Theorem relexpss1d 44704

Description: The relational power of a subset is a subset. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpss1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
relexpss1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
relexpss1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpss1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Proof of Theorem relexpss1d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpss1d.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elnn0 12608	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟1))
5		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟1))
6	4, 5	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1)))
7	6	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))))
8		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑦))
9		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑦))
10	8, 9	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)))
11	10	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))))
12		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)))
13		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
14	12, 13	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1))))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑁))
17		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑁))
18	16, 17	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
19	18	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))))
20		relexpss1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
21		relexpss1d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22	21, 20	ssexd 5286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22	relexp1d 15182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) = 𝐴)
24	21	relexp1d 15182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑟1) = 𝐵)
25	20, 23, 24	3sstr4d 3986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))
26		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))
27	20	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
28	26, 27	coss12d 15125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴) ⊆ ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
29	22	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
30		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
31		relexpsucnnr 15178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
33	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
34		relexpsucnnr 15178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
35	33, 30, 34	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
36	28, 32, 35	3sstr4d 3986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	36	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
38	37	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
39	7, 11, 15, 19, 25, 38	nnind 12353	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
40		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝜑)
41		dmss 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
42		rnss 5921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
43	41, 42	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵))
44		unss12 4134	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵) → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
45	20, 43, 44	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
46		ssres2 5995	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
47	40, 45, 46	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
48		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝑁 = 0)
49	48	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = (𝐴↑𝑟0))
50		relexp0g 15175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
51	40, 22, 50	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
52	49, 51	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
53	48	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = (𝐵↑𝑟0))
54		relexp0g 15175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
55	40, 21, 54	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
56	53, 55	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
57	47, 52, 56	3sstr4d 3986	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))
58	57	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
59	39, 58	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
60	3, 59	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ↑_𝑟crelexp 15172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-relexp 15173

This theorem is used by:  corcltrcl  44738  cotrclrcl  44741