Theorem qshash 15875

Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qshash.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
qshash.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
qshash	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥, ∼

Proof of Theorem qshash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qshash.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		qshash.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		erex 8787	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∼ ∈ V))
4	1, 2, 3	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
5	1, 4	uniqs2 8837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / ∼ ) = 𝐴)
6	5	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = (♯‘𝐴))
7		pwfi 9385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9	1	qsss 8836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10	8, 9	ssfid 9329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
11		elpwi 4629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		ssfi 9240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
14	2, 11, 13	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
15	14	ssrdv 4014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
16	9, 15	sstrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ Fin)
17		qsdisj2 8853	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
19	10, 16, 18	hashuni 15874	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ (𝐴 / ∼ )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))
20	6, 19	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  Disj wdisj 5133  ‘cfv 6573   Er wer 8760   / cqs 8762  Fincfn 9003  ♯chash 14379  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  lagsubg2  19234  sylow1lem3  19642  sylow2a  19661  hashclwwlkn0  30106