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Theorem pibt2 37137
Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 37134 and pibp21 37135 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pibt2.x 𝑋 = 𝐽
pibt2.19 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(( 𝑥 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑥 = 𝑧)}
pibt2.21 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
Assertion
Ref Expression
pibt2 (𝐽𝐶𝐽𝑊)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐽,𝑥,𝑧   𝑦,𝑋,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pibt2.x . . . 4 𝑋 = 𝐽
2 pibt2.19 . . . 4 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(( 𝑥 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑥 = 𝑧)}
31, 2pibp19 37134 . . 3 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧)))
43simplbi 496 . 2 (𝐽𝐶𝐽 ∈ Top)
5 eldif 3956 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6 velpw 4602 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋𝑏𝑋)
76anbi1i 622 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8 vex 3466 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
9 infinf 10600 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
118infcntss 9357 . . . . . . . . 9 (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
1210, 11sylbi 216 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
1312ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
14 sstr 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑏𝑋) → 𝑎𝑋)
1514ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑋𝑎𝑏) → 𝑎𝑋)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽𝐶𝑎 ≈ ω))
18 0ss 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ∅ ⊆ 𝑎
19 sseq1 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
2018, 19mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
221cldlp 23142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
2421, 23mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
254, 24sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
2625adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
281cldss 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎𝑋)
291nlpineqsn 37128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}))
30 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → (𝑛𝑎) = {𝑝})
3130reximi 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝})
3231ralimi 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝})
33 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑎 ∈ V
34 ineq1 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = (𝑓𝑝) → (𝑛𝑎) = ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎))
3534eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = (𝑓𝑝) → ((𝑛𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
3633, 35ac6s 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37 fvineqsnf1 37130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎1-1𝐽)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
3937, 38jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4039eximi 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃𝑓(𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4129, 32, 36, 404syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4228, 41syl3an2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
434, 42syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽𝐶𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44433adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → 𝑓:𝑎1-1𝐽)
46 vsnid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑝 ∈ {𝑝}
47 eleq2 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
4846, 47mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎))
4948elin1d 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓𝑝))
5049ralimi 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝𝑎 𝑝 ∈ (𝑓𝑝))
51 ralssiun 37127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (∀𝑝𝑎 𝑝 ∈ (𝑓𝑝) → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
54 f1fn 6791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓 Fn 𝑎)
55 fniunfv 7254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓 Fn 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓:𝑎1-1𝐽 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5853, 57sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ran 𝑓)
591cldopn 23023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
6059ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
6160anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽𝑎 ran 𝑓))
6261ancomd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))
6328ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎𝑋)
6463anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)))
65 unisng 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
6665eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋𝑎) = {(𝑋𝑎)})
67 eqimss 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) = {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)})
68 ssun4 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)}))
69 uniun 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) = ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)})
7068, 69sseqtrrdi 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
7166, 67, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
72 ssun3 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑎 ran 𝑓𝑎 ⊆ ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)}))
7372, 69sseqtrrdi 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑎 ran 𝑓𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
74 uncom 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = ((𝑋𝑎) ∪ 𝑎)
75 undif1 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑋𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋𝑎)
7674, 75eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = (𝑋𝑎)
77 ssequn2 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑋 ↔ (𝑋𝑎) = 𝑋)
7877biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑎𝑋 → (𝑋𝑎) = 𝑋)
7976, 78eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑎𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = 𝑋)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = 𝑋)
81 unss12 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ ( (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
82 unidm 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ( (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})
8381, 82sseqtrdi 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8580, 84eqsstrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8673, 85sylanr1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8771, 86sylanr2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
89 f1f 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓:𝑎𝐽)
90 frn 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑓:𝑎𝐽 → ran 𝑓𝐽)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑓:𝑎1-1𝐽 → ran 𝑓𝐽)
921topopn 22896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
931difopn 23026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋𝐽𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
9492, 93sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
9594snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽)
96 unss12 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((ran 𝑓𝐽 ∧ {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ (𝐽𝐽))
97 unidm 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐽𝐽) = 𝐽
9896, 97sseqtrdi 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓𝐽 ∧ {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
9991, 95, 98syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100 uniss 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
101100, 1sseqtrrdi 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
10488, 103eqssd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10564, 104syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10662, 105syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10758, 106sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
108107ancom1s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
109108ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
11045, 109mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
111110impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
112111adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
1134, 112sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
114 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑓 ∈ V
115 f1f1orn 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓:𝑎1-1-onto→ran 𝑓)
116 f1oen3g 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117114, 115, 116sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑎 ≈ ran 𝑓)
118 enen1 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119 endom 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120 snfi 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 {(𝑋𝑎)} ∈ Fin
121 isfinite 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ({(𝑋𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋𝑎)} ≺ ω)
122120, 121mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 {(𝑋𝑎)} ≺ ω
123 sdomdom 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ({(𝑋𝑎)} ≺ ω → {(𝑋𝑎)} ≼ ω)
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {(𝑋𝑎)} ≼ ω
125 unctb 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
126119, 124, 125sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
127118, 126biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
128117, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑎1-1𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
129128impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
130129adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
131130ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
13299ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133132adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134133adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
1354, 134sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136 elpw2g 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137136biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138137ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139135, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
