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Theorem pibt2 37399
Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 37396 and pibp21 37397 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pibt2.x 𝑋 = 𝐽
pibt2.19 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(( 𝑥 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑥 = 𝑧)}
pibt2.21 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
Assertion
Ref Expression
pibt2 (𝐽𝐶𝐽𝑊)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐽,𝑥,𝑧   𝑦,𝑋,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem pibt2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pibt2.x . . . 4 𝑋 = 𝐽
2 pibt2.19 . . . 4 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(( 𝑥 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑥 = 𝑧)}
31, 2pibp19 37396 . . 3 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧)))
43simplbi 497 . 2 (𝐽𝐶𝐽 ∈ Top)
5 eldif 3972 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6 velpw 4609 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋𝑏𝑋)
76anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
9 infinf 10603 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
118infcntss 9359 . . . . . . . . 9 (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
1210, 11sylbi 217 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
1312ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω))
14 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑏𝑋) → 𝑎𝑋)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑋𝑎𝑏) → 𝑎𝑋)
16 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽𝐶𝑎 ≈ ω))
18 0ss 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ∅ ⊆ 𝑎
19 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
2018, 19mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
221cldlp 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
254, 24sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
2625adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
281cldss 23052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎𝑋)
291nlpineqsn 37390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → (𝑛𝑎) = {𝑝})
3130reximi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝})
3231ralimi 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑝𝑛 ∧ (𝑛𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝})
33 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑎 ∈ V
34 ineq1 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = (𝑓𝑝) → (𝑛𝑎) = ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎))
3534eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = (𝑓𝑝) → ((𝑛𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
3633, 35ac6s 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑝𝑎𝑛𝐽 (𝑛𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37 fvineqsnf1 37392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎1-1𝐽)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
3937, 38jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4039eximi 1831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃𝑓(𝑓:𝑎𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4129, 32, 36, 404syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
4228, 41syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
434, 42syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽𝐶𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44433adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → 𝑓:𝑎1-1𝐽)
46 vsnid 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑝 ∈ {𝑝}
47 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
4846, 47mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎))
4948elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓𝑝))
5049ralimi 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝𝑎 𝑝 ∈ (𝑓𝑝))
51 ralssiun 37389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (∀𝑝𝑎 𝑝 ∈ (𝑓𝑝) → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝))
54 f1fn 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓 Fn 𝑎)
55 fniunfv 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓 Fn 𝑎 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓:𝑎1-1𝐽 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑝𝑎 (𝑓𝑝) = ran 𝑓)
5853, 57sseqtrd 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ran 𝑓)
591cldopn 23054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
6059ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
6160anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽𝑎 ran 𝑓))
6261ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))
6328ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎𝑋)
6463anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)))
65 unisng 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
6665eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋𝑎) = {(𝑋𝑎)})
67 eqimss 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) = {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)})
68 ssun4 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)}))
69 uniun 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) = ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)})
7068, 69sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑋𝑎) ⊆ {(𝑋𝑎)} → (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
7166, 67, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑋𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
72 ssun3 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑎 ran 𝑓𝑎 ⊆ ( ran 𝑓 {(𝑋𝑎)}))
7372, 69sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑎 ran 𝑓𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
74 uncom 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = ((𝑋𝑎) ∪ 𝑎)
75 undif1 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑋𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋𝑎)
7674, 75eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = (𝑋𝑎)
77 ssequn2 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑋 ↔ (𝑋𝑎) = 𝑋)
7877biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑎𝑋 → (𝑋𝑎) = 𝑋)
7976, 78eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑎𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = 𝑋)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) = 𝑋)
81 unss12 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ ( (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
82 unidm 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ( (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})
8381, 82sseqtrdi 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋𝑎)) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8580, 84eqsstrrd 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8673, 85sylanr1 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8771, 86sylanr2 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
89 f1f 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓:𝑎𝐽)
90 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑓:𝑎𝐽 → ran 𝑓𝐽)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑓:𝑎1-1𝐽 → ran 𝑓𝐽)
921topopn 22927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
931difopn 23057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋𝐽𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
9492, 93sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)
9594snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽)
96 unss12 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((ran 𝑓𝐽 ∧ {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ (𝐽𝐽))
97 unidm 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐽𝐽) = 𝐽
9896, 97sseqtrdi 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓𝐽 ∧ {(𝑋𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
9991, 95, 98syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100 uniss 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
101100, 1sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑋)
10488, 103eqssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎𝑋 ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10564, 104syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ran 𝑓 ∧ (𝑋𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10662, 105syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ran 𝑓) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
10758, 106sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
108107ancom1s 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
109108ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
11045, 109mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
111110impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
112111adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
1134, 112sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
114 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑓 ∈ V
115 f1f1orn 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑓:𝑎1-1-onto→ran 𝑓)
116 f1oen3g 9005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117114, 115, 116sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:𝑎1-1𝐽𝑎 ≈ ran 𝑓)
118 enen1 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119 endom 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120 snfi 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 {(𝑋𝑎)} ∈ Fin
121 isfinite 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ({(𝑋𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋𝑎)} ≺ ω)
122120, 121mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 {(𝑋𝑎)} ≺ ω
123 sdomdom 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ({(𝑋𝑎)} ≺ ω → {(𝑋𝑎)} ≼ ω)
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {(𝑋𝑎)} ≼ ω
125 unctb 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
126119, 124, 125sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
127118, 126biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
128117, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑎1-1𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
129128impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
130129adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
131130ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)
13299ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎1-1𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133132adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134133adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
1354, 134sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136 elpw2g 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137136biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138137ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139135, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
