pibt2 - Mathbox for ML

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Theorem pibt2 37534

Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 37531 and pibp21 37532 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pibt2.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pibt2.19	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
pibt2.21	⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}

**Assertion**
Ref	Expression
pibt2	⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐽,𝑥,𝑧 𝑦,𝑋,𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pibt2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		pibt2.19	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
3	1, 2	pibp19 37531	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ Top)
5		eldif 3908	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6		velpw 4556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑋)
7	6	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8		vex 3441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
9		infinf 10468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
11	8	infcntss 9218	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
13	12	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
14		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω))
18		0ss 4349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
19		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
20	18, 19	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
22	1	cldlp 23085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
24	21, 23	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
25	4, 24	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	25	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
28	1	cldss 22964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
29	1	nlpineqsn 37525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
31	30	reximi 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
32	31	ralimi 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
33		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑎 ∈ V
34		ineq1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → (𝑛 ∩ 𝑎) = ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
35	34	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → ((𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
36	33, 35	ac6s 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37		fvineqsnf1 37527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
39	37, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
40	39	eximi 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
41	29, 32, 36, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
42	28, 41	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
43	4, 42	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44	43	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
46		vsnid 4617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 𝑝 ∈ {𝑝}
47		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
48	46, 47	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
49	48	elin1d 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
50	49	ralimi 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
51		ralssiun 37524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
54		f1fn 6728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓 Fn 𝑎)
55		fniunfv 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓 Fn 𝑎 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
58	53, 57	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓)
59	1	cldopn 22966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
61	60	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓))
62	61	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))
63	28	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
64	63	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)))
65		unisng 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
66	65	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
67		eqimss 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
68		ssun4 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
69		uniun 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
70	68, 69	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
71	66, 67, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
72		ssun3 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
73	72, 69	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
74		uncom 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎)
75		undif1 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋 ∪ 𝑎)
76	74, 75	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = (𝑋 ∪ 𝑎)
77		ssequn2 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
78	77	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
79	76, 78	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
81		unss12 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
82		unidm 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
83	81, 82	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
85	80, 84	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
86	73, 85	sylanr1 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
87	71, 86	sylanr2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
89		f1f 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎⟶𝐽)
90		frn 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎⟶𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
92	1	topopn 22841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
93	1	difopn 22969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
94	92, 93	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
95	94	snssd 4762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽)
96		unss12 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (𝐽 ∪ 𝐽))
97		unidm 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∪ 𝐽) = 𝐽
98	96, 97	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
99	91, 95, 98	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100		uniss 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 1	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
104	88, 103	eqssd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
105	64, 104	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
106	62, 105	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
107	58, 106	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
108	107	ancom1s 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
109	108	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
110	45, 109	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
111	110	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
112	111	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
113	4, 112	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
114		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
115		f1f1orn 6782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓)
116		f1oen3g 8899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117	114, 115, 116	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
118		enen1 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119		endom 8912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120		snfi 8976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin
121		isfinite 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω)
122	120, 121	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω
123		sdomdom 8913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω
125		unctb 10106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
126	119, 124, 125	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
127	118, 126	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
128	117, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
129	128	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
130	129	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
131	130	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
132	99	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133	132	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134	133	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
135	4, 134	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136		elpw2g 5275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137	136	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138	137	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139	135, 138	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
140	3	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
141		unieq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑧)
142	141	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ 𝑋 = ∪ 𝑧))
143	142	cbvrexvw 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)
144	143	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
145	144	ralbii 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
146	140, 145	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
147		unieq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ∪ 𝑦 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
148	147	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
149		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
150	148, 149	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)))
151		pweq 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
152	151	ineq1d 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin))
153	152	rexeqdv 3294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
154	150, 153	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
155	154	rspccv 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
156	146, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
157	156	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
158	139, 157	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
159	113, 131, 158	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)
160		df-rex 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠))
161		elinel1 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
162		velpw 4556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
163		ssdif 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
164		difun2 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
165	163, 164	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
166	165	difss2d 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167	162, 166	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168	161, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝑠 → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑠))
171		uniexg 7682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
172	1, 171	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173		difexg 5271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V)
174		unisng 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
175	172, 173, 174	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
176	175	ineq2d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)))
177		disjdif 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ∅
178	176, 177	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅)
179		inunissunidif 37492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅ → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
181	170, 180	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
182	181	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
183	182	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑋 = ∪ 𝑠 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
184	169, 183	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
185	4, 28, 184	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
186	185	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
187	186	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))))
188	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189		fvineqsneq 37529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
190	54, 189	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
191		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑠 ∈ V
192		difss 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠
193		ssdomg 8933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠))
194	191, 192, 193	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠
195	190, 194	eqbrtrrdi 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → ran 𝑓 ≼ 𝑠)
196		endomtr 8945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 ≼ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠)
197	188, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≼ 𝑠)
198	187, 197	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → 𝑎 ≼ 𝑠))
199	198	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠))
200		elinel2 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201	200	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203	199, 202	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
204	203	eximdv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
205	160, 204	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
206	159, 205	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
207	206	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
208	207	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
209	208	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
210	209	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
211	44, 210	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
212	17, 26, 27, 211	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
213	212	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
214		isfinite 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215		domsdomtr 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216	214, 215	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217	216	exlimiv 1931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218		sdomnen 8914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219	213, 217, 218	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
220	16, 219	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222	220, 221	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223	222	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224		neq0 4301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225	223, 224	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
226	1	lpss 23077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
227	4, 226	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228	227	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229	228	sseld 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ 𝑋))
230	229	ancrd 551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231	230	eximdv 1918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232		df-rex 3058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233	231, 232	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234	225, 233	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
235	15, 234	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
236	1	lpss3 23079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
237	236	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
238	4, 237	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239	238	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240	239	sseld 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241	240	reximdv 3148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242	235, 241	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243	242	an42s 661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244	243	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245	244	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246	245	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
247	13, 246	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
248	7, 247	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
249	5, 248	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250	249	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253	252	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254	251, 253	eleq12d 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255	254	cbvrexdva 3214	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256	255	cbvralvw 3211	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257	250, 256	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258		pibt2.21	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
259	1, 258	pibp21 37532	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
260	4, 257, 259	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2113 ∀wral 3048 ∃wrex 3057 {crab 3396 Vcvv 3437 ∖ cdif 3895 ∪ cun 3896 ∩ cin 3897 ⊆ wss 3898 ∅c0 4282 𝒫 cpw 4551 {csn 4577 ∪ cuni 4860 ∪ ciun 4943 class class class wbr 5095 ran crn 5622 Fn wfn 6484 ⟶wf 6485 –1-1→wf1 6486 –1-1-onto→wf1o 6488 ‘cfv 6489 ωcom 7805 ≈ cen 8876 ≼ cdom 8877 ≺ csdm 8878 Fincfn 8879 Topctop 22828 Clsdccld 22951 limPtclp 23069

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-reg 9489 ax-inf2 9542 ax-ac2 10365

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-iin 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-isom 6498 df-riota 7312 df-ov 7358 df-om 7806 df-1st 7930 df-2nd 7931 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-2o 8395 df-er 8631 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-oi 9407 df-r1 9668 df-rank 9669 df-dju 9805 df-card 9843 df-ac 10018 df-top 22829 df-cld 22954 df-ntr 22955 df-cls 22956 df-nei 23033 df-lp 23071

This theorem is referenced by: (None)

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