pibt2 - Mathbox for ML

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Theorem pibt2 37622

Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 37619 and pibp21 37620 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pibt2.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pibt2.19	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
pibt2.21	⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}

**Assertion**
Ref	Expression
pibt2	⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐽,𝑥,𝑧 𝑦,𝑋,𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pibt2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		pibt2.19	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
3	1, 2	pibp19 37619	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ Top)
5		eldif 3911	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6		velpw 4559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑋)
7	6	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
9		infinf 10477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
11	8	infcntss 9223	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
13	12	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
14		sstr 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω))
18		0ss 4352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
19		sseq1 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
20	18, 19	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
22	1	cldlp 23094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
24	21, 23	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
25	4, 24	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	25	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
28	1	cldss 22973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
29	1	nlpineqsn 37613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
31	30	reximi 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
32	31	ralimi 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
33		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑎 ∈ V
34		ineq1 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → (𝑛 ∩ 𝑎) = ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
35	34	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → ((𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
36	33, 35	ac6s 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37		fvineqsnf1 37615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
39	37, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
40	39	eximi 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
41	29, 32, 36, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
42	28, 41	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
43	4, 42	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44	43	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
46		vsnid 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 𝑝 ∈ {𝑝}
47		eleq2 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
48	46, 47	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
49	48	elin1d 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
50	49	ralimi 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
51		ralssiun 37612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
54		f1fn 6731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓 Fn 𝑎)
55		fniunfv 7193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓 Fn 𝑎 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
58	53, 57	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓)
59	1	cldopn 22975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
61	60	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓))
62	61	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))
63	28	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
64	63	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)))
65		unisng 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
67		eqimss 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
68		ssun4 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
69		uniun 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
70	68, 69	sseqtrrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
71	66, 67, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
72		ssun3 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
73	72, 69	sseqtrrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
74		uncom 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎)
75		undif1 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋 ∪ 𝑎)
76	74, 75	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = (𝑋 ∪ 𝑎)
77		ssequn2 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
78	77	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
79	76, 78	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
81		unss12 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
82		unidm 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
83	81, 82	sseqtrdi 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
85	80, 84	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
86	73, 85	sylanr1 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
87	71, 86	sylanr2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
89		f1f 6730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎⟶𝐽)
90		frn 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎⟶𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
92	1	topopn 22850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
93	1	difopn 22978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
94	92, 93	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
95	94	snssd 4765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽)
96		unss12 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (𝐽 ∪ 𝐽))
97		unidm 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∪ 𝐽) = 𝐽
98	96, 97	sseqtrdi 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
99	91, 95, 98	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100		uniss 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 1	sseqtrrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
104	88, 103	eqssd 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
105	64, 104	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
106	62, 105	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
107	58, 106	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
108	107	ancom1s 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
109	108	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
110	45, 109	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
111	110	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
112	111	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
113	4, 112	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
114		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
115		f1f1orn 6785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓)
116		f1oen3g 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117	114, 115, 116	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
118		enen1 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119		endom 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120		snfi 8980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin
121		isfinite 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω)
122	120, 121	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω
123		sdomdom 8917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω
125		unctb 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
126	119, 124, 125	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
127	118, 126	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
128	117, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
129	128	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
130	129	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
131	130	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
132	99	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133	132	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134	133	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
135	4, 134	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136		elpw2g 5278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137	136	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138	137	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139	135, 138	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
140	3	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
141		unieq 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑧)
142	141	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ 𝑋 = ∪ 𝑧))
143	142	cbvrexvw 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)
144	143	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
145	144	ralbii 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
146	140, 145	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
147		unieq 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ∪ 𝑦 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
148	147	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
149		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
150	148, 149	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)))
151		pweq 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
152	151	ineq1d 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin))
153	152	rexeqdv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
154	150, 153	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
155	154	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
156	146, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
157	156	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
158	139, 157	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
159	113, 131, 158	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)
160		df-rex 3061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠))
161		elinel1 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
162		velpw 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
163		ssdif 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
164		difun2 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
165	163, 164	sseqtrdi 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
166	165	difss2d 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167	162, 166	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168	161, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170		sseq2 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝑠 → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑠))
171		uniexg 7685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
172	1, 171	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173		difexg 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V)
174		unisng 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
175	172, 173, 174	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
176	175	ineq2d 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)))
177		disjdif 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ∅
178	176, 177	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅)
179		inunissunidif 37580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅ → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
181	170, 180	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
182	181	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
183	182	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑋 = ∪ 𝑠 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
184	169, 183	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
185	4, 28, 184	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
186	185	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
187	186	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))))
188	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189		fvineqsneq 37617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
190	54, 189	sylanl1 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
191		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑠 ∈ V
192		difss 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠
193		ssdomg 8937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠))
194	191, 192, 193	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠
195	190, 194	eqbrtrrdi 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → ran 𝑓 ≼ 𝑠)
196		endomtr 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 ≼ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠)
197	188, 195, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≼ 𝑠)
198	187, 197	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → 𝑎 ≼ 𝑠))
199	198	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠))
200		elinel2 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201	200	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203	199, 202	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
204	203	eximdv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
205	160, 204	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
206	159, 205	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
207	206	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
208	207	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
209	208	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
210	209	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
211	44, 210	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
212	17, 26, 27, 211	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
213	212	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
214		isfinite 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215		domsdomtr 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216	214, 215	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217	216	exlimiv 1931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218		sdomnen 8918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219	213, 217, 218	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
220	16, 219	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222	220, 221	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223	222	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224		neq0 4304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225	223, 224	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
226	1	lpss 23086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
227	4, 226	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228	227	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229	228	sseld 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ 𝑋))
230	229	ancrd 551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231	230	eximdv 1918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232		df-rex 3061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233	231, 232	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234	225, 233	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
235	15, 234	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
236	1	lpss3 23088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
237	236	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
238	4, 237	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239	238	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240	239	sseld 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241	240	reximdv 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242	235, 241	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243	242	an42s 661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244	243	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245	244	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246	245	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
247	13, 246	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
248	7, 247	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
249	5, 248	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250	249	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253	252	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254	251, 253	eleq12d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255	254	cbvrexdva 3217	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256	255	cbvralvw 3214	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257	250, 256	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258		pibt2.21	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
259	1, 258	pibp21 37620	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
260	4, 257, 259	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2113 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 {crab 3399 Vcvv 3440 ∖ cdif 3898 ∪ cun 3899 ∩ cin 3900 ⊆ wss 3901 ∅c0 4285 𝒫 cpw 4554 {csn 4580 ∪ cuni 4863 ∪ ciun 4946 class class class wbr 5098 ran crn 5625 Fn wfn 6487 ⟶wf 6488 –1-1→wf1 6489 –1-1-onto→wf1o 6491 ‘cfv 6492 ωcom 7808 ≈ cen 8880 ≼ cdom 8881 ≺ csdm 8882 Fincfn 8883 Topctop 22837 Clsdccld 22960 limPtclp 23078

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-reg 9497 ax-inf2 9550 ax-ac2 10373

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-oi 9415 df-r1 9676 df-rank 9677 df-dju 9813 df-card 9851 df-ac 10026 df-top 22838 df-cld 22963 df-ntr 22964 df-cls 22965 df-nei 23042 df-lp 23080

This theorem is referenced by: (None)

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