Theorem sshhococi 31638

Description: The join of two Hilbert space subsets (not necessarily closed subspaces) equals the join of their closures (double orthocomplements). (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sshjococ.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
sshjococ.2	⊢ 𝐵 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
sshhococi	⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem sshhococi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sshjococ.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
2		ococss 31385	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))
4		sshjococ.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		ococss 31385	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))
7		unss12 4142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
8	3, 6, 7	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
9	1, 4	unssi 4145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
10		occl 31396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
12	11	choccli 31399	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
13	12	chssii 31323	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ
14		occl 31396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
15	4, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
16	15	choccli 31399	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
17	16	chssii 31323	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ ℋ
18	13, 17	unssi 4145	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ ℋ
19	9, 18	occon2i 31381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵))))))
20	8, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
21		sshjval 31442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
22	1, 4, 21	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
23	12, 16	chjvali 31445	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) = (⊥‘(⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∪ (⊥‘(⊥‘𝐵)))))
24	20, 22, 23	3sstr4i 3987	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
25		ssun1 4132	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
26		ococss 31385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
28	25, 27	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
29	28, 22	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
30		sshjcl 31447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
31	1, 4, 30	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
32	31	chssii 31323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
33	1, 32	occon2i 31381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	29, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35		ssun2 4133	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
36	35, 27	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
37	36, 22	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
38	4, 32	occon2i 31381	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
40	31	choccli 31399	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
41	40	choccli 31399	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∈ Cℋ
42	12, 16, 41	chlubii 31564	. . . 4 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
43	34, 39, 42	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
44	31	ococi 31497	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
45	43, 44	sseqtri 3984	. 2 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
46	24, 45	eqssi 3952	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ (⊥‘(⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31011   C_ℋ cch 31021  ⊥cort 31022   ∨_ℋ chj 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31091  ax-hfvadd 31092  ax-hvcom 31093  ax-hvass 31094  ax-hv0cl 31095  ax-hvaddid 31096  ax-hfvmul 31097  ax-hvmulid 31098  ax-hvmulass 31099  ax-hvdistr1 31100  ax-hvdistr2 31101  ax-hvmul0 31102  ax-hfi 31171  ax-his1 31174  ax-his2 31175  ax-his3 31176  ax-his4 31177  ax-hcompl 31294

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19013  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-cnfld 21325  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-lm 23188  df-haus 23274  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-cfil 25226  df-cau 25227  df-cmet 25228  df-grpo 30585  df-gid 30586  df-ginv 30587  df-gdiv 30588  df-ablo 30637  df-vc 30651  df-nv 30684  df-va 30687  df-ba 30688  df-sm 30689  df-0v 30690  df-vs 30691  df-nmcv 30692  df-ims 30693  df-dip 30793  df-ssp 30814  df-ph 30905  df-cbn 30955  df-hnorm 31060  df-hba 31061  df-hvsub 31063  df-hlim 31064  df-hcau 31065  df-sh 31299  df-ch 31313  df-oc 31344  df-ch0 31345  df-shs 31400  df-chj 31402

This theorem is referenced by: (None)