Theorem sshhococi 32148

Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sshjococ.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
sshhococi	⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sshjococ.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		ococss 31895	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4		sshjococ.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		ococss 31895	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7		unss12 4134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
8	3, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
9	1, 4	unssi 4137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
10		occl 31906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
12	11	choccli 31909	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
13	12	chssii 31833	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14		occl 31906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
15	4, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
16	15	choccli 31909	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
17	16	chssii 31833	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
18	13, 17	unssi 4137	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
19	9, 18	occon2i 31891	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
20	8, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21		sshjval 31952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
22	1, 4, 21	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
23	12, 16	chjvali 31955	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
24	20, 22, 23	3sstr4i 3982	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25		ssun1 4124	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
26		ococss 31895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
28	25, 27	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
29	28, 22	sseqtrri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
30		sshjcl 31957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
31	1, 4, 30	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
32	31	chssii 31833	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
33	1, 32	occon2i 31891	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	29, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35		ssun2 4125	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
36	35, 27	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36, 22	sseqtrri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
38	4, 32	occon2i 31891	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
40	31	choccli 31909	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
41	40	choccli 31909	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∈ Cℋ
42	12, 16, 41	chlubii 32074	. . . 4 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
43	34, 39, 42	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
44	31	ococi 32007	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
45	43, 44	sseqtri 3979	. 2 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
46	24, 45	eqssi 3947	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   ∨_ℋ chj 31535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-chj 31912

This theorem is used by: (None)