1403simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
141 unieq 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑠 = 𝑧 𝑠 = 𝑧)
142141eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = 𝑠𝑋 = 𝑧))
143142cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧)
144143imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
145144ralbii 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
146140, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
147 unieq 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → 𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
148147eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑋 = 𝑦𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
149 breq1 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
150148, 149anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → ((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)))
151 pweq 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
152151ineq1d 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin))
153152rexeqdv 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
154150, 153imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
155154rspccv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
156146, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
157156ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
158139, 157mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
159113, 131, 158mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)
160 df-rex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠))
161 elinel1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
162 velpw 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
163 ssdif 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∖ {(𝑋𝑎)}))
164 difun2 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∖ {(𝑋𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋𝑎)})
165163, 164sseqtrdi 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋𝑎)}))
166165difss2d 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167162, 166sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168161, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170 sseq2 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 = 𝑠 → (𝑎𝑋𝑎 𝑠))
171 uniexg 7743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
1721, 171eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173 difexg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑎) ∈ V)
174 unisng 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋𝑎) ∈ V → {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
175172, 173, 1743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐽 ∈ Top → {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
176175ineq2d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 {(𝑋𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋𝑎)))
177 disjdif 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑎 ∩ (𝑋𝑎)) = ∅
178176, 177eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 {(𝑋𝑎)}) = ∅)
179 inunissunidif 37095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎 {(𝑋𝑎)}) = ∅ → (𝑎 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
180178, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
181170, 180sylan9bbr 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑋𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
182181biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑋𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
183182impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑋 = 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
184169, 183anim12d 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
1854, 28, 184syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐽𝐶𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
186185adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
187186anim2d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠)) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))))
188117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189 fvineqsneq 37132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) = ran 𝑓)
19054, 189sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) = ran 𝑓)
191 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑠 ∈ V
192 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑠
193 ssdomg 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ≼ 𝑠))
194191, 192, 193mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ≼ 𝑠
195190, 194eqbrtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → ran 𝑓𝑠)
196 endomtr 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓𝑠) → 𝑎𝑠)
197188, 195, 196syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑎𝑠)
198187, 197syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠)) → 𝑎𝑠))
199198expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑎𝑠))
200 elinel2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201200adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203199, 202jcad 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
204203eximdv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
205160, 204biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
206159, 205mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
207206ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
208207exlimdv 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
209208anass1rs 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
2102093adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
21144, 210mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
21217, 26, 27, 211syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
213212anasss 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
214 isfinite 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215 domsdomtr 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎𝑠𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216214, 215sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217216exlimiv 1926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218 sdomnen 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219213, 217, 2183syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
22016, 219pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221 imnan 398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222220, 221sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) → (𝑎𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223222imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224 neq0 4345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225223, 224sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
2261lpss 23134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
2274, 226sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽𝐶𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228227adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229228sseld 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠𝑋))
230229ancrd 550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231230eximdv 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232 df-rex 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233231, 232imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234225, 233mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
23515, 234sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
2361lpss3 23136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏𝑋𝑎𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2372363expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2384, 237sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239238adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240239sseld 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241240reximdv 3160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → (∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242235, 241mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243242an42s 659 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝐶𝑏𝑋) ∧ (𝑎𝑏𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244243ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐶𝑏𝑋) → ((𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245244exlimdv 1929 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐶𝑏𝑋) → (∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246245adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
24713, 246mpd 15 . . . . . 6 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2487, 247sylan2b 592 . . . . 5 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2495, 248sylan2b 592 . . . 4 ((𝐽𝐶𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250249ralrimiva 3136 . . 3 (𝐽𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252 fveq2 6893 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253252adantr 479 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254251, 253eleq12d 2820 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255254cbvrexdva 3228 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256255cbvralvw 3225 . . 3 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257250, 256sylibr 233 . 2 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258 pibt2.21 . . 3 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
2591, 258pibp21 37135 . 2 (𝐽𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
2604, 257, 259sylanbrc 581 1 (𝐽𝐶𝐽𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4322  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   cuni 4905   ciun 4993   class class class wbr 5145  ran crn 5675   Fn wfn 6541  wf 6542  1-1wf1 6543  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  ωcom 7868  cen 8963  cdom 8964  csdm 8965  Fincfn 8966  Topctop 22883  Clsdccld 23008  limPtclp 23126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-reg 9628  ax-inf2 9677  ax-ac2 10497
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-oi 9546  df-r1 9800  df-rank 9801  df-dju 9937  df-card 9975  df-ac 10152  df-top 22884  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128
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