Theorem qustrivr 33512

Description: Converse of qustriv 33511. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustrivr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qustrivr.2	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
qustrivr	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → 𝐻 = 𝐵)

Proof of Theorem qustrivr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustrivr.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐻)))
3		qustrivr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝐻) ∈ V)
6		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	2, 4, 5, 6	qusbas 17558	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = (Base‘𝑄))
8	7	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = (Base‘𝑄))
9		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (Base‘𝑄) = {𝐻})
10	8, 9	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = {𝐻})
11	10	unieqd 4877	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = ∪ {𝐻})
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
13	3, 12	eqger 19202	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐻) Er 𝐵)
14	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝐻) Er 𝐵)
15	14, 5	uniqs2 8753	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = 𝐵)
16	15	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐻)) = 𝐵)
17		unisng 4882	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∪ {𝐻} = 𝐻)
18	17	3ad2ant2 1146	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → ∪ {𝐻} = 𝐻)
19	11, 16, 18	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (Base‘𝑄) = {𝐻}) → 𝐻 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4581  ∪ cuni 4864  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   Er wer 8670   / cqs 8672  Basecbs 17228   /_s cqus 17518  Grpcgrp 18958  SubGrpcsubg 19145   ~_QG cqg 19147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-0g 17453  df-imas 17521  df-qus 17522  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-eqg 19150

This theorem is referenced by:  qsidomlem2  33601