MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfval 18989
Description: Group multiple (exponentiation) operation. For a shorter proof using ax-rep 5285, see mulgfvalALT 18990. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) Remove dependency on ax-rep 5285. (Revised by Rohan Ridenour, 17-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgval.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgval.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgval.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
mulgval.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgfval ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘›   ๐‘ฅ, + ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem mulgfval
Dummy variables ๐‘ค ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgval.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2 eqidd 2732 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โ„ค = โ„ค)
3 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = (Baseโ€˜๐บ))
4 mulgval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
53, 4eqtr4di 2789 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = ๐ต)
6 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐บ))
7 mulgval.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
86, 7eqtr4di 2789 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = 0 )
9 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐‘ค) โˆˆ V
10 1z 12597 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
119, 10seqexw 13987 . . . . . . . 8 seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V)
13 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = (+gโ€˜๐บ))
15 mulgval.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+gโ€˜๐บ)
1614, 15eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = + )
1716seqeq2d 13978 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1813, 17sylan9eqr 2793 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘  = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1918fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
20 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘ค = ๐บ)
2120fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = (invgโ€˜๐บ))
22 mulgval.i . . . . . . . . . 10 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
2321, 22eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = ๐ผ)
2418fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜-๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))
2523, 24fveq12d 6898 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)) = (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))
2619, 25ifeq12d 4549 . . . . . . 7 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ if(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
2712, 26csbied 3931 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
288, 27ifeq12d 4549 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)))) = if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
292, 5, 28mpoeq123dv 7487 . . . 4 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
30 df-mulg 18988 . . . 4 .g = (๐‘ค โˆˆ V โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))))
31 zex 12572 . . . . 5 โ„ค โˆˆ V
324fvexi 6905 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
33 snex 5431 . . . . . 6 { 0 } โˆˆ V
3415fvexi 6905 . . . . . . . . 9 + โˆˆ V
3534rnex 7907 . . . . . . . 8 ran + โˆˆ V
3635, 32unex 7737 . . . . . . 7 (ran + โˆช ๐ต) โˆˆ V
3722fvexi 6905 . . . . . . . . 9 ๐ผ โˆˆ V
3837rnex 7907 . . . . . . . 8 ran ๐ผ โˆˆ V
39 p0ex 5382 . . . . . . . 8 {โˆ…} โˆˆ V
4038, 39unex 7737 . . . . . . 7 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โˆˆ V
4136, 40unex 7737 . . . . . 6 ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โˆˆ V
4233, 41unex 7737 . . . . 5 ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))) โˆˆ V
43 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 { 0 } โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
447fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
4544snid 4664 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ { 0 }
4643, 45sselii 3979 . . . . . . . 8 0 โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
48 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต โІ (ran + โˆช ๐ต)
49 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran + โˆช ๐ต) โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
5048, 49sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ต โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
51 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
5250, 51sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
53 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1))
55 seq1 13984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) = ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1))
5610, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) = ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1)
57 1nn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•
58 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ฅ โˆˆ V
5958fvconst2 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) = ๐‘ฅ)
6057, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) = ๐‘ฅ
6160eleq1i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
6261biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6356, 62eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜1) โˆˆ ๐ต)
6554, 64eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ต)
6652, 65sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
6766ad4ant24 751 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘› = 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
68 zcn 12568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
69 npcan1 11644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
7170fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
73 seqp1 13986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))))
74 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran + โІ (ran + โˆช ๐ต)
75 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {โˆ…} โІ (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})
76 unss12 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran + โІ (ran + โˆช ๐ต) โˆง {โˆ…} โІ (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})) โ†’ (ran + โˆช {โˆ…}) โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
7774, 75, 76mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran + โˆช {โˆ…}) โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
7877, 51sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran + โˆช {โˆ…}) โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
79 df-ov 7415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) = ( + โ€˜โŸจ(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)), ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))โŸฉ)
80 fvrn0 6921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( + โ€˜โŸจ(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)), ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))โŸฉ) โˆˆ (ran + โˆช {โˆ…})
8179, 80eqeltri 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ (ran + โˆช {โˆ…})
8278, 81sselii 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) + ((โ„• ร— {๐‘ฅ})โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
8373, 82eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8572, 84eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
8685ad4ant14 749 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
87 uzm1 12865 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)))
8967, 86, 88mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
90 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
91 seqfn 13983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9210, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9392fndmi 6653 . . . . . . . . . . . . 13 dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9493eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9590, 94sylnibr 329 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
96 ndmfv 6926 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘› โˆˆ dom seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = โˆ…)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = โˆ…)
98 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
9975, 98sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 {โˆ…} โІ ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))
10099, 51sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 {โˆ…} โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
101 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ V
102101snid 4664 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
103100, 102sselii 3979 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ โˆ… โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10597, 104eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10689, 105pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
10798, 51sstri 3991 . . . . . . . . . 10 (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}) โІ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
108 fvrn0 6921 . . . . . . . . . 10 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})
109107, 108sselii 3979 . . . . . . . . 9 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
110109a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
111106, 110ifcld 4574 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
11247, 111ifcld 4574 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…}))))
113112rgen2 3196 . . . . 5 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ ({ 0 } โˆช ((ran + โˆช ๐ต) โˆช (ran ๐ผ โˆช {โˆ…})))
11431, 32, 42, 113mpoexw 8069 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) โˆˆ V
11529, 30, 114fvmpt 6998 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
116 fvprc 6883 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = โˆ…)
117 eqid 2731 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
118 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) โˆˆ V
119 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) โˆˆ V
120118, 119ifex 4578 . . . . . . . 8 if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))) โˆˆ V
12144, 120ifex 4578 . . . . . . 7 if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) โˆˆ V
122117, 121fnmpoi 8060 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn (โ„ค ร— ๐ต)
123 fvprc 6883 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = โˆ…)
1244, 123eqtrid 2783 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
125124xpeq2d 5706 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (โ„ค ร— ๐ต) = (โ„ค ร— โˆ…))
126 xp0 6157 . . . . . . . 8 (โ„ค ร— โˆ…) = โˆ…
127125, 126eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (โ„ค ร— ๐ต) = โˆ…)
128127fneq2d 6643 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn (โ„ค ร— ๐ต) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ…))
129122, 128mpbii 232 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ…)
130 fn0 6681 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) Fn โˆ… โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = โˆ…)
131129, 130sylib 217 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) = โˆ…)
132116, 131eqtr4d 2774 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
133115, 132pm2.61i 182 . 2 (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
1341, 133eqtri 2759 1 ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3893   โˆช cun 3946   โІ wss 3948  โˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  โ„•cn 12217  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  seqcseq 13971  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  invgcminusg 18857  .gcmg 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-mulg 18988
This theorem is referenced by:  mulgval  18991  mulgfn  18992  mulgpropd  19033
  Copyright terms: Public domain W3C validator