Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sshhococi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sshhococi 28977
 Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sshjococ.1 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
sshhococi (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi
StepHypRef Expression
1 sshjococ.1 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
2 ococss 28724 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4 sshjococ.2 . . . . . 6 𝐵 ⊆ ℋ
5 ococss 28724 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7 unss12 4007 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
83, 6, 7mp2an 682 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
91, 4unssi 4010 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
10 occl 28735 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
1211choccli 28738 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C
1312chssii 28660 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14 occl 28735 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ C )
154, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐵) ∈ C
1615choccli 28738 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ C
1716chssii 28660 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
1813, 17unssi 4010 . . . . 5 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
199, 18occon2i 28720 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
208, 19ax-mp 5 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21 sshjval 28781 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
221, 4, 21mp2an 682 . . 3 (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2312, 16chjvali 28784 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
2420, 22, 233sstr4i 3862 . 2 (𝐴 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25 ssun1 3998 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
26 ococss 28724 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
279, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2825, 27sstri 3829 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2928, 22sseqtr4i 3856 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
30 sshjcl 28786 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
311, 4, 30mp2an 682 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
3231chssii 28660 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ⊆ ℋ
331, 32occon2i 28720 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3429, 33ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
35 ssun2 3999 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3635, 27sstri 3829 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
3736, 22sseqtr4i 3856 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
384, 32occon2i 28720 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3937, 38ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4031choccli 28738 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) ∈ C
4140choccli 28738 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∈ C
4212, 16, 41chlubii 28903 . . . 4 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
4334, 39, 42mp2an 682 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4431ococi 28836 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝐴 𝐵)
4543, 44sseqtri 3855 . 2 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 𝐵)
4624, 45eqssi 3836 1 (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ℋchba 28348   Cℋ cch 28358  ⊥cort 28359   ∨ℋ chj 28362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-chj 28741 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator