Theorem qustrivr 32465

Description: Converse of qustriv 32464. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustrivr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qustrivr.2	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
qustrivr	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → 𝐻 = 𝐵)

Proof of Theorem qustrivr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustrivr.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻)))
3		qustrivr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝐻) ∈ V)
6		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	2, 4, 5, 6	qusbas 17487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = (Base‘𝑄))
8	7	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = (Base‘𝑄))
9		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (Base‘𝑄) = {𝐻})
10	8, 9	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = {𝐻})
11	10	unieqd 4921	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = ∪ {𝐻})
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
13	3, 12	eqger 19052	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐻) Er 𝐵)
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝐻) Er 𝐵)
15	14, 5	uniqs2 8769	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = 𝐵)
16	15	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = 𝐵)
17		unisng 4928	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∪ {𝐻} = 𝐻)
18	17	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ {𝐻} = 𝐻)
19	11, 16, 18	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → 𝐻 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696   / cqs 8698  Basecbs 17140   /_s cqus 17447  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994   ~_QG cqg 18996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-eqg 18999

This theorem is referenced by:  qsidomlem2  32560