Theorem relexpss1d 41313

Description: The relational power of a subset is a subset. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpss1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
relexpss1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
relexpss1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpss1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Proof of Theorem relexpss1d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpss1d.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elnn0 12235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟1))
5		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟1))
6	4, 5	sseq12d 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1)))
7	6	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))))
8		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑦))
9		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑦))
10	8, 9	sseq12d 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)))
11	10	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))))
12		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)))
13		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
14	12, 13	sseq12d 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1))))
15	14	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑁))
17		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑁))
18	16, 17	sseq12d 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
19	18	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))))
20		relexpss1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
21		relexpss1d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22	21, 20	ssexd 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22	relexp1d 14740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) = 𝐴)
24	21	relexp1d 14740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑟1) = 𝐵)
25	20, 23, 24	3sstr4d 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))
26		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))
27	20	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
28	26, 27	coss12d 14683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴) ⊆ ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
29	22	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
30		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
31		relexpsucnnr 14736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
32	29, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
33	21	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
34		relexpsucnnr 14736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
35	33, 30, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
36	28, 32, 35	3sstr4d 3968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	36	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
38	37	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
39	7, 11, 15, 19, 25, 38	nnind 11991	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
40		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝜑)
41		dmss 5811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
42		rnss 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
43	41, 42	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵))
44		unss12 4116	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵) → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
45	20, 43, 44	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
46		ssres2 5919	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
47	40, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
48		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝑁 = 0)
49	48	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = (𝐴↑𝑟0))
50		relexp0g 14733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
51	40, 22, 50	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
52	49, 51	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
53	48	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = (𝐵↑𝑟0))
54		relexp0g 14733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
55	40, 21, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
56	53, 55	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
57	47, 52, 56	3sstr4d 3968	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))
58	57	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
59	39, 58	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
60	3, 59	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887   I cid 5488  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ↑_𝑟crelexp 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-relexp 14731

This theorem is referenced by:  corcltrcl  41347  cotrclrcl  41350