Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sshhococi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sshhococi 29327
 Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sshjococ.1 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2 𝐵 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
sshhococi (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi
StepHypRef Expression
1 sshjococ.1 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
2 ococss 29074 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4 sshjococ.2 . . . . . 6 𝐵 ⊆ ℋ
5 ococss 29074 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7 unss12 4133 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
83, 6, 7mp2an 691 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
91, 4unssi 4136 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
10 occl 29085 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
1211choccli 29088 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C
1312chssii 29012 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14 occl 29085 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ C )
154, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐵) ∈ C
1615choccli 29088 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ C
1716chssii 29012 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
1813, 17unssi 4136 . . . . 5 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
199, 18occon2i 29070 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
208, 19ax-mp 5 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21 sshjval 29131 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
221, 4, 21mp2an 691 . . 3 (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2312, 16chjvali 29134 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
2420, 22, 233sstr4i 3985 . 2 (𝐴 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25 ssun1 4123 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
26 ococss 29074 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
279, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2825, 27sstri 3951 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
2928, 22sseqtrri 3979 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
30 sshjcl 29136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
311, 4, 30mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
3231chssii 29012 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ⊆ ℋ
331, 32occon2i 29070 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3429, 33ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
35 ssun2 4124 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
3635, 27sstri 3951 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
3736, 22sseqtrri 3979 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
384, 32occon2i 29070 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
3937, 38ax-mp 5 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4031choccli 29088 . . . . . 6 (⊥‘(𝐴 𝐵)) ∈ C
4140choccli 29088 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∈ C
4212, 16, 41chlubii 29253 . . . 4 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))))
4334, 39, 42mp2an 691 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵)))
4431ococi 29186 . . 3 (⊥‘(⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝐴 𝐵)
4543, 44sseqtri 3978 . 2 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 𝐵)
4624, 45eqssi 3958 1 (𝐴 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ℋchba 28700   Cℋ cch 28710  ⊥cort 28711   ∨ℋ chj 28714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr1 28789  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866  ax-hcompl 28983 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-lm 21832  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-dip 28482  df-ssp 28503  df-ph 28594  df-cbn 28644  df-hnorm 28749  df-hba 28750  df-hvsub 28752  df-hlim 28753  df-hcau 28754  df-sh 28988  df-ch 29002  df-oc 29033  df-ch0 29034  df-shs 29089  df-chj 29091 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator