Theorem relexpss1d 44281

Description: The relational power of a subset is a subset. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpss1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
relexpss1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
relexpss1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpss1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Proof of Theorem relexpss1d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpss1d.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elnn0 12483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟1))
5		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟1))
6	4, 5	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1)))
7	6	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))))
8		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑦))
9		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑦))
10	8, 9	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)))
11	10	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))))
12		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)))
13		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
14	12, 13	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1))))
15	14	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑟𝑥) = (𝐴↑𝑟𝑁))
17		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐵↑𝑟𝑥) = (𝐵↑𝑟𝑁))
18	16, 17	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥) ↔ (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
19	18	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑥) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))))
20		relexpss1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
21		relexpss1d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22	21, 20	ssexd 5280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	22	relexp1d 15042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) = 𝐴)
24	21	relexp1d 15042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑟1) = 𝐵)
25	20, 23, 24	3sstr4d 3991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟1) ⊆ (𝐵↑𝑟1))
26		simp3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦))
27	20	3ad2ant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
28	26, 27	coss12d 14985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴) ⊆ ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
29	22	3ad2ant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
30		simp1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
31		relexpsucnnr 15038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
32	29, 30, 31	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑟𝑦) ∘ 𝐴))
33	21	3ad2ant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
34		relexpsucnnr 15038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
35	33, 30, 34	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((𝐵↑𝑟𝑦) ∘ 𝐵))
36	28, 32, 35	3sstr4d 3991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	36	3exp 1132	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦) → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
38	37	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑦) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑦)) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ (𝐵↑𝑟(𝑦 + 1)))))
39	7, 11, 15, 19, 25, 38	nnind 12228	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
40		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝜑)
41		dmss 5878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
42		rnss 5915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
43	41, 42	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵))
44		unss12 4140	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵) → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
45	20, 43, 44	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵))
46		ssres2 5990	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
47	40, 45, 46	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)) ⊆ ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
48		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → 𝑁 = 0)
49	48	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = (𝐴↑𝑟0))
50		relexp0g 15035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
51	40, 22, 50	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
52	49, 51	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)))
53	48	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = (𝐵↑𝑟0))
54		relexp0g 15035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
55	40, 21, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
56	53, 55	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐵↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝐵 ∪ ran 𝐵)))
57	47, 52, 56	3sstr4d 3991	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))
58	57	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
59	39, 58	jaoi 868	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁)))
60	3, 59	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑟𝑁) ⊆ (𝐵↑𝑟𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904   I cid 5541  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ↑_𝑟crelexp 15032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-seq 14015  df-relexp 15033

This theorem is referenced by:  corcltrcl  44315  cotrclrcl  44318