MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qshash 15811
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1 (𝜑 Er 𝐴)
qshash.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
qshash (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4 (𝜑 Er 𝐴)
2 qshash.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 erex 8753 . . . . 5 ( Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∈ V))
41, 2, 3sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
51, 4uniqs2 8802 . . 3 (𝜑 (𝐴 / ) = 𝐴)
65fveq2d 6904 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = (♯‘𝐴))
7 pwfi 9207 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
82, 7sylib 217 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
91qsss 8801 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴)
108, 9ssfid 9296 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ∈ Fin)
11 elpwi 4611 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
12 ssfi 9202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
1312ex 411 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
142, 11, 13syl2im 40 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
1514ssrdv 3986 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
169, 15sstrd 3990 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ Fin)
17 qsdisj2 8818 . . . 4 ( Er 𝐴Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
1910, 16, 18hashuni 15810 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
206, 19eqtr3d 2769 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3471  wss 3947  𝒫 cpw 4604   cuni 4910  Disj wdisj 5115  cfv 6551   Er wer 8726   / cqs 8728  Fincfn 8968  chash 14327  Σcsu 15670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671
This theorem is referenced by:  lagsubg2  19154  sylow1lem3  19560  sylow2a  19579  hashclwwlkn0  29902
  Copyright terms: Public domain W3C validator