Theorem sshhococi 31475

Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sshjococ.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
sshhococi	⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sshjococ.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		ococss 31222	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4		sshjococ.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		ococss 31222	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7		unss12 4151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
9	1, 4	unssi 4154	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
10		occl 31233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
12	11	choccli 31236	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
13	12	chssii 31160	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14		occl 31233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
15	4, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
16	15	choccli 31236	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
17	16	chssii 31160	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
18	13, 17	unssi 4154	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
19	9, 18	occon2i 31218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
20	8, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21		sshjval 31279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
22	1, 4, 21	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
23	12, 16	chjvali 31282	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
24	20, 22, 23	3sstr4i 3998	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25		ssun1 4141	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
26		ococss 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
28	25, 27	sstri 3956	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
29	28, 22	sseqtrri 3996	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
30		sshjcl 31284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
31	1, 4, 30	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
32	31	chssii 31160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
33	1, 32	occon2i 31218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	29, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35		ssun2 4142	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
36	35, 27	sstri 3956	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36, 22	sseqtrri 3996	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
38	4, 32	occon2i 31218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
40	31	choccli 31236	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
41	40	choccli 31236	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∈ Cℋ
42	12, 16, 41	chlubii 31401	. . . 4 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
43	34, 39, 42	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
44	31	ococi 31334	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
45	43, 44	sseqtri 3995	. 2 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
46	24, 45	eqssi 3963	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ℋchba 30848   C_ℋ cch 30858  ⊥cort 30859   ∨_ℋ chj 30862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-lm 23116  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cfil 25155  df-cau 25156  df-cmet 25157  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ssp 30651  df-ph 30742  df-cbn 30792  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-shs 31237  df-chj 31239

This theorem is referenced by: (None)