Theorem pibt2 35588

Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 35585 and pibp21 35586 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pibt2.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pibt2.19	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
pibt2.21	⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
pibt2	⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐽,𝑥,𝑧   𝑦,𝑋,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pibt2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		pibt2.19	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
3	1, 2	pibp19 35585	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)))
4	3	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ Top)
5		eldif 3897	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6		velpw 4538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑋)
7	6	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
9		infinf 10322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
11	8	infcntss 9088	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
13	12	ad2antll 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
14		sstr 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
15	14	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
16		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω))
18		0ss 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
19		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
20	18, 19	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
22	1	cldlp 22301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
24	21, 23	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
25	4, 24	sylanl1 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	25	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
28	1	cldss 22180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
29	1	nlpineqsn 35579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}))
30		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
31	30	reximi 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
32	31	ralimi 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
33		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑎 ∈ V
34		ineq1 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → (𝑛 ∩ 𝑎) = ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
35	34	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → ((𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
36	33, 35	ac6s 10240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37	29, 32, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
38		fvineqsnf1 35581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
39		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
40	38, 39	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
41	40	eximi 1837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
42	37, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
43	28, 42	syl3an2 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44	4, 43	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45	44	3adant1r 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
46		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
47		vsnid 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 𝑝 ∈ {𝑝}
48		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
49	47, 48	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
50	49	elin1d 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
51	50	ralimi 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
52		ralssiun 35578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
55		f1fn 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓 Fn 𝑎)
56		fniunfv 7120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓 Fn 𝑎 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
59	54, 58	sseqtrd 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓)
60	1	cldopn 22182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
61	60	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
62	61	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓))
63	62	ancomd 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))
64	28	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
65	64	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)))
66		unisng 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
67	66	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
68		eqimss 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
69		ssun4 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
70		uniun 4864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
71	69, 70	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
72	67, 68, 71	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
73		ssun3 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
74	73, 70	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
75		uncom 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎)
76		undif1 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋 ∪ 𝑎)
77	75, 76	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = (𝑋 ∪ 𝑎)
78		ssequn2 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
79	78	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
80	77, 79	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
82		unss12 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
83		unidm 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
84	82, 83	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
86	81, 85	eqsstrrd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
87	74, 86	sylanr1 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
88	72, 87	sylanr2 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
90		f1f 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎⟶𝐽)
91		frn 6607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎⟶𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
93	1	topopn 22055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
94	1	difopn 22185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
95	93, 94	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
96	95	snssd 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽)
97		unss12 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (𝐽 ∪ 𝐽))
98		unidm 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∪ 𝐽) = 𝐽
99	97, 98	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100	92, 96, 99	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
101		uniss 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ∪ 𝐽)
102	101, 1	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103	100, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
105	89, 104	eqssd 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
106	65, 105	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
107	63, 106	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
108	59, 107	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
109	108	ancom1s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
110	109	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
111	46, 110	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
112	111	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
113	112	adantlrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
114	4, 113	sylanl1 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
115		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
116		f1f1orn 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓)
117		f1oen3g 8754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
118	115, 116, 117	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
119		enen1 8904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
120		endom 8767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
121		snfi 8834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin
122		isfinite 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω)
123	121, 122	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω
124		sdomdom 8768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω)
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω
126		unctb 9961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
127	120, 125, 126	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
128	119, 127	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
129	118, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
130	129	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
131	130	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
132	131	ad2ant2lr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
133	100	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134	133	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
135	134	adantlrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136	4, 135	sylanl1 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
137		elpw2g 5268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽))
138	137	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139	138	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
140	136, 139	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
141	3	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
142		unieq 4850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑧)
143	142	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ 𝑋 = ∪ 𝑧))
144	143	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)
145	144	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
146	145	ralbii 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
147	141, 146	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
148		unieq 4850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ∪ 𝑦 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
149	148	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
150		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
151	149, 150	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)))
152		pweq 4549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
153	152	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin))
154	153	rexeqdv 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
155	151, 154	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
156	155	rspccv 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
157	147, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
158	157	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
159	140, 158	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
160	114, 132, 159	mp2and 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)
161		df-rex 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠))
162		elinel1 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
163		velpw 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
164		ssdif 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
165		difun2 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
166	164, 165	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
167	166	difss2d 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168	163, 167	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169	162, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
171		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝑠 → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑠))
172		uniexg 7593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
173	1, 172	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
174		difexg 5251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V)
175		unisng 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
176	173, 174, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
177	176	ineq2d 4146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)))
178		disjdif 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ∅
179	177, 178	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅)
180		inunissunidif 35546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅ → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
182	171, 181	sylan9bbr 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
183	182	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
184	183	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑋 = ∪ 𝑠 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
185	170, 184	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
186	4, 28, 185	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
187	186	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
188	187	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))))
189	118	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
190		fvineqsneq 35583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
191	55, 190	sylanl1 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
192		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑠 ∈ V
193		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠
194		ssdomg 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠))
195	192, 193, 194	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠
196	191, 195	eqbrtrrdi 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → ran 𝑓 ≼ 𝑠)
197		endomtr 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 ≼ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠)
198	189, 196, 197	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≼ 𝑠)
199	188, 198	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → 𝑎 ≼ 𝑠))
200	199	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠))
201		elinel2 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
204	200, 203	jcad 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
205	204	eximdv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
206	161, 205	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
207	160, 206	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
208	207	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
209	208	exlimdv 1936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
210	209	anass1rs 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
211	210	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
212	45, 211	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
213	17, 26, 27, 212	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
214	213	anasss 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
215		isfinite 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
216		domsdomtr 8899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
217	215, 216	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218	217	exlimiv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
219		sdomnen 8769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
220	214, 218, 219	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
221	16, 220	pm2.65da 814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222		imnan 400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223	221, 222	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
224	223	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
225		neq0 4279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
226	224, 225	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
227	1	lpss 22293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228	4, 227	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229	228	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
230	229	sseld 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ 𝑋))
231	230	ancrd 552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232	231	eximdv 1920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
233		df-rex 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234	232, 233	syl6ibr 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
235	226, 234	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
236	15, 235	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
237	1	lpss3 22295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
238	237	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239	4, 238	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240	239	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
241	240	sseld 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242	241	reximdv 3202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
243	236, 242	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244	243	an42s 658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
245	244	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246	245	exlimdv 1936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
247	246	adantrr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
248	13, 247	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
249	7, 248	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250	5, 249	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251	250	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
252		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
253		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254	253	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
255	252, 254	eleq12d 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256	255	cbvrexdva 3395	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
257	256	cbvralvw 3383	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
258	251, 257	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
259		pibt2.21	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
260	1, 259	pibp21 35586	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
261	4, 258, 260	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  Fincfn 8733  Topctop 22042  Clsdccld 22167  limPtclp 22285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-r1 9522  df-rank 9523  df-dju 9659  df-card 9697  df-ac 9872  df-top 22043  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287

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