Theorem unss12 4134

Description: Subclass law for union of classes. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss12	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem unss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss1 4131	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
2		unss2 4133	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
3	1, 2	sylan9ss 3944	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-v 3453  df-un 3904  df-ss 3916

This theorem is used by:  pwssun  5543  fun  6742  f1un  6843  finsschain  9341  trclun  15160  relexpfld  15195  mulgfval  19272  mvdco  19652  dprd2da  20251  dmdprdsplit2lem  20254  lspun  21255  mulsproplem13  28507  mulsproplem14  28508  spanuni  32139  sshhococi  32141  mthmpps  36326  pibt2  38320  mblfinlem3  38557  dochdmj1  42427  mptrcllem  44598  clcnvlem  44608  dfrcl2  44659  relexpss1d  44690  corclrcl  44692  relexp0a  44701  corcltrcl  44724  frege131d  44749