Theorem unss12 4134

Description: Subclass law for union of classes. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss12	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem unss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss1 4131	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
2		unss2 4133	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
3	1, 2	sylan9ss 3944	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-un 3904  df-ss 3916

This theorem is used by:  pwssun  5547  fun  6737  f1un  6838  finsschain  9326  trclun  15087  relexpfld  15122  mulgfval  19192  mvdco  19572  dprd2da  20171  dmdprdsplit2lem  20174  lspun  21171  mulsproplem13  28393  mulsproplem14  28394  spanuni  32025  sshhococi  32027  mthmpps  36161  pibt2  38171  mblfinlem3  38408  dochdmj1  42263  mptrcllem  44453  clcnvlem  44463  dfrcl2  44514  relexpss1d  44545  corclrcl  44547  relexp0a  44556  corcltrcl  44579  frege131d  44604