pibt2 - Mathbox for ML

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Theorem pibt2 37733

Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 37730 and pibp21 37731 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pibt2.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pibt2.19	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
pibt2.21	⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}

**Assertion**
Ref	Expression
pibt2	⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐽,𝑥,𝑧 𝑦,𝑋,𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pibt2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		pibt2.19	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
3	1, 2	pibp19 37730	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)))
4	3	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ Top)
5		eldif 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6		velpw 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑋)
7	6	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
9		infinf 10489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
11	8	infcntss 9233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
13	12	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
14		sstr 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
16		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω))
18		0ss 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
19		sseq1 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
20	18, 19	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
22	1	cldlp 23115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
24	21, 23	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
25	4, 24	sylanl1 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	25	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
28	1	cldss 22994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
29	1	nlpineqsn 37724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
31	30	reximi 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
32	31	ralimi 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
33		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑎 ∈ V
34		ineq1 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → (𝑛 ∩ 𝑎) = ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
35	34	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → ((𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
36	33, 35	ac6s 10406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37		fvineqsnf1 37726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
39	37, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
40	39	eximi 1837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
41	29, 32, 36, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
42	28, 41	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
43	4, 42	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44	43	3adant1r 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
46		vsnid 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 𝑝 ∈ {𝑝}
47		eleq2 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
48	46, 47	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
49	48	elin1d 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
50	49	ralimi 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
51		ralssiun 37723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
54		f1fn 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓 Fn 𝑎)
55		fniunfv 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓 Fn 𝑎 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
58	53, 57	sseqtrd 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓)
59	1	cldopn 22996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
60	59	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
61	60	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓))
62	61	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))
63	28	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
64	63	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)))
65		unisng 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
67		eqimss 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
68		ssun4 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
69		uniun 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
70	68, 69	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
71	66, 67, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
72		ssun3 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
73	72, 69	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
74		uncom 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎)
75		undif1 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋 ∪ 𝑎)
76	74, 75	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = (𝑋 ∪ 𝑎)
77		ssequn2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
78	77	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
79	76, 78	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
81		unss12 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
82		unidm 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
83	81, 82	sseqtrdi 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
85	80, 84	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
86	73, 85	sylanr1 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
87	71, 86	sylanr2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
89		f1f 6736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎⟶𝐽)
90		frn 6675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎⟶𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
92	1	topopn 22871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
93	1	difopn 22999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
94	92, 93	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
95	94	snssd 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽)
96		unss12 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (𝐽 ∪ 𝐽))
97		unidm 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∪ 𝐽) = 𝐽
98	96, 97	sseqtrdi 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
99	91, 95, 98	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100		uniss 4858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 1	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
104	88, 103	eqssd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
105	64, 104	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
106	62, 105	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
107	58, 106	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
108	107	ancom1s 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
109	108	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
110	45, 109	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
111	110	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
112	111	adantlrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
113	4, 112	sylanl1 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
114		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
115		f1f1orn 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓)
116		f1oen3g 8913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117	114, 115, 116	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
118		enen1 9055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119		endom 8926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120		snfi 8990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin
121		isfinite 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω)
122	120, 121	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω
123		sdomdom 8927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω
125		unctb 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
126	119, 124, 125	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
127	118, 126	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
128	117, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
129	128	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
130	129	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
131	130	ad2ant2lr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
132	99	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133	132	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134	133	adantlrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
135	4, 134	sylanl1 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136		elpw2g 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137	136	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138	137	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139	135, 138	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
140	3	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
141		unieq 4861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑧)
142	141	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ 𝑋 = ∪ 𝑧))
143	142	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)
144	143	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
145	144	ralbii 3083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
146	140, 145	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
147		unieq 4861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ∪ 𝑦 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
148	147	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
149		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
150	148, 149	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)))
151		pweq 4555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
152	151	ineq1d 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin))
153	152	rexeqdv 3296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
154	150, 153	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
155	154	rspccv 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
156	146, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
157	156	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
158	139, 157	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
159	113, 131, 158	mp2and 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)
160		df-rex 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠))
161		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
162		velpw 4546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
163		ssdif 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
164		difun2 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
165	163, 164	sseqtrdi 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
166	165	difss2d 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167	162, 166	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168	161, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170		sseq2 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝑠 → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑠))
171		uniexg 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
172	1, 171	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173		difexg 5270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V)
174		unisng 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
175	172, 173, 174	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
176	175	ineq2d 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)))
177		disjdif 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ∅
178	176, 177	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅)
179		inunissunidif 37691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅ → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
181	170, 180	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
182	181	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
183	182	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑋 = ∪ 𝑠 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
184	169, 183	anim12d 610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
185	4, 28, 184	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
186	185	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
187	186	anim2d 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))))
188	117	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189		fvineqsneq 37728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
190	54, 189	sylanl1 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
191		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑠 ∈ V
192		difss 4076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠
193		ssdomg 8947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠))
194	191, 192, 193	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠
195	190, 194	eqbrtrrdi 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → ran 𝑓 ≼ 𝑠)
196		endomtr 8959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 ≼ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠)
197	188, 195, 196	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≼ 𝑠)
198	187, 197	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → 𝑎 ≼ 𝑠))
199	198	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠))
200		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201	200	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203	199, 202	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
204	203	eximdv 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
205	160, 204	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
206	159, 205	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
207	206	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
208	207	exlimdv 1935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
209	208	anass1rs 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
210	209	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
211	44, 210	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
212	17, 26, 27, 211	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
213	212	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
214		isfinite 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215		domsdomtr 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216	214, 215	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217	216	exlimiv 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218		sdomnen 8928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219	213, 217, 218	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
220	16, 219	pm2.65da 817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222	220, 221	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223	222	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224		neq0 4292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225	223, 224	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
226	1	lpss 23107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
227	4, 226	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228	227	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229	228	sseld 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ 𝑋))
230	229	ancrd 551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231	230	eximdv 1919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232		df-rex 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233	231, 232	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234	225, 233	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
235	15, 234	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
236	1	lpss3 23109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
237	236	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
238	4, 237	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239	238	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240	239	sseld 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241	240	reximdv 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242	235, 241	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243	242	an42s 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244	243	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245	244	exlimdv 1935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246	245	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
247	13, 246	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
248	7, 247	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
249	5, 248	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250	249	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253	252	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254	251, 253	eleq12d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255	254	cbvrexdva 3218	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256	255	cbvralvw 3215	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257	250, 256	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258		pibt2.21	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
259	1, 258	pibp21 37731	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
260	4, 257, 259	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2114 ∀wral 3051 ∃wrex 3061 {crab 3389 Vcvv 3429 ∖ cdif 3886 ∪ cun 3887 ∩ cin 3888 ⊆ wss 3889 ∅c0 4273 𝒫 cpw 4541 {csn 4567 ∪ cuni 4850 ∪ ciun 4933 class class class wbr 5085 ran crn 5632 Fn wfn 6493 ⟶wf 6494 –1-1→wf1 6495 –1-1-onto→wf1o 6497 ‘cfv 6498 ωcom 7817 ≈ cen 8890 ≼ cdom 8891 ≺ csdm 8892 Fincfn 8893 Topctop 22858 Clsdccld 22981 limPtclp 23099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-reg 9507 ax-inf2 9562 ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-oi 9425 df-r1 9688 df-rank 9689 df-dju 9825 df-card 9863 df-ac 10038 df-top 22859 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101

This theorem is referenced by: (None)

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