1403simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
141 unieq 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑠 = 𝑧 𝑠 = 𝑧)
142141eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = 𝑠𝑋 = 𝑧))
143142cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧)
144143imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
145144ralbii 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑧))
146140, 145sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
147 unieq 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → 𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
148147eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑋 = 𝑦𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)})))
149 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω))
150148, 149anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → ((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω)))
151 pweq 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
152151ineq1d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin))
153152rexeqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
154150, 153imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) ↔ ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
155154rspccv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = 𝑦𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
156146, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
157156ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)))
158139, 157mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠))
159113, 131, 158mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠)
160 df-rex 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠))
161 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
162 velpw 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}))
163 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∖ {(𝑋𝑎)}))
164 difun2 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∖ {(𝑋𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋𝑎)})
165163, 164sseqtrdi 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋𝑎)}))
166165difss2d 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167162, 166sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168161, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170 sseq2 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 = 𝑠 → (𝑎𝑋𝑎 𝑠))
171 uniexg 7758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
1721, 171eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173 difexg 5334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑎) ∈ V)
174 unisng 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋𝑎) ∈ V → {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
175172, 173, 1743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐽 ∈ Top → {(𝑋𝑎)} = (𝑋𝑎))
176175ineq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 {(𝑋𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋𝑎)))
177 disjdif 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑎 ∩ (𝑋𝑎)) = ∅
178176, 177eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 {(𝑋𝑎)}) = ∅)
179 inunissunidif 37357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎 {(𝑋𝑎)}) = ∅ → (𝑎 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
180178, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐽 ∈ Top → (𝑎 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
181170, 180sylan9bbr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑋𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
182181biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑋𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
183182impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → (𝑋 = 𝑠𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))
184169, 183anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
1854, 28, 184syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐽𝐶𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
186185adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))))
187186anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠)) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)})))))
188117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189 fvineqsneq 37394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) = ran 𝑓)
19054, 189sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) = ran 𝑓)
191 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑠 ∈ V
192 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑠
193 ssdomg 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ≼ 𝑠))
194191, 192, 193mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ≼ 𝑠
195190, 194eqbrtrrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → ran 𝑓𝑠)
196 endomtr 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓𝑠) → 𝑎𝑠)
197188, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}) ⊆ ran 𝑓𝑎 (𝑠 ∖ {(𝑋𝑎)}))) → 𝑎𝑠)
198187, 197syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠)) → 𝑎𝑠))
199198expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑎𝑠))
200 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203199, 202jcad 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → (𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
204203eximdv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = 𝑠) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
205160, 204biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = 𝑠 → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
206159, 205mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
207206ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
208207exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
209208anass1rs 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
2102093adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎1-1𝐽 ∧ ∀𝑝𝑎 ((𝑓𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin)))
21144, 210mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
21217, 26, 27, 211syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
213212anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin))
214 isfinite 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215 domsdomtr 9150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎𝑠𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216214, 215sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217216exlimiv 1927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑠(𝑎𝑠𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218 sdomnen 9019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219213, 217, 2183syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
22016, 219pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222220, 221sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) → (𝑎𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223222imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224 neq0 4357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225223, 224sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
2261lpss 23165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
2274, 226sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽𝐶𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228227adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229228sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠𝑋))
230229ancrd 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231230eximdv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232 df-rex 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠𝑋𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233231, 232imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234225, 233mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎𝑋) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
23515, 234sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
2361lpss3 23167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏𝑋𝑎𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2372363expb 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2384, 237sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239238adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240239sseld 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241240reximdv 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → (∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242235, 241mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽𝐶𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏𝑋𝑎𝑏)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243242an42s 661 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝐶𝑏𝑋) ∧ (𝑎𝑏𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244243ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐶𝑏𝑋) → ((𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245244exlimdv 1930 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐶𝑏𝑋) → (∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246245adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎𝑏𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
24713, 246mpd 15 . . . . . 6 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2487, 247sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
2495, 248sylan2b 594 . . . 4 ((𝐽𝐶𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250249ralrimiva 3143 . . 3 (𝐽𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253252adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254251, 253eleq12d 2832 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255254cbvrexdva 3237 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256255cbvralvw 3234 . . 3 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257250, 256sylibr 234 . 2 (𝐽𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258 pibt2.21 . . 3 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
2591, 258pibp21 37397 . 2 (𝐽𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
2604, 257, 259sylanbrc 583 1 (𝐽𝐶𝐽𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4911   ciun 4995   class class class wbr 5147  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  Fincfn 8983  Topctop 22914  Clsdccld 23039  limPtclp 23157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-r1 9801  df-rank 9802  df-dju 9938  df-card 9976  df-ac 10153  df-top 22915  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159
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