Theorem pibt2 38171

Description: Theorem T000002 of pi-base, a countably compact topology is also weakly countably compact. See pibp19 38168 and pibp21 38169 for the definitions of the relevant properties. This proof uses the axiom of choice. (Contributed by ML, 30-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pibt2.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pibt2.19	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
pibt2.21	⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
pibt2	⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐽,𝑥,𝑧   𝑦,𝑋,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem pibt2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑓 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pibt2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		pibt2.19	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥((∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)}
3	1, 2	pibp19 38168	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ Top)
5		eldif 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
6		velpw 4562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑋)
7	6	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin))
8		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
9		infinf 10575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ V → (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝑏)
11	8	infcntss 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≼ 𝑏 → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
12	10, 11	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ Fin → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
13	12	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω))
14		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
15	14	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
16		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → 𝑎 ≈ ω)
17		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω))
18		0ss 4350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
19		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → (((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎 ↔ ∅ ⊆ 𝑎))
20	18, 19	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎)
22	1	cldlp 23375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑎))
24	21, 23	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
25	4, 24	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	25	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
28	1	cldss 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
29	1	nlpineqsn 38162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
31	30	reximi 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
32	31	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑝 ∈ 𝑛 ∧ (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝})
33		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑎 ∈ V
34		ineq1 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → (𝑛 ∩ 𝑎) = ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
35	34	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑓‘𝑝) → ((𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} ↔ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
36	33, 35	ac6s 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑛 ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
37		fvineqsnf1 38164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})
39	37, 38	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
40	39	eximi 1868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝑎⟶𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
41	29, 32, 36, 40	4syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
42	28, 41	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
43	4, 42	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
44	43	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}))
45		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → 𝑓:𝑎–1-1→𝐽)
46		vsnid 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 𝑝 ∈ {𝑝}
47		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → (𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) ↔ 𝑝 ∈ {𝑝}))
48	46, 47	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎))
49	48	elin1d 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
50	49	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝))
51		ralssiun 38161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑝 ∈ (𝑓‘𝑝) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝))
54		f1fn 6772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓 Fn 𝑎)
55		fniunfv 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑓 Fn 𝑎 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑎 (𝑓‘𝑝) = ∪ ran 𝑓)
58	53, 57	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓)
59	1	cldopn 23256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
60	59	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
61	60	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓))
62	61	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))
63	28	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
64	63	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)))
65		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
66	65	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
67		eqimss 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) = ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
68		ssun4 4127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
69		uniun 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
70	68, 69	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
71	66, 67, 70	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽 → (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
72		ssun3 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ (∪ ran 𝑓 ∪ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
73	72, 69	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 → 𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
74		uncom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎)
75		undif1 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∪ 𝑎) = (𝑋 ∪ 𝑎)
76	74, 75	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = (𝑋 ∪ 𝑎)
77		ssequn2 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
78	77	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∪ 𝑎) = 𝑋)
79	76, 78	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
80	79	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) = 𝑋)
81		unss12 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
82		unidm 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∪ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
83	81, 82	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑎 ∪ (𝑋 ∖ 𝑎)) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
85	80, 84	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
86	73, 85	sylanr1 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
87	71, 86	sylanr2 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 ⊆ ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
89		f1f 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎⟶𝐽)
90		frn 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑓:𝑎⟶𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
91	89, 90	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → ran 𝑓 ⊆ 𝐽)
92	1	topopn 23131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
93	1	difopn 23259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
94	92, 93	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)
95	94	snssd 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽)
96		unss12 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (𝐽 ∪ 𝐽))
97		unidm 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∪ 𝐽) = 𝐽
98	96, 97	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ⊆ 𝐽 ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ⊆ 𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
99	91, 95, 98	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
100		uniss 4875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 1	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
102	99, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑋)
104	88, 103	eqssd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽))) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
105	64, 104	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
106	62, 105	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ ran 𝑓) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
107	58, 106	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽))) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
108	107	ancom1s 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
109	108	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
110	45, 109	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝} → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
111	110	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
112	111	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
113	4, 112	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
114		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑓 ∈ V
115		f1f1orn 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓)
116		f1oen3g 8972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝑎–1-1-onto→ran 𝑓) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
117	114, 115, 116	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
118		enen1 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω ↔ ran 𝑓 ≈ ω))
119		endom 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → ran 𝑓 ≼ ω)
120		snfi 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin
121		isfinite 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ∈ Fin ↔ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω)
122	120, 121	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω
123		sdomdom 8986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({(𝑋 ∖ 𝑎)} ≺ ω → {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω
125		unctb 10206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ran 𝑓 ≼ ω ∧ {(𝑋 ∖ 𝑎)} ≼ ω) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
126	119, 124, 125	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ran 𝑓 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
127	118, 126	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ≈ ran 𝑓 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
128	117, 127	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 → (𝑎 ≈ ω → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
129	128	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ≈ ω ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
130	129	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
131	130	ad2ant2lr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)
132	99	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓:𝑎–1-1→𝐽) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
133	132	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
134	133	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
135	4, 134	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽)
136		elpw2g 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽))
137	136	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
138	137	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝐽 → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽))
139	135, 138	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽)
140	3	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
141		unieq 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ∪ 𝑠 = ∪ 𝑧)
142	141	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ 𝑋 = ∪ 𝑧))
143	142	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧)
144	143	imbi2i 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
145	144	ralbii 3108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑧))
