MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfval 18833
Description: Group multiple (exponentiation) operation. For a shorter proof using ax-rep 5240, see mulgfvalALT 18834. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) Remove dependency on ax-rep 5240. (Revised by Rohan Ridenour, 17-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgval.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgval.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgval.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
mulgval.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgfval ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘›   ๐‘ฅ, + ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem mulgfval
Dummy variables ๐‘ค ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgval.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2 eqidd 2738 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โ„ค = โ„ค)
3 fveq2 6839 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = (Baseโ€˜๐บ))
4 mulgval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
53, 4eqtr4di 2795 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = ๐ต)
6 fveq2 6839 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐บ))
7 mulgval.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
86, 7eqtr4di 2795 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = 0 )
9 fvex 6852 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐‘ค) โˆˆ V
10 1z 12491 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
119, 10seqexw 13876 . . . . . . . 8 seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V)
13 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
14 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = (+gโ€˜๐บ))
15 mulgval.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+gโ€˜๐บ)
1614, 15eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = + )
1716seqeq2d 13867 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1813, 17sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘  = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1918fveq1d 6841 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
20 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘ค = ๐บ)
2120fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = (invgโ€˜๐บ))
22 mulgval.i . . . . . . . . . 10 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
2321, 22eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = ๐ผ)
2418fveq1d 6841 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜-๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))
2523, 24fveq12d 6846 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)) = (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))
2619, 25ifeq12d 4505 . . . . . . 7 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ if(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
2712, 26csbied 3891 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
288, 27ifeq12d 4505 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)))) = if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
292, 5, 28mpoeq123dv 7426 . . . 4 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
30 df-mulg 18832 . . . 4 .g = (๐‘ค โˆˆ V โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))))
31 zex 12466 . . . . 5 โ„ค โˆˆ V
324fvexi 6853 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
33 snex 5386 . . . . . 6 { 0 } โˆˆ V
3415fvexi 6853 . . . . . . . . 9 + โˆˆ V
3534rnex 7841 . . . . . . . 8 ran + โˆˆ V
3635, 32unex 7672 . . . . . . 7 (ran + โˆช ๐ต) โˆˆ V
3722fvexi 6853 . . . . . . . . 9 ๐ผ โˆˆ V
3837rnex 7841 . . . . . . . 8 ran ๐ผ โˆˆ V
39 p0ex 5337 . . . . . . . 8 {โˆ…} โˆˆ V
4038, 39unex 7672 . . . . . . 7 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โˆˆ V
4136, 40unex 7672 . . . . . 6 ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โˆˆ V
4233, 41unex 7672 . . . . 5 ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))) โˆˆ V
43 ssun1 4130 . . . . . . . . 9 { 0 } โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
447fvexi 6853 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
4544snid 4620 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ { 0 }
4643, 45sselii 3939 . . . . . . . 8 0 โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
48 ssun2 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต โŠ† (ran + โˆช ๐ต)
49 ssun1 4130 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran + โˆช ๐ต) โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
5048, 49sstri 3951 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ต โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
51 ssun2 4131 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
5250, 51sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
53 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1))
55 seq1 13873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) = ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1))
5610, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) = ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1)
57 1nn 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•
58 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ฅ โˆˆ V
5958fvconst2 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) = ๐‘ฅ)
6057, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) = ๐‘ฅ
6160eleq1i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
6261biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6356, 62eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6554, 64eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ต)
6652, 65sselid 3940 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
6766ad4ant24 752 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
68 zcn 12462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
69 npcan1 11538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
7170fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
73 seqp1 13875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))))
74 ssun1 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran + โŠ† (ran + โˆช ๐ต)
75 ssun2 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {โˆ…} โŠ† (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})
76 unss12 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran + โŠ† (ran + โˆช ๐ต) โˆง {โˆ…} โŠ† (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โ†’ (ran + โˆช {โˆ…}) โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
7774, 75, 76mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran + โˆช {โˆ…}) โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
7877, 51sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran + โˆช {โˆ…}) โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
79 df-ov 7354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) = ( + โ€˜โŸจ(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)), ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))โŸฉ)
80 fvrn0 6869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( + โ€˜โŸจ(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)), ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))โŸฉ) โˆˆ (ran + โˆช {โˆ…})
8179, 80eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ (ran + โˆช {โˆ…})
8278, 81sselii 3939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
8373, 82eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8572, 84eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8685ad4ant14 750 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
87 uzm1 12755 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
8887adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
8967, 86, 88mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
90 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
91 seqfn 13872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9210, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9392fndmi 6603 . . . . . . . . . . . . 13 dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9493eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9590, 94sylnibr 328 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
96 ndmfv 6874 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = โˆ…)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = โˆ…)
98 ssun2 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
9975, 98sstri 3951 . . . . . . . . . . . . 13 {โˆ…} โŠ† ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
10099, 51sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 {โˆ…} โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
101 0ex 5262 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
102101snid 4620 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
103100, 102sselii 3939 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ โˆ… โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10597, 104eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10689, 105pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10798, 51sstri 3951 . . . . . . . . . 10 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โŠ† ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
108 fvrn0 6869 . . . . . . . . . 10 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})
109107, 108sselii 3939 . . . . . . . . 9 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
110109a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
111106, 110ifcld 4530 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
11247, 111ifcld 4530 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
113112rgen2 3192 . . . . 5 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
11431, 32, 42, 113mpoexw 8003 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) โˆˆ V
11529, 30, 114fvmpt 6945 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
116 fvprc 6831 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = โˆ…)
117 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
118 fvex 6852 . . . . . . . . 9 (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ V
119 fvex 6852 . . . . . . . . 9 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ V
120118, 119ifex 4534 . . . . . . . 8 if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))) โˆˆ V
12144, 120ifex 4534 . . . . . . 7 if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ V
122117, 121fnmpoi 7994 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn (โ„ค ร— ๐ต)
123 fvprc 6831 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = โˆ…)
1244, 123eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
125124xpeq2d 5661 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (โ„ค ร— ๐ต) = (โ„ค ร— โˆ…))
126 xp0 6108 . . . . . . . 8 (โ„ค ร— โˆ…) = โˆ…
127125, 126eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (โ„ค ร— ๐ต) = โˆ…)
128127fneq2d 6593 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn (โ„ค ร— ๐ต) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ…))
129122, 128mpbii 232 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ…)
130 fn0 6629 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ… โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = โˆ…)
131129, 130sylib 217 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = โˆ…)
132116, 131eqtr4d 2780 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
133115, 132pm2.61i 182 . 2 (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
1341, 133eqtri 2765 1 ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853   โˆช cun 3906   โŠ† wss 3908  โˆ…c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584  โŸจcop 4590   class class class wbr 5103   ร— cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6488  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  โ„‚cc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11147   โˆ’ cmin 11343  -cneg 11344  โ„•cn 12111  โ„คcz 12457  โ„คโ‰ฅcuz 12721  seqcseq 13860  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  0gc0g 17281  invgcminusg 18709  .gcmg 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-mulg 18832
This theorem is referenced by:  mulgval  18835  mulgfn  18836  mulgpropd  18877
  Copyright terms: Public domain W3C validator