Theorem sshhococi 31574

Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sshjococ.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
sshhococi	⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sshjococ.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		ococss 31321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4		sshjococ.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		ococss 31321	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7		unss12 4197	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
9	1, 4	unssi 4200	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
10		occl 31332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
12	11	choccli 31335	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
13	12	chssii 31259	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14		occl 31332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
15	4, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
16	15	choccli 31335	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
17	16	chssii 31259	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
18	13, 17	unssi 4200	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
19	9, 18	occon2i 31317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
20	8, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21		sshjval 31378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
22	1, 4, 21	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
23	12, 16	chjvali 31381	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
24	20, 22, 23	3sstr4i 4038	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25		ssun1 4187	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
26		ococss 31321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
28	25, 27	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
29	28, 22	sseqtrri 4032	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
30		sshjcl 31383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
31	1, 4, 30	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
32	31	chssii 31259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
33	1, 32	occon2i 31317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	29, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35		ssun2 4188	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
36	35, 27	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36, 22	sseqtrri 4032	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
38	4, 32	occon2i 31317	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
40	31	choccli 31335	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
41	40	choccli 31335	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∈ Cℋ
42	12, 16, 41	chlubii 31500	. . . 4 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
43	34, 39, 42	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
44	31	ococi 31433	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
45	43, 44	sseqtri 4031	. 2 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
46	24, 45	eqssi 4011	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ℋchba 30947   C_ℋ cch 30957  ⊥cort 30958   ∨_ℋ chj 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-chj 31338

This theorem is referenced by: (None)