146	140, 145	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
147		unieq 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ∪ 𝑦 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
148	147	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
149		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑦 ≼ ω ↔ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω))
150	148, 149	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → ((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) ↔ (𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω)))
151		pweq 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → 𝒫 𝑦 = 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
152	151	ineq1d 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝒫 𝑦 ∩ Fin) = (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin))
153	152	rexeqdv 3320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
154	150, 153	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) ↔ ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
155	154	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐽((𝑋 = ∪ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
156	146, 155	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
157	156	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)))
158	139, 157	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑋 = ∪ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∧ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ ω) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠))
159	113, 131, 158	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠)
160		df-rex 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠))
161		elinel1 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
162		velpw 4562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ↔ 𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
163		ssdif 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
164		difun2 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})
165	163, 164	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ (ran 𝑓 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))
166	165	difss2d 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ⊆ (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
167	162, 166	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
168	161, 167	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓)
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓))
170		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝑠 → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑠))
171		uniexg 7742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
172	1, 171	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ V)
173		difexg 5294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V)
174		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑎) ∈ V → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
175	172, 173, 174	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)} = (𝑋 ∖ 𝑎))
176	175	ineq2d 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)))
177		disjdif 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑎 ∩ (𝑋 ∖ 𝑎)) = ∅
178	176, 177	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅)
179		inunissunidif 38129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑎 ∩ ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ∅ → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
180	178, 179	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑠 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
181	170, 180	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
182	181	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
183	182	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑋 = ∪ 𝑠 → 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))
184	169, 183	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
185	4, 28, 184	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
186	185	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))))
187	186	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)})))))
188	117	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≈ ran 𝑓)
189		fvineqsneq 38166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑓 Fn 𝑎 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
190	54, 189	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) = ran 𝑓)
191		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 𝑠 ∈ V
192		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠
193		ssdomg 9006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ V → ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠))
194	191, 192, 193	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ≼ 𝑠
195	190, 194	eqbrtrrdi 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → ran 𝑓 ≼ 𝑠)
196		endomtr 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑎 ≈ ran 𝑓 ∧ ran 𝑓 ≼ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠)
197	188, 195, 196	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ ((𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ⊆ ran 𝑓 ∧ 𝑎 ⊆ ∪ (𝑠 ∖ {(𝑋 ∖ 𝑎)}))) → 𝑎 ≼ 𝑠)
198	187, 197	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠)) → 𝑎 ≼ 𝑠))
199	198	expdimp 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑎 ≼ 𝑠))
200		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
201	200	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin))
203	199, 202	jcad 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ((𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → (𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
204	203	eximdv 1950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠(𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = ∪ 𝑠) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
205	160, 204	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (ran 𝑓 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑎)}) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑠 → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
206	159, 205	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) ∧ (𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝})) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
207	206	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ((𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
208	207	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑎 ≈ ω)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
209	208	anass1rs 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
210	209	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → (∃𝑓(𝑓:𝑎–1-1→𝐽 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑎 ((𝑓‘𝑝) ∩ 𝑎) = {𝑝}) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin)))
211	44, 210	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
212	17, 26, 27, 211	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
213	212	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
214		isfinite 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ 𝑠 ≺ ω)
215		domsdomtr 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ≺ ω) → 𝑎 ≺ ω)
216	214, 215	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
217	216	exlimiv 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑠(𝑎 ≼ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑎 ≺ ω)
218		sdomnen 8987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ≺ ω → ¬ 𝑎 ≈ ω)
219	213, 217, 218	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)) → ¬ 𝑎 ≈ ω)
220	16, 219	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
221		imnan 405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅) ↔ ¬ (𝑎 ⊆ 𝑋 ∧ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
222	220, 221	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) → (𝑎 ⊆ 𝑋 → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅))
223	222	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅)
224		neq0 4299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) = ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
225	223, 224	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
226	1	lpss 23367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
227	4, 226	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
228	227	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ 𝑋)
229	228	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ 𝑋))
230	229	ancrd 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → (𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
231	230	eximdv 1950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))))
232		df-rex 3087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
233	231, 232	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → (∃𝑠 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎)))
234	225, 233	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑋) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
235	15, 234	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎))
236	1	lpss3 23369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
237	236	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
238	4, 237	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
239	238	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ((limPt‘𝐽)‘𝑎) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
240	239	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
241	240	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → (∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑎) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
242	235, 241	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ≈ ω) ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
243	242	an42s 674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
244	243	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
245	244	exlimdv 1966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
246	245	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → (∃𝑎(𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑎 ≈ ω) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
247	13, 246	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
248	7, 247	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
249	5, 248	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)) → ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
250	249	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
251		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → 𝑧 = 𝑠)
252		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
253	252	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → ((limPt‘𝐽)‘𝑦) = ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
254	251, 253	eleq12d 2854	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑧 = 𝑠) → (𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
255	254	cbvrexdva 3243	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏)))
256	255	cbvralvw 3240	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑠 ∈ 𝑋 𝑠 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑏))
257	250, 256	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦))
258		pibt2.21	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑥 ∈ Top ∣ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ ∪ 𝑥𝑧 ∈ ((limPt‘𝑥)‘𝑦)}
259	1, 258	pibp21 38169	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin)∃𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑦)))
260	4, 257, 259	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 → 𝐽 ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  ωcom 7862   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  Fincfn 8952  Topctop 23118  Clsdccld 23241  limPtclp 23359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10465

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868  df-dju 9906  df-card 9944  df-ac 10119  df-top 23119  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361

This theorem is used by: (None)