Theorem relexpss1d 42759

Description: The relational power of a subset is a subset. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpss1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
relexpss1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
relexpss1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpss1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Proof of Theorem relexpss1d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpss1d.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elnn0 12479	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟1))
5		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟1))
6	4, 5	sseq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1)))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))))
8		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑦))
9		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑦))
10	8, 9	sseq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)))
11	10	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))))
12		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)))
13		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
14	12, 13	sseq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑁))
17		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑁))
18	16, 17	sseq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
19	18	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))))
20		relexpss1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
21		relexpss1d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22	21, 20	ssexd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22	relexp1d 14981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) = 𝐴)
24	21	relexp1d 14981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑟1) = 𝐵)
25	20, 23, 24	3sstr4d 4029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))
26		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))
27	20	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
28	26, 27	coss12d 14924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴) ⊆ ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
29	22	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
30		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
31		relexpsucnnr 14977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
32	29, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
33	21	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
34		relexpsucnnr 14977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
35	33, 30, 34	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
36	28, 32, 35	3sstr4d 4029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	36	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
38	37	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
39	7, 11, 15, 19, 25, 38	nnind 12235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝜑)
41		dmss 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
42		rnss 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
43	41, 42	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵))
44		unss12 4182	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵) → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
45	20, 43, 44	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
46		ssres2 6009	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
47	40, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
48		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝑁 = 0)
49	48	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = (𝐴↑𝑟0))
50		relexp0g 14974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
51	40, 22, 50	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
52	49, 51	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
53	48	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = (𝐵↑𝑟0))
54		relexp0g 14974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
55	40, 21, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
56	53, 55	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
57	47, 52, 56	3sstr4d 4029	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))
58	57	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
59	39, 58	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
60	3, 59	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ↑_𝑟crelexp 14971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-relexp 14972

This theorem is referenced by:  corcltrcl  42793  cotrclrcl  42796