼

Proof of Theorem qshash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qshash.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		qshash.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		erex 8662	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∼ ∈ V))
4	1, 2, 3	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
5	1, 4	uniqs2 8717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / ∼ ) = 𝐴)
6	5	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = (♯‘𝐴))
7		pwfi 9223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9	1	qsss 8716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10	8, 9	ssfid 9173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
11		elpwi 4562	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		ssfi 9101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
14	2, 11, 13	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
15	14	ssrdv 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
16	9, 15	sstrd 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ Fin)
17		qsdisj2 8736	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
19	10, 16, 18	hashuni 15753	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))
20	6, 19	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  Disj wdisj 5066  ‘cfv 6493   Er wer 8634   / cqs 8636  Fincfn 8887  ♯chash 14257  Σcsu 15613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  lagsubg2  19127  sylow1lem3  19533  sylow2a  19552  hashclwwlkn0  30132