Theorem relexpss1d 41202

Description: The relational power of a subset is a subset. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpss1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
relexpss1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
relexpss1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpss1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Proof of Theorem relexpss1d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpss1d.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elnn0 12165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟1))
5		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟1))
6	4, 5	sseq12d 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1)))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))))
8		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑦))
9		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑦))
10	8, 9	sseq12d 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)))
11	10	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))))
12		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)))
13		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
14	12, 13	sseq12d 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑁))
17		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑁))
18	16, 17	sseq12d 3950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
19	18	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))))
20		relexpss1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
21		relexpss1d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22	21, 20	ssexd 5243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22	relexp1d 14668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) = 𝐴)
24	21	relexp1d 14668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑟1) = 𝐵)
25	20, 23, 24	3sstr4d 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))
26		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))
27	20	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
28	26, 27	coss12d 14611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴) ⊆ ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
29	22	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
30		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
31		relexpsucnnr 14664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
32	29, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
33	21	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
34		relexpsucnnr 14664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
35	33, 30, 34	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
36	28, 32, 35	3sstr4d 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	36	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
38	37	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
39	7, 11, 15, 19, 25, 38	nnind 11921	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝜑)
41		dmss 5800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
42		rnss 5837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
43	41, 42	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵))
44		unss12 4112	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵) → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
45	20, 43, 44	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
46		ssres2 5908	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
47	40, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
48		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝑁 = 0)
49	48	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = (𝐴↑𝑟0))
50		relexp0g 14661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
51	40, 22, 50	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
52	49, 51	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
53	48	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = (𝐵↑𝑟0))
54		relexp0g 14661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
55	40, 21, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
56	53, 55	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
57	47, 52, 56	3sstr4d 3964	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))
58	57	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
59	39, 58	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
60	3, 59	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   I cid 5479  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  corcltrcl  41236  cotrclrcl